1、 上海实验学校 2015-2016 学年 高 二 上学期期中数学试卷 2015.11 一 . 填空题（本大题共 10 题，每题 4 分，共 40 分） 1. 2lim21nnn ； 2. 过点 (1,0) 且与直线 02 yx 垂直的方程 ； 3. 已知 ( 4,5)a ， ( 2,4)b ， 则 |2 |ab ； 4. 若 | | 1a ， | | 2b ，且 ab 与 a 垂直，则向量 a 与 b 的夹角大小为 ； 5. 已知直线 l 的一个法向量 (1, 3)n ，则此直线的倾斜角的大小为 ； 6. 已知直线 1 : 6 ( 1) 8 0l x t y ，直线 2 : ( 4 ) ( 6
2、 ) 1 6 0l t x t y ，若 1l 与 2l 平行， 则 t ； 7. 设无穷数列 na 的公比 q ， 若1 3 4lim ( . )nna a a a ，则 q ； 8. 设等边三角形 ABC 的边长为 6 ，若 3BC BE ， AD DC ，则 BD AE ； 9. 已知 ABC 满足 | | 3AB ， | | 4AC ， O 是 ABC 的外心， 1 2AO AB AC ()R ，则 ABC 的面积是 ； 10. 定义函数 ( ) f x x x ，其中 x 表示不小于 x 的最小整数，如 1.4 2 ， 2.3 2 ；当 (0, xn *()nN 时，函数 )(xf
3、的值域为 nA ，记集合 nA 中元素的个数 na ，则 121 1 1lim ( . )n na a a ； 二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 4 分，共 16 分） 11. 在边长为 1的正六边形 1 2 3 4 5 6AA A A A A 中， 1 3 3 5AA AA 的值为 （ ） A. 32 B. 32 C. 332 D. 332 12. 已知12 1 2 0 1 51( ) 2 0 1 52n nnna n ， nS 是数列 na 的前 n 项和 （ ） A. limnn a和 limnn S都存在 B. limnn a和 limnn S都不存在 C. limnn a存在，
4、 limnn S不存在 D. limnn a不存在， limnn S存在 13. 设 (2,3)a ， ( 4,7)b ，则 a 在 b 上的投影为 （ ） A. 13 B. 135 C. 655 D. 65 14. 设 是两个非零向量 ,ab的夹角，已知对任意实数 t ， |b ta 的最小值为 2 ，则 （ ） A . 若 确定，则 |a 唯一确定 B. 若 确定，则 |b 唯一确定 C. 若 |a 确定，则 唯一确定 D. 若 确定，则 |a 唯一确定 三 . 解答题（本大题共 4 题，共 10+10+12+12=44 分） 15. 在平 面直角坐标系中，已知 (2,3)A ， (4,
5、1)B ， (2,0)P ，求： （ 1） APBP 的值；（ 2） APB 的大小； 16. 已知两点 (2,1)A ， ( ,4)Bm ，求： （ 1）直线 AB 的斜率和直线 AB 的方程； （ 2）已知 2 3, 2 3 3m ，求直线 AB 的倾斜角 的范围； 17. 数列 na 满足 1 1a ， 2 7a ，令 1n n nb a a ， nb 是公比为 q ( 0)q 的等比数列， 设 2 1 2n n nc a a； （ 1）求证： 18 nncq *()nN ； （ 2）设 nc 的前 n 项和为 nS ，求 1limn nS的值； 18. 定义 12, ,., nx x
6、x 的“侧平均数”为12. nnx x x *()nN ； （ 1）若数列 na 的前 n 项和的“侧平均数”为 124n ，求 na 的通项公式； （ 2）设数列 nb 满足：当 n 为奇数时， 1nb ，当 n 为偶数时， 2nb ；若 nT 为 nb 前 n项的侧平均数，求 limnn T； （ 3）设函数 2( ) 4f x x x ，对（ 1）中的数列 na ，是否存在实数 ，使得当 x 时， () 1nafx n 对任意 *nN 恒成立？若存在， 求出最大的实数 ；若不存在，说明理由； 四 . 附加题 （本大题共 2 题，共 10+10=20 分） 19. 对于一组向量 1 2 3
7、, , ,., na a a a *()nN ，令 1 2 3 .nnS a a a a ，如果存在 pa ( 1,2,3., )pn ，使得 | | | |p n pa S a，那么称 pa 是该向量组的“ h 向量”； （ 1）设 ( , )na n n x *()nN ，若 3a 是向量组 1 2 3,a a a 的“ h 向量”； （ 2）若 11( ) ,( 1) )3 nnna *()nN，向量组 1 2 3, , ,., na a a a *()nN 是否存在“ h 向量”？ 给出你的结论并说明理由； 20. 等差数列 nx 的前 n 项和为 nS ，等比数列 nb 的前 n 项
8、和为 nT ；已知 3 5x ， 3 9S ，221ba， lim 16nn T ； （ 1）求数列 nx 的通项 nx ； （ 2）设 12lg lg . lgnnM b b b ，求 nM 的最大值及此时 n 的值； （ 3）数列方程 2sin co s 1n n n nx x x S 是否有解，说明理由； 上海实验学校 高 二 上学期期中数学试卷 参考答案 1. 1； 2. 2 1 0xy ； 3. 62； 4. 23 ； 5. 6 ； 6. 5 ； 7. 512 ； 8. 18 ； 9. 25或 372 ； 10. 2 ； 11. B； 12. A； 13. C； 14. B； 15.（ 1） 3 ；（ 2） 5arccos 5 ； 16.（ 1）当 2m ， k 不存在，直线方程 2x ； 当 2m ， 32k m ， 31 ( 2)2yxm ； （ 2） 2 , 63； 17.（ 1）略；（ 2） 1 , (0 ,1)1lim 80 , 1, )n nq qS q ； 18.（ 1） 42nan；（ 2） 23 ；（ 3） 1 ； 19.（ 1） 2,0 ；（ 2） 1a 是“ h 向量”； 20.（ 1） 21nxn；（ 2） 3n 或 4n 时， max( ) 6lg 2nM ；（ 3）无解；
