1、第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1如图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量 ab 等于( )Ae 13e 2Be 13e 2来源:学科网 ZXXKC e13e 2De 13e 2解析 由图可知 a2.5e 11.5e 2，b1.5e 14.5e 2，abe 13e 2，故 选D.来答案 D2已知 a， b， c， d，且四边形 ABCD 为平行四边形，则( )OA OB OC OD Aabc d0 Babcd0Ca bcd0 Da bc d0解析 依题意得， ，故 0，即 0，即有AB DC AB CD OB OA OD OC 0， 则 abcd0，选 A.OA OB OC
2、OD 答案 A3已知 a，b 是不共线的向量， a b， ab (、 R)，那么AB AC A、B 、C 三点共线的充要条件是( )来源:学+科+网A 2 B1C 1 D1解析 由 ab，AB ab( 、R)及 A、B、C 三点共线得：AC t ，所以 abt(ab)tatb，AB AC 即可得Error! ，所以 1.故选 D.答案 D4设 A1，A 2，A 3，A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且 2，则称 A3，A 4 调和A1A3 A1A2 A1A4 A1A2 1 1分割 A1，A 2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下列说法正确的是( )A
3、C 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC、D 可能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上解析 若 A 成立，则 ，而 0，不可能；同理 B 也不可能；若 C 成立，则12 101，且 01， 2，与已知矛盾；若 C，D 同时在线段 AB 的延长1 1线上时，1，且 1， 2，与已知矛盾，故 C，D 不可能同时在线段 AB1 1的延长线上，故 D 正确答案 D5已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC 的重心，动点 P 满足 ，则点 P 一定为三角形 ABC 的 ( ) OP 13(12OA 12OB 2OC )AAB 边中线的中点BA
4、B 边中线的三等分点(非重心)C重心DAB 边的中点解析 设 AB 的中点为 M，则 ， ( 2 ) 12OA 12OB OM OP 13OM OC 13OM ，即 3 2 ，也就是 2 ，P，M，C 三点共线，且 P 是23OC OP OM OC MP PC CM 上靠近 C 点的一个三等分点答案 B6如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，那么 ( )EF A. 12AB 12AD B 12AB 12AD C 12AB 12AD D. 12AB 12AD 解析 在CEF 中，有 ，因为 E 为 DC 的中点，所以 .EF EC CF EC 12DC 因为点 F
5、为 BC 的中点，所以 .所以 CF 12CB EF EC CF 12DC 12CB 12 .AB 12DA 12AB 12AD 答案 D二、填空题7设 a，b 是两个不共线向量， 2apb， ab， a2b，若AB BC CD A，B ，D 三点共线，则实数 p 的值为_解析 2ab，又 A，B，D 三点共线，BD BC CD 存在实 数 ，使 .AB BD 即Error!p1.答案 18. 如图，在矩形 ABCD 中，| |1，| |2，设AB AD a， b， c ，则 |abc|_.AB BC BD 解析 根据向量的三角形法则有|abc| | | |2| |4.AB BC BD AB
6、BD AD AD AD AD 答案 49若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足| | 2 |，OB OC OB OC OA 则ABC 的形状为_解析 2 ，OB OC OA OB OA OC OA AB AC ，| | |.OB OC CB AB AC AB AC AB AC 故 A，B，C 为 矩形的三个 顶点，ABC 为直角三角形答案 直角三角形10在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点 O 在线段 CDBC CD 上( 与点 C、D 不重合)，若 x (1x)AC，则 x 的取值范围是AO AB _解析 x x ，AO AB AC AC x( )，即 x 3x
7、 ，AO AC AB AC CO CB CD O 在线段 CD 上(不含 C、D 两点) 上运动，03x1 ， x0.13答案 ( 13，0)三、解答题11如图，过OAB 的 重心 G 的直线与 OA、O B 分别交于P、Q，设 h ， k ，求证： 是常数OP OA OQ OB 1h 1k证明 1 (1 1) (1R)， ，且 O、G、M 三点共OG OP OQ OM 12OA 12OB 线，G 为 重心，故 ，OG 23OM 即 1 (1 1) ( )OP OQ 23 12OA OB 又 h ， k ，OP OA OQ OB 1(h )(1 1)(k ) ( )OA OB 13OA OB
8、而 与 为 三角形两邻边， 、 不共线OA OB OA OB Error!消去 1 得 ，即 3.13h 3k 13k 1h 1k12 (1)设两个非零向量 e1，e 2 不共线，如果 2e 13e 2， 6e 123e 2，AB BC 4e 18e 2，求证：A ， B，D 三点共线CD (2)设 e1，e 2 是两个不共线的向量，已知2e 1ke 2， e 13e 2， 2e 1e 2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的AB CB CD 值(1)证明 因为 6e 1 23e2， 4e 18e 2，BC CD 所以 10e 115e 2.BD BC CD 又因为 2e 13e 2，得 5
9、，即 ，AB BD AB BD AB 又因为 ， 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线AB BD (2)解 D e 13e 22e 1e 24e 2e 1，B CB CD 2e 1ke 2，AB 若 A，B ，D 共线，则 D ，AB B 设 D ，所以Error!k8.B AB 13 如图所示，在ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得AN AC，在 AB 上取一点 M，使得 AM AB，在13 13BN 的延长线上取点 P，使得 NP BN，在 CM 的延12长线上取点 Q，使得 时， ，试确定 的值MQ CM AP QA 解 ( ) ( ) ， AP NP NA 12BN CN 12
10、BN NC 12BC QA MA MQ 12 ，BM MC 又 ， ，AP QA 12BM MC 12BC 即 ， .MC 12MC 1214已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点(1)求 ；GA GB GO (2)若 PQ 过ABO 的重心 G，且 a， b， m a， nb，求证：OA OB OP OQ 3.1m 1n(1)解 2 ，又 2 ，GA GB GM GM GO 0.GA GB GO GO GO (2)证明 显然 (ab)因为 G 是ABO 的重心，所以OM 12 (ab)由 P，G，Q 三点共线，得 ，所以，有且只有OG 23OM 13 PG GQ 一个实数 ，使 .PG GQ 而 (ab) ma a b，PG OG OP 13 (13 m) 13 nb (ab) a b，GQ OQ OG 13 13 (n 13)所以 a b .(13 m) 13 13a (n 13)b又因为 a，b 不共线，所以Error!消去 ，整理得 3mnm n，故 3.1m 1n
