1、 韩 山 师 范 学 院 学 生 毕 业 论 文 （ 2014 届） 韩山师范学院教务处制 题目（中文） 浅谈高等数学中常用数学方法 （英文） Introduction to the Mathematical Method is Commongly Used in Higher Mathematics 系别 ： 数学与统计学 系 专业： 数学与应用数学 班级 ： 20101111 姓名： 学号 : 指导教师 ： 诚 信 声 明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果
2、，我承诺，论 文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日 摘 要 :本文浅谈高等数 学中常用的数学方法， 方法是处理数 学问题的指导思想和基本策略， 掌握数学方法 不仅对我们 学习数学有 很大的帮助 ,而且在高等数学的学习及研究中也是 相当 重要的方法。本 文阐述数学方法的意义及重要性和几种常用的数学方法，通过具体的例子讲述几种常用数学方法的解题步骤和证明过程 ，这对 于学好 大 学数学 具有一定的意义。 关键词 :高等数学 ；数学方法； 证明 ；解题步骤 Abstract: This article introducts to common mathematic
3、al method in higher mathematics.Dealing with mathematical method is the guiding ideology and basic slightly. Mastering the mathematical method not only has a greatly help for us to study mathematics,but also in higher mathematics learn and research is very important.This paper expounds the meaning a
4、nd signficance of mathematical methods and several commom mathematical methods,and through the concrete example about several common mathematical methods of problem solving steps and that certificate process,it has certain significance to learn the university mathematics. Keywords: Higher mathematic
5、s;Mathematical methods;certificate; The problem solving steps 目录 1. 关于高 等数学及数学方法 （ 1） 1.1 简述 高等数学 （ 1） 1.2 掌握数学方法的重要性 （ 1） 1.3 掌握 数学方法的意义 （ 1） 2. 高等数 学中常用数学方法 （ 1） 2.1 概念 法 （ 1） 2.2 数学 美的启迪 对称性方法 （ 2） 2.3 归纳 类比法 （ 3） 2.3.1 类比法 （ 3） 2.3.2 归 纳法 （ 4） 2.4 反证 法 （ 5） 2.5 换元 法 （ 6） 2.6 逆推 法 （ 7） 2.7 构造 函数法
6、 （ 8） 2.8 待定系数法 （ 9） 2.9 猜想、验证法（ 9） 2.9.1 由 不完全归纳法产生猜想 （ 10） 2.9.2 由 类比产生猜想 （ 10） 2.9.3 由 直观产生猜想 （ 11） 参考文献 （ 12） 致谢 （ 13） - 1 - 浅谈 高等数学中常用数学方法 1 关于高等数学及数学方法 1.1 简述 高等数学 我们知道高等 数学是无处不在的，无论哪一个学科都 涉及 到高等数学，高等数学对培养学生的科学素质和掌握现代教学工具起着至关 重要 的作用。一向都受到各个院校的领导及学生的重视。 但是由于高等数学是 抽象 的 基础 学科，难度 是相当大的 ，它可以说包含着各 学
7、 科的知识点 ， 其 中 包括数学分析、常微分方程 以及解析几何 等 各个学科 ，因此它具有严密的逻辑性、高度的抽象性和广泛的应用性。所以我们要学好高等数学必须掌握一定的数 学方法 以及了解它的发展史 ，这样才能 对 高等数学 做到 无所畏惧。 1.2 掌握数学方法的重要性 素质教育要求 ：“不仅要 求 学生掌握一定的知识技能，而且还要达到 能 领悟数学思想，掌握数学方法， 提高数学的素养目的，而方法又隐藏在教材之中，这就要求我们在学习知识之时，就要学会领悟知识所用的数学方法，数学方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。 因此掌握数学方法不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到一
8、题而通一类的效果，灵活运用数学方法，不仅可以提高做题速度还能锻炼我们的逻辑思维，因此我们掌握数学方法对我们解决问 题是相关重要的。 1.3 掌握数学方法的意义 （ 1）有助于我们在校学习 工欲善其事，必先利其器，如果我们想做好一件事，很重要的一点就是精锐的工具、具备适当的手段。 在学习活动中同样如此。对于学生而言，适宜的数学方法就是“利器”，它可以帮助我们更顺利、更有效地完成学习任务。 （ 2）有助于 我们在社会 学习 在学校我们如果能在学习过程中，总结一些数学方法，也就能提高我们的逻辑思维，这对于我们以后出去社会还是有益的，在当今的知识社会里，学习已经不仅仅是在校学生的事情，一个已经迈入社会
9、的成年人，同样面临着学习是问题，所以 对我们而言，学习不仅仅是要掌握知识，更重要的是要学会如何学习。正如美国著名教育心理 学家布鲁纳认为，“学习的目的不仅是将我们带到某处 ，而且应该让我们在前进时更为容易”。所谓我们所学的知识可能被遗忘，但是所学的数学方法却会使我们终生受益。 2 高等数学中常用数学方法 2.1 概念法 高等数学 中的 概念 法指 从大量的实际问题中根据其共同的本质而抽象出来的，它是高等数学大厦的支柱，只有概念清楚，才能理解各种解题方法，并能根据概念自行设计出各种新的解题方法。在利用概念解题时，要注重用类比的方法将题设与概念进行对比，通俗地 说，就是套概念。 - 2 - 例 1
10、 证明：偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导数是偶函数 . 证明： 设 ()y f x 为偶函数，即 ()Df 关于原点对称，且 ( ) ( )f x f x . (偶函数的概念 ) 那么0 f x kf x li m kk （ + ） -f(x)（ ）（导函数的概念） 0 f -x -k -limk k （ ） -f( x)（偶函数的概念） 0 flimk k （ -x-n ） -f(-x)（代数恒等变换） ()fx （导函数的概念） 即 ( ) ( )f x f x ， 且显然 ()Df 关于原点对称，故 ()fx 为奇函数 . 当 ()fx为奇函数时，同理可证 ()fx 是偶函数 。 因此
11、我们必须数学概念的本质属性却不可以断章取义，不然只会耽误做题的效率。 2.2 数学 美的启迪 对称性方法 数学美是一种人类本质力量通过宜人的数学思维的呈现 , 是数学真理的一种表现。数学中的许多重大发现或突破得益于数学中的美学方法。例如 : 对数的发现、解析几何的创立等 , 人类对数学美的追求 , 推动了数学的发展。数学美的表现常具有统一、简洁、对称及奇异等重要特征 , 这些特征渗透在数学的理论 数学的语言、数学的 定理公式、数学方法技巧及数学的实际应用之中。 对称性是数学美的重要特征。不仅如此 , 在艺术的各种要素中 , 对称性是一个非常重要的要素。解题是一门艺术 , 因此探讨对称性在解题中
12、的作用非常必要。对称性是指组成某一事物成对象的两个部分的对等性。数学中 , 有关数与形的对称现象极为常见 , 这种对称有的是形象的 , 有的则是抽象的观念和方法上的对称。对称的形和式从形式上看十分优美 , 数学解题方法中时常渗透对称的思想。许多问题初看起来似乎不易解决 , 难以下手 , 但一旦恰当地利用了某种对称性 , 就会易如反掌。 高等数学中的若干 实例 ,证实了 :如果在解题的过程中注意到对称性 ,并且恰当地利用对称性 ,则可以减少一些繁琐的计算 ,化难为易 ,提高解题效率 ,达到事半功倍的效 。 利用函数的对称性求偏导数 例 2 222222zzz = ln , xyyx 求 ，解：
13、先对 x求一阶偏导数，有 22 22z1= l n x + yx 2 x xxy （ ） = 再对 x求二阶偏导数，有 2 2 22 2 2 2 2 2z =x x ( )x y xx y x y ( ) =- 3 - 由 于在 22z= ln yx 中将 x， y互换 ，函数不变，所以 22z= ln yx 是一个对称函数，对于对称函数而言，它对任一变量求导所得的结果都可经变量的对换直接转移到其它 变量。在 2 2 22 2 2 2 2 2z =x x ( )x y xx y x y ()中，只要将 x换成 y， y换成 x即可 。 2 2 22 2 2 2 2 2z y x y=x x (
14、 )x y x y ( ) = 利用函数奇偶性与区域对称性计算各种积分 例 3 计算2 2= e + x d x d yxDI（ y ）， 其 中 D是由曲线 sin ( )y x x 与 0y 所围成区域 。 解：区域对称于原点，令 21fx x（ ,y） =ye 22fx x（ ,y） = 因为 211f x f xx （ - , - y ） =-ye （ ,y ） 222f x f x（ - ,-y） =x （ ,y ） 以 s i n2 2 2 200 00 2 x d x d y = 2 2 s in 2 8xDI d x x d y x x d x 对称性在三重积分、曲线积分和曲面
15、积分的计算中也有类似的应用。 以上所举例题只是利用对称性简化计算的一部分，还有很多问 题都可以借助对称性解决，在解题中要善于发现并利用问题中涉及的数学对象具有的对称性，当然发现对称性有时是不容易的，而要合理巧妙利用就更难，重要的是多实践，不受定向思维的约束，大胆创新，开拓思路 。 2.3 归纳类比法 归纳和类比方法是数学方法论中最基本的方法之一，用好了可以获得新发现，取得新成果，对于归纳类比方法徐利治先生用如下的图表进行了概括： 实验 -归纳 -推广 形成普遍命题 证明 类比 -联想 -预见 利用归纳类比法 解决问题有有助于我们了解问题的结构，让我们更进一步了解问题的实质。 2.3.1 类比法
16、 类比法 是把某一类对象的特征推广到另一类与它相似的对象中去的一种思想方法，谈到类比，我们一定会想起高中时的一些相关题目，如一个长方形和一个长方体具有类似性等相关题目，然而 在高等 数学 中，许多问题看起来很难求解，但经过类比， 我们却能发现解法是多种多样的，能把复杂的问题简单化，提高我们做题的速度。 从具体问题、具体素材出发 - 4 - 例 4 证明 1111p + 1 122n l n l n , 1 , 1ppp nn n n n pp （ p+1 ） 证：跟踪类比 已知结论中 111ppnn 相当于拉格朗日定理中的的 f（ b） f（ a）； 从而可以联想得到需找 1xf x =n（
17、） 这样形式的函数，进而可定出 b=p， a=p+1，显然， 1xf x =n（ ）在 p p+1， 上满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点 p p+1 ， ，使得 11 11 21f ( ) ( 1 ) = f ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) l nppp f p n n p p n n 所以 11 1121= l n , 1 .ppn n n n p p 而 11 1p + 12 2 2n1l n l n l n , 1 , 1 , ( 1 l n 0 )pnn n n n p np （ p+1 ） 所以 1111p + 1 122n l n l n , 1 , 1ppp nn
18、n n n pp （ p+1 ） 上面的例题从形式上 套用了 拉格朗日定理 ，所以需要我们对定理，以及一些推论有一定的掌握程度，这样才能把类比法运用自如，从而提高做题的速度 。当然了，并不是所有的类比都是套用形式类比，也有可能题目并没有让做题者一目了然，而要通过一些转化技巧，也就是 经过变形才能套用一些已知知识，这就需要我们平常在学习中积累一定的经验。 2.3.2 归纳法 提到归纳法，我相信大家都是非常熟悉的，我们知道归纳法的应用是非常 广泛的，它渗透到各个学科的知识，特别是在数学这学科中，应用方面非常多，我们知道归纳法是 在 高等 数学 中多处定理和习题的证明都要用到数学归纳法 ,用数学归纳
19、法证明这些定理和习题 ,显得思路清晰 ,又能找出相应的递推关系 ,非常凑效 ,而且有时非要用这种方法证明不可 ，由此可知道数学归纳法的重要性。 例 5 求证 234n210 1 2 2 2 2 2c o s x s i n ( ) ,2 1 2 3 4 nnnn x d x n N 证明：利用数学归纳法 （ a） 当 n=1 时， 220011c o s sin sin sin sin 222 0x n x d x x n x d x x 左式 =右式 （ b） 假设 n=k时等式成立，即有 234210 1 2 2 2 2 2c o s x s i n ( )2 1 2 3 4 kkkkk
20、x d x - 5 - 记 121 0 c o s x s i n ( 1 ) ,kKI k xd x 当 n=k+1时有， 12101 c o s x d c o s ( 1 )1 kKI k xk k101 c o s c o s( 1 ) c o s c o s( 1 ) sin21 0kx k x x k x x d xk 201 c o s c o s ( 1 ) s in1 k x k x x d xk 上面两式同时加 上 1KI ，而得到递推公式： 22100112 c o s x s in ( 1 ) c o s c o s x c o s ( 1 ) s inkkKkI k
21、x x d x k x x d x Ikk 因此， 2341 11 1 1 2 2 2 2 2. ( )2 ( 1 ) 2 2 1 2 3 4 kkk nI k 2 3 4 + 111 2 2 2 2 2 2= ( + )2 1 2 3 4 k k + 1kkn 由此可知，对于一切自然数 n，等式成立。 从上面我们知道，归纳法的解题步骤是有规律可循的，第一步是当 n=1时是否成立 ,若成立则执行第二步，第二步：假设当 n=k时成立，然后找出当 n=k+1时成立，就能证明该等式了。可见，归纳法 使用的步骤简单，适用很多种 定理及证明的的方法 。但是它体现了严格的推理论证过程，这能锻炼学生养成严谨
22、的推理逻辑，培养学生的耐心能力 。 2.4 反 证 法 反证法 又称归谬法、背理法，是一 种 常用的 论证方法 ， 它的基本思想是假设原题的结论不成立，从而推理出明显的矛盾结果，这样就能证明原假设不正确，从而论证原结论是正确的。我们知道我们思考题目时，一般都是从原条件下得出我们所需要的结论，但反证法可以帮助我们从反面思考， 因此当我们从正面无法得出结论时，我们可以利用反证法求证。当然了反证法并不是使用所有的命题，它适用的命题有唯一性命题、否定性命题和含有“至多”，“至少”型的命题。它的证明有三个步骤： （ 1） 假设命题结论不成立。 （ 2） 从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。 （ 3） 由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。 例 6 设 函数 fx（ ） 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 fx （ ） 1 ，又 f x 0,1（ ） ，
