1、 2015-2016 学年重庆一中高一（下） 4 月月考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知 ， ，则 m=（ ） A B C 2 D 2 2在等差数列 an中， a2+a3=5， a1=4，则公差 d 等于（ ） A 1 B 0 C D 1 3已知 ，则 cos（ +2）等于（ ） A B C D 4已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 AB 边上的中点，则 的值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 6 5等差数列 an中， a3=5， a4+a8=22，则 a9 的值为（ ）
2、A 14 B 17 C 19 D 21 6已知函数 f（ x） =sin（ x+ ） +2（ 0）的图形向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小值是（ ） A 6 B 3 C D 7数列 an的通项公式为 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2016=（ ） A 1008 B 1008 C 1 D 0 8已知函数 ，如果关于 x 的方程 f（ x） =k 只有一个实根，那么实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 9已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 S5= 15， ，则当 Sn 取得最小值时n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 10已知函数 ，若 f（ m+1）
3、f（ 1），则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， +） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 11已知正项等比数列 an，满足 a5+a4 a3 a2=9，则 a6+a7 的最小值为（ ） A 9 B 18 C 27 D 36 12设向量 ， ，其中 x， y， 为实数，若 ，则 的取值范围为（ ） A 6， 1 B 1， 6 C 4， 8 D（ ， 1 二、填空题（ 每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13设全集 U=R，集合 A=x|log2x 1， B=x|x2 2x 3 0，则 AB=_ 14已知 ， ， ，则 与 的夹角为 _ 15数列 1， ，
4、 ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 是该数列的第 _项 16如图，在 ABC 中， D 是线段 BC 上的一点，且 ，过点 D 的直线分别交直线AB， AC 于点 M， N，若 ， = （ 0， 0），则 +3的最小值是 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17已知 an是各项均为正数的等比数列， bn是等差数列，且 a1=b1=1， b2+b3=2a2， a33b2=2 （ 1）求 an和 bn的通项公式； （ 2）设数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn的前 n 项和为 Tn，求 Sn 和 Tn 的值 18已知 a，
5、b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 所对的边长，且 acosB+bcosA=2ccosC （ 1）求角 C 的值； （ 2）若 c=4， a+b=7，求 S ABC 的值 19已知向量 ， ，且 （ 1）求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若函数 在区间 上有零点，求 m 的取值范围 20已知向量 ，满足 ， ， （ 1）求 的值； （ 2）求 的最大值 21已知函数 g（ x） =ax2 2ax+b（ a 0）在区间 1， 3上有最大值 5，最小值 1；设 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）若 对任意 x 1， 10） （ 10， 100恒成立，求 k 的取值范围 2
6、2已知 A， B 是函数 的图象上任意两点，且 ，点 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 ， n N*，且 n 2，求 Sn； （ 3）已知 ，其中 n N*， Tn 为数列 an的 前 n 项和，若 Tn （ Sn+1+1）对一切 n N*都成立，试求 的取值范围 2015-2016 学年重庆一中高一（下） 4 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知 ， ，则 m=（ ） A B C 2 D 2 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据向量的坐标运算
7、和向量的平行的条件计算即可 【解答】 解： ， ， 2 （ 1） =1 m， m= 2， 故选： D 2在等差数列 an中， a2+a3=5， a1=4，则公差 d 等于（ ） A 1 B 0 C D 1 【考点】 等差数列的 通项公式 【分析】 由等差数列的性质利用等差通项公式能求出公差 d 【解答】 解： 等差数列 an中， a2+a3=5， a1=4， 4+d+4+2d=5， 解得 d= 1， 公差 d 等于 1 故选： A 3已知 ，则 cos（ +2）等于（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算得解
8、【解答】 解： ， cos（ +2） = cos2=2sin2 1=2 （ ） 2 1= 故选： B 4已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 AB 边上的中点，则 的值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 以 B 点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案 【解答】 解：以 B 点为原点，建立如图所示的坐标系， 正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 AB 边上的中点， E（ 0， 1）， D（ 2， 2）， C（ 0， 2）， =（ 2， 1）， =（ 2， 0）， = 2 （ 2） 1 0=4， 故选： C 5
9、等差数列 an中， a3=5， a4+a8=22，则 a9 的值为（ ） A 14 B 17 C 19 D 21 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知求得 2a6，结合 a3=5，再由等差数列的性质求得 a9 的值 【解答】 解：在等差数列 an中，由 a4+a8=22，得 2a6=22， 又 a3=5，由等差数列的性质可得： a9=2a6 a3=22 5=17 故选： B 6已知函数 f（ x） =sin（ x+ ） +2（ 0）的图形向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小值是（ ） A 6 B 3 C D 【考点】 函数 y=Asin（ x+）的图象变换 【分析】 函数 y=
10、sin（ x+ ）的图象 向右平移 个单位后与原图象重合可判断出 是周期的整数倍，由此求出 的表达式，判断出它的最小值 【解答】 解： 函数 y=sin（ x+ ）的图象向右平移 个单位后与原图象重合， =n ， n z， =6n， n z， 又 0，故其最小值是 6 故选： A 7数列 an的通项公式为 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2016=（ ） A 1008 B 1008 C 1 D 0 【考点】 数列的求和 【分析】 由三角函数性质得数列 an是以 4 为周期的周期数列，由此利用 S2016=504（ a1+a2+a3+a4），能求出结果 【解答】 解： 数列 an的通项公式为 ，
11、 =0， a2=cos= 1， =0， a4=cos2=1， 数列 an是以 4 为周期的周期数列， S2016=504（ a1+a2+a3+a4） =504（ 0 1+0+1） =0 故选： D 8已知函数 ，如果关于 x 的方程 f（ x） =k 只有一个实根，那么实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由题意可得 y=f（ x）的图象和直线 y=k 的交点个数为 1作出 y=f（ x）的图象和直线 y=k，通过观察即可得到 k 的范围 【解答】 解：关于 x 的方程 f（ x） =k 只有一个实根， 即为 y=f（ x）的图象和直线 y
12、=k 的交点个数为 1 作出 y=f（ x）的图象和直线 y=k，如图， 由图象可得当 ln2 k 时， y=f（ x）的图象和直线 y=k 只有一个交点， 即为关于 x 的方程 f（ x） =k 只有一个实根 故选： D 9已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 S5= 15， ，则当 Sn 取得最小值时n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由已知得 a1= 3 2d，从而得到 Sn= （ n ） 2 ，由 ，得 ，由此能求出当 Sn 取得最小值时 n 的值 【解答】 解： 等差数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 S5=
13、15， ， = 15， 解得 a1= 3 2d， Sn=na1+ = 3n 2nd+ = （ n ） 2 ， ， ， 当 Sn 取得最小值时 n 的值为 故选： C 10已知函数 ，若 f（ m+1） f（ 1），则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， +） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 【考点】 指、对数不等式的解法 【分析】 先判定函数 f（ x）是定义域上的奇函数，再判断 f（ x）是单调减函数，由 f（ m+1） f（ 1）转化为等价的不等式组，从而求出 m 的取值 范围 【解答】 解： 函数 ， x （ 2， 2）， f（ x） =lg = lg = f（
14、 x）， f（ x）是定义域上的奇函数； 又 f（ x） =lg（ 1+ ）在定义域（ 2， 2）上是单调减函数， 若 f（ m+1） f（ 1）， 则 f（ m+1） f（ 1）， 转化为 ， 解得 0 m 1； 实数 m 的取值范围是（ 0， 1） 故选： C 11已知正项等比数列 an，满足 a5+a4 a3 a2=9，则 a6+a7 的最小值为（ ） A 9 B 18 C 27 D 36 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 可判数列 an+an+1也是各项均为正的等比数列，则 a2+a3， a4+a5， a6+a7 构成等比数列设其公比为 x， a2+a3=a，则 x （ 1， +
15、）， a4+a5=ax，结合已知可得 a= ，代入 可得 y=a6+a7 的表达式， x （ 1， +），由导数求函数的最值即可 【解答】 解： 数列 an是各项均为正的等比数列， 数列 an+an+1也是各项均为正的等比数列， 则 a2+a3， a4+a5， a6+a7 构成等比数列 设其公比为 x， a2+a3=a， 则 x （ 1， +）， a5+a4=ax， 有 a5+a4 a3 a2=ax a=9，即 a= ， y=a6+a7=ax2= ， x （ 1， +）， 求导数可得 y= ，令 y 0 可得 x 2， 故函数在（ 1， 2）单调递减，（ 2， +）单调递增， 当 x=2 时，
16、 y=a6+a7 取最小值： 36 故选： D 12设向量 ， ，其中 x， y， 为实数，若 ，则 的取值范围为（ ） A 6， 1 B 1， 6 C 4， 8 D（ ， 1 【考点】 向量数乘的运算及其几何意义 【分析】 根据向量的数量关系列出方程组，得出 x， y 的关系，根据三角函数的范围得出 y的范围，从而得出 的范围 【解答】 解： ， ， 由 x+2=2y 得 x=2y 2， 由 x2 cos2=y+2sincos得： x2 y= cos2+sin2=2sin（ 2+ ） 4y2 9y+4=2sin（ 2+ ） 2 4y2 9y+4 2，解得 = 当 y= 时， 取得最小值 6，
17、当 y=2 时， 取得最大值 1 故选： A 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13设全集 U=R，集合 A=x|log2x 1， B=x|x2 2x 3 0，则 AB= 2， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出集合 A， B，根据集合的交集定义进行计算 【解答】 解： log2x 1=log22， x 2， A=2， +）， x2 2x 3 0， （ x 3）（ x+2） 0， 解得 2 x 3， B=（ 2， 3）， AB=2， 3）， 故答案为： 2， 3） 14已知 ， ， ，则 与 的夹角为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量数
18、量积的应用进行求解即可 【解答】 解： ， ， ， 平方得 | |2+| |2 2 =1， 即 1+3 2 =1， 则 2 =3， = ， 则 cos ， = = = ， 则 ， = ， 故答案为： 15数列 1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 是该数列的第 24 项 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 该数列中：分子、分母之和为 2 的有 1 项，为 3 的有 2 项，为 4 的有 3 项，为 5的有 4 项， ，由此可知：分子、分母之和为 7 的有 6 项，而分子、分母之和为 8 的有 7 项，排列顺序为： ， ， ，可得 是分子、分母之和为 8 的第 3 项，再由等差
19、数列的前 n 项和公式计算即可得答案 【解答】 解：观察数列 1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 该数列中：分子、分母之和为 2 的有 1 项，为 3 的有 2 项，为 4 的有 3 项，为 5 的有 4 项， ， 分子、分母之和为 7 的有 6 项 而分子、分母之和为 8 的有 7 项，排列顺序为： ， ， ，其中 是分子、分母之和为 8的第 3 项， 故共有 项 故答案为： 24 16如图，在 ABC 中， D 是线段 BC 上的一点，且 ，过点 D 的直线分别交直线AB， AC 于点 M， N，若 ， = （ 0， 0），则 +3的最小值是 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 先确定 ， 的关系，再利用导数法，即可求出 +3的最小值 【解答】 解： 若 ， = （ 0， 0）， = + =（ 1 ） ， M， D， N 三点共线， 存在实数 k，使 =k = k +k
