1、充要条件的判定导与练山东 胡彬充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 p 和结论 q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.1典型案例探究例 1已知 p：|1 | 2,q:x22x+1m 20( m0),若 p 是q 的必要而不充分条31件，求实数 m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得
2、简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若p 是 q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是 q 的充分不必要条件.p:|1 |2 2 12 1 3 2x1031x3xxq:x22x+1m 20 x (1m) x(1+m )0 *p 是 q 的充分不必要条件，不等式|1 |2 的解集是 x22x+1m 20(m 0)解集的子集.3又m0 不等式*的解集为 1m
3、x1+m ，m 9，实数 m 的取值范围是 9，+ .10 )例 2已知数列a n的前 n 项 Sn=pn+q(p0,p1),求数列a n是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前 n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由 an= 关系式去寻找 an 与 an+1 的比值，但同时要注意充)2(1nS分性的证明.解：a 1=S1=p+q.当 n2 时，a n=SnS
4、n1 =pn1 (p1)p0,p1, =p,若 an为等比数列，则 =p)1(n na12 =p,p0，p1=p+ q，q=1,这是a n为等比数列的必要条件.q)1(下面证明 q=1 是a n为等比数列的充分条件.当 q=1 时，S n=pn1(p0,p1)，a 1=S1=p1当 n2 时，a n=SnS n1 =pnp n1 =pn1 (p1)a n=(p1)p n1 (p0,p1) , =p 为常数21)(nnq=1 时，数列a n为等比数列.即数列 an是等比数列的充要条件为 q=1.2涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念：当“若 p 则 q”形式的
5、命题为真时，就记作 p q，称 p 是 q 的充分条件，同时称 q 是 p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“ ”要熟悉它的各种同义词语： “等价于” ， “当且仅当” ， “必须并且只需” ， “，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若 A B，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件；若 A=B，则A、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立( 即条件的充分性)，又要证明它的逆
6、命题成立(即条件的必要性 ).3跟踪训练一、选择题1.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( )A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=02. “a=1”是函数 y=cos2axsin 2ax 的最小正周期为“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3. a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a1)y=a7 平行且不重合的 _.4.命题 A：两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0),命题 B：曲线 F(x,y)+G(x ,y)=0( 为常数)过点
7、 P(x0,y0),则 A 是 B 的_条件.三、解答题5.设 ， 是方程 x2ax +b=0 的两个实根，试分析 a2 且 b1 是两根 、 均大于1 的什么条件？6.已知数列a n、b n满足：b n= ,求证：数列a n成等差数列的充要na321条件是数列b n也是等差数列.7.已知抛物线 C：y =x 2+mx1 和点 A(3，0)，B(0 ，3)，求抛物线 C 与线段 AB 有两个不同交点的充要条件.8. p:22,b= 1,q p(2)为证明 p q,可以举出反例：取 =4, = ,它满足21a= + =4+ 2,b= =4 =21,但 q 不成立.2121综上讨论可知 a2,b1
8、 是 1, 1 的必要但不充分条件.6.证明：必要性：设a n成等差数列，公差为 d,a n成等差数列. dnandbn 32)1(1)1(32)2(3211 从而 bn+1b n=a1+n da 1(n1) d= d 为常数 .3故b n是等差数列，公差为 d.2充分性:设b n是等差数列，公差为 d,则 bn=(n1)db n(1+2+n)=a1+2a2+nan bn1 (1+2+n1)=a 1+2a2+(n1)a n 得：na n= bn1 2)()1(na n= ,dnbdnbdb 23)1()2(211从而得 an+1a n= d为常数 ，故 an是等差数列.3综上所述，数列a n成
9、等差数列的充要条件是数列b n也是等差数列.7.解：必要性：由已知得，线段 AB 的方程为 y=x+3(0x 3)由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点，所以方程组 *有两个不同的实数解.)30(12xym消元得：x 2(m+1)x +4=0(0 x3). 设 f(x)=x2( m+1)x+4,则有:321031004)(9)(4)1mf充分性：当 3x 时，0x1= 02)1(216)( m36)30()( 22 mx方程 x2(m+1) x+4=0 有两个不等的实根 x1,x2,且 0x 1x 23,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线 y=x 2+mx1 和线段 AB 有两个不同交点的充要条件 3m .108.解：若关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有 2 个小于 1 的正根，设为 x1,x2.则 0x 11,0x 21,有 0x 1+x22 且 0x 1x21,根据韦达定理： 21m得有2m0;0n1 即有 q p.反之，取 m= 02149,0213,32x方程 x2+mx+n=0 无实根，所以 p q综上所述，p 是 q 的必要不充分条件.
