1、 四川省成都市树德中学 2015-2016 学年高一下学期期末考试数学 一、选择题：共 12题 1 设 a,b R,若 b-|a|0,则下列不等式中正确的是 A.a-b0 B.a+b0 C.a2-b20 D.a3+b3|a|,可得 -b0,所以选项B正确 .由 b|a|,两边平方得 b2a2,则 a2-b20,所以选项 D错误 .故选 B. 2 已知，则 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题考查平面向量的数量积 .由题意知 ,=.选 D. 【备注】若 ,，则 . 3 已知数列满足， , 则 A.1 B.2 C. D. 【答案】 C 【解析】本题考查递推公式 .由题意知 , ,所以
2、 , , , , ,所以该数列是以 6为周期的周期数列 ,所以 .选 C. 4 给出下列关于互不重合的三条直线、和两个平面、的四个命题： 若，点，则与不共面； 若、是异面直线，且，则； 若，则； 若，则， 其中为真命题的是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题考查点线面之间的位置关系 .对 ,若，点，则与不共面 , 正确 ；对 ,若、是异面直线，且，则 , 正确 ；对 ,若，则或与相交或与异面 , 错 ；对 ，若，则 , 正确 .所以真命题有 .选 C. 5 规定记号 “”表示一种运算，定义：为正实数 )，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题考查
3、新定义问题 .因为 ,所以可化为 ,即 ,所以 .选 A. 6 棱长为的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图 所示，那么被截去的几何体的体积是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题考查三视图、空间几何体的体积 .还原出空间几何体 (如图所示 );被截去的与剩下的几何体体积相同 ;所以被截去的几何体的体积 .选 B. 7 如图 ,已知 ,且 ,任意点关于点的对称点为 ,点关于点的对称点为 ,则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积 .因为为的中点 ,所以 =;所以 =6.选 A. 8 已知是内一点，且，若、的面积分别为、，则的最小值是
4、A.18 B.16 C.9 D.4 【答案】 A 【解析】本题考查平面向量的数量积，基本不等式，三角形的面积公式 .，可得；而 +=,即+=；所以 +.即的最小值是 18.选 A. 【备注】 ; 三角形的面积公式： . 9 在中，内角的对边分别为 ,若的面积为 ,且 , 则等于 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题考查正弦定理和余弦定理 ,三角形的面积公式 .由三角形的面积公式知 ,因为 ,所以；由余弦定理知 ,所以 ,整理得 ,所以 ,所以 ,所以 ,解得 .选 C. 10 如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题 中，错误的为 A.是正三棱锥 (底面为正三
5、角形，顶点在底面的投影为底面的中心 ) B.直线 平面 . C.平面 . D.直线与平面所成的角的正弦值为 . 【答案】 B 【解析】本题考查线面平行与垂直 .两两垂直且相等 ,所以是正三棱锥 ,A正确 ;将正四面体放入正方体中 (如图所示 ),显然 ,而与平面相交 ,所以直线与平面相交 ,B错误 ,选 B. 11 已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为 A. B.2 C. D.4 【答案】 D 【解析】本题考查一元二次不等式 ,基本不等式 .因为的解集为空集 ,所以恒成立 ,即 ,即 ;所 以=4(当且仅当时等号成立 ).即的最小值为 4.选 D. 12 设等差数列满足，公差，当且仅当时
6、，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题考查等差数列 ,和角差角公式 .因为为等差数列 ,所以 ,即 =,;=1,而 ,所以 ;所以=;由题意得对称轴满足 ,解得 .选 C. 【备注】等差数列中， . 二、填空题：共 4题 13 已知的顶点坐标分别为 ,则 【答案】 【解析】本题考查空间中两点间的距离公式和余弦定理 .由题意知 ,所以 ,由余 弦定理知 ,.所以 . 14 如图所示，四边形是上底为 2，下底为 6，底角为的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的高为 【答案】 【解析】本题考查直观图 .由题意得
7、;而 ,所以 =,解得 .即在直观图中梯形的高为 . 【备注】 . 15 设是等比数列的前项和，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】本题考查等比数列和均值不等式 .因为为等比数列 ,所以亦为等比数列 ,即 =,所以 ;而 ,所以 ;所以 (当且仅当时等号成立 ).即的最小值为 20. 16 已知是锐 角的外接圆圆心，是边上一点 (与不重合 )，且，若，则 . 【答案】 【解析】本题考查平面向量的数量积 ,诱导公式 ,和角公式 ,正弦定理 .作 ,在直角三角形中 ,;在直角三角形中 ,;而 =;即 ,即 ,即 ,所以 ,即为的中点 ,所以三角形为等腰三角形 ,而 ,可得 ;取的中点 ,;代入
8、等式得 ,等式两边同乘得 ,即 ,即 ;由正弦定理得 =. 三、解答题：共 6题 17 已知关于的不等式的解集为 . (1)求实数的值； (2)解关于的不等式：为常数 ). 【答案】 (1)由题知为关于的方程的两根，即； . (2)不等式等价于，所以：当时解集为； 当时解集为；当时解集为 . 【解析】本题考查一元二次不等式、分式不等式 .(1)转化为方程的根 ,解得 .(2)将分式不等式转化为一元二次不等式 ,即可求得 . 18 如图，在三棱柱中，侧棱与底面成角为， (1)若，求证：； (2)若为的中点，问 :上是否存在点，使得 平面？ 若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由 【答
9、案】 (1)因为侧棱与底面成角 ,即 ; 而在内 ,所以 ; 而 =,所以 ; 所以 . (2)上存在点 (为上的中点 ),即 ,使得 平面 . 因为为的中点，为 上的中点 ,所以为中位线 ,即 ; 而内 ,所以 平面 ,此时 . 【解析】本题考查线面平行与垂直 .(1),所以 ,所以 ,所以 .(2), 平面 ,为上的中点 . 19 已知数列的前项和是，且 . (1)求数列的通项公式； (2)设，求适合方程的正整数的值 . 【答案】 (1)时， , 时， ,， . 是以为首项，为公比的等比数列， . (2),. . . 由解得 . 【解析】本题考查数列的通项与求和 .(1)由的关系得 .所以
10、是等比数列，所以 .(2)裂项相消得 . 20 如图，中， ,，点为线段上一点，过作垂直于与，作垂直于 BC与 . (1)若 ,则 ,求的长 . (2)在 (1)的结论下 ,若点为线段上运动，求面积的最大值 . 【答案】 (1)因为 sin ABC，所以 cos ABC 1 2 . ABC中，设 BC a， AC 3b，则由余弦定理可得 9b2 a2 4 在 ABD和 DBC中，由余弦定理可得 cos ADB， cos BDC . 因为 cos ADB cos BDC，所以有，所以 3b2 a2 6， 由 可得 a 3， b 1，即 BC 3. (2)令，则 ABC的面积为 23， 从而可得 . 而 DEF的面积为 (当且仅当时取等 ) 即面积的最大值为 . 【解析】本题考查余弦定理 ,三角形的面积公式 ,基本不等式 .(1)由同角三角函数的基本关系及余弦定理得 BC 3.(2)由三角形的面积公式及基本不等式得 .即面积的最大值为 . 21 在直角梯形中， ,(如图 1)把沿翻折，使得二面角的平面角为 (如图 2),、分别是和中点 . (1)若为线段上任意一点，求证： (2)若，求与平面所成角的正弦值 . (3)、分别为线段与上一点，使得 .令与和所成的角分别为和 .求的取值范围 . 【答案】 (1)又 .
