1、 题型练 4 大题专项 (二 ) 数列的通项、求和问题 1.设数列 an的前 n 项和为 Sn,满足 (1-q)Sn+qan=1,且 q(q-1)0. (1)求 an的通项公式 ; (2)若 S3,S9,S6成等差数列 ,求证 :a2,a8,a5成等差数列 . 2.已知等差数列 an的首项 a1=1,公差 d=1,前 n 项和为 Sn,bn=. (1)求数列 bn的通项公式 ; (2)设数列 bn前 n 项和为 Tn,求 Tn. 3.(2017江苏 ,19)对于给 定的正整数 k,若数列 an满足 :an-k+an-k+1+ +an-1+an+1+ +an+k-1+an+k=2kan对任意正整
2、数 n(nk)总成立 ,则称数列 an是 “P(k)数列 ”. (1)证明 :等差数列 an是 “P(3)数列 ”; (2)若数列 an既是 “P(2)数列 ”,又是 “P(3)数列 ”,证明 :an是等差数列 . 4.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,公比为 q 的等比数列 bn的首项是 ,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40. (1)求数列 an,bn的通项公式 an,bn; (2)求数列的前 n 项和 Tn. 5.已知函数 f(x)=,数列 an满足 :2an+1-2an+an+1an=0,且 anan+10.在数列 bn中 ,b1=f(0),且bn=f(an-1).
3、(1)求证 :数列是等差数列 ; (2)求数列 |bn|的前 n 项和 Tn. 6.记 U=1,2, ,100.对数列 an(n N*)和 U 的子集 T,若 T=,定义 ST=0;若 T=t1,t2, ,tk,定义 ST=+ +.例如 :T=1,3,66时 ,ST=a1+a3+a66.现设 an(n N*)是公比为 3 的等比数列 ,且当T=2,4时 ,ST=30. (1)求数列 an的通项公式 ; (2)对任意正整数 k(1 k 100),若 T1,2, ,k,求证 :ST0,n N*, 所以 ST a1+a2+ +ak=1+3+ +3k-1=(3k-1)3k. 因此 ,STak+1. (
4、3)证明 下面分三种情况证明 . 若 D是 C的子集 ,则 SC+SCD=SC+SD SD+SD=2SD. 若 C是 D的子集 ,则 SC+SCD=SC+SC=2SC 2SD. 若 D不是 C的子集 ,且 C不是 D的子集 . 令 E=CUD,F=DUC,则 E,F,EF=. 于是 SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,进而由 SC SD得 SE SF. 设 k为 E中的最大数 ,l为 F中的最大数 ,则 k 1,l 1,kl. 由 (2)知 ,SEak+1.于是 3l-1=al SF SEak+1=3k,所以 l-1k,即 l k. 又 kl,故 l k-1. 从而 SF a1+a2+ +al=1+3+ +3l-1=, 故 SE 2SF+1, 所以 SC-SCD 2(SD-SCD)+1, 即 SC+SCD 2SD+1. 综上 得 ,SC+SCD 2SD.
