1、 2016-2017 学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 1若 a b， c d，则下列命题中正确的是（ ） A a c b d B C ac bd D c+a d+b 2在等差数列 an中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A 58 B 88 C 143 D 176 3在 ABC 中，已知 a=8， B=60， C=75，则 b 等于（ ） A 4 B 4 C 4 D 4已知数列 an的前 n 项和 Sn=n3，则 a4=（ ） A 37 B 27 C 64 D 91 5若一个
2、正三棱柱的正视图如图所示，则其侧视图的面积等于（ ） A B 2 C 2 D 6 6一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形 OABC的面积为 ，则原梯形的面积为（ ） A 2 B C 2 D 4 7已知函数 f（ x） =sin（ 2x+ ）（ x R），下面结论错误的是（ ） A函数 f（ x）的最小正周期为 B函数 f（ x）是偶函数 C函数 f（ x）的图象关于直线 对称 D函数 f（ x）在区间 0， 上是增函数 8已知 x 0， y 0，且 + =1，则 + 的最小值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 9设函数 f（ x） =x2 x 2， x 5， 5若从区间 5， 5内
3、随机选取一个实数 x0，则所选取的实数 x0 满足 f（ x0） 0 的概率为（ ） A 0.5 B 0.4 C 0.3 D 0.2 10已知变量 x、 y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+y 仅在点（ 3， 0）处取到最大值，则实数 a 的取值范围（ ） A（ ， +） B（ ， ） C（ ， +） D（ ， +） 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11不等式 x（ 1 2x） 0 的解集为 12一个长方体的各顶 点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2， 3，则此球的表面积为 13 4 张卡片上分别写有数字 1， 2， 3， 4，从
4、这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 14设 b 是 1 a 和 1+a 的等比中项（ a 0， b 0），则 a+ b 的最大值为 15给定下列四个命题： 若 0，则 b2 a2； 已知直线 l，平面 ， 为不重合的两个平面，若 l ，且 ，则 l ； 若 1， a， b， c， 16 成等比数列，则 b= 4； 三棱锥的四个面可以都是直角三角形 其中真命题编号是 （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养
5、殖场中不同位置共捕捞出 100 条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得 如表 鱼的重量 1.00，1.05） 1.05，1.10） 1.10，1.15） 1.15，1.20） 1.20，1.25） 1.25，1.30） 鱼的条数 3 20 35 31 9 2 若规定重量大于或等于 1.20kg 的鱼占捕捞鱼总量的 15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题 （ 1）根据统计表，估计数据落在 1.20， 1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？ （ 2）上面所捕捞的 100 条鱼中，从重量在 1.00， 1.05）和 1.25，
6、 1.30）的鱼中，任取 2 条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在 1.00， 1.05）和 1， .25， 1.30）中各有 1 条的概率 17已知函数 f（ x） =Msin（ x+）（ M 0， | ）的部分图象如图所示 （ I）求函数 f（ x）的解析式； （ II）在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c 若（ 2a c） cosB=bcosC，求 f（ ）的取值范围 18已知函数 f（ x） = sinxcosx cos2x ， x R （ 1）求函数 f（ x）的最小值和最小正周期； （ 2）已知 ABC 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，
7、满足 sinB 2sinA=0 且 c=3， f（ C）=0，求 a、 b 的值 19如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ACB=90， PA 平面 ABCD，PA=BC=1， ， F 是 BC 的中点 （ ）求证： DA 平面 PAC； （ ）试在线段 PD 上确定一点 G，使 CG 平面 PAF，并求三棱锥 A CDG 的体积 20已知数列 an是等差数列， bn是等比数列，且 a1=b1=2， b4=54， a1+a2+a3=b2+b3 （ 1）求数列 an和 bn的通项公式； （ 2）数列 cn满足 cn=anbn，求数列 cn的前 n 项和 Sn 21已知
8、数列 an是等差数列， Sn 为 an的前 n 项和，且 a10=19， S10=100；数列 bn对任意 n N*，总有 b1b2b3b n 1bn=an+2 成立 （ ）求数列 an和 bn的通项公式； （ ）记 cn=（ 1） n ，求数列 cn的前 n 项和 Tn 2016-2017 学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 1若 a b， c d，则下列命题中正确的是（ ） A a c b d B C ac bd D c+a d+b 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 根据不等式的基
9、本性质，逐一分析四个答案中不等式的正误，可得答案 【解答】 解：若 a b， c d， 则 a c b d 不一定成立，故 A 错误； 不一定成立，故 B 错误； ac bd 不一定成立，故 C 错误； 由不等式同号可加性可得： c+a d+b， 故选： D 2在等差数列 an中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A 58 B 88 C 143 D 176 【考点】 等差数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】 根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由 S11= 运算求得结果 【解答】 解： 在等差数列 an中，已知 a4+a8=16，
10、 a1+a11=a4+a8=16， S11= =88， 故选 B 3在 ABC 中，已知 a=8， B=60， C=75，则 b 等于（ ） A 4 B 4 C 4 D 【考点】 正弦定理 【分析】 先根据已知求得 A 的值，从而由正弦定理即可求值 【解答】 解： 在 ABC 中， B=60， C=75， A=180 60 75=45 由正弦定理可得： b= = =4 故选： A 4已知数列 an的前 n 项和 Sn=n3，则 a4=（ ） A 37 B 27 C 64 D 91 【考点】 数列的函数特性 【分析】 利用 a4=S4 S3 即可得出 【解答】 解： 数列 an的前 n 项和 S
11、n=n3， a4=S4 S3=43 33=37 故选： A 5 若一个正三棱柱的正视图如图所示，则其侧视图的面积等于（ ） A B 2 C 2 D 6 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 由正视图知三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，侧视图是长为 ，高为 1 的矩形，即可求得结论 【解答】 解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正 三棱柱， 侧视图是长为 ，高为 1 的矩形， 侧视图的面积为 故选： A 6一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形 OABC的面积为 ，则原梯形的面积为（ ） A 2 B C 2 D 4 【考点】 平面图形的直观图 【分析】
12、 根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求 【解答】 解：如图， 有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高 OA 是直观图中 OA长度的 2 倍，如直观图， OA的长度是直观图中梯形的高的 倍，由此平面图中梯形的高 OA 的长度是直观图中梯形高的 2 =2 倍，故其面积是梯形 OABC的面积 2 倍，梯形 OABC的面积为 ，所以原梯形的面积是 4 故应选 D 7已知函数 f（ x） =sin（ 2x+ ）（ x R），下面结论错误的是（ ） A函数 f（ x）的最小正 周期为 B函数
13、 f（ x）是偶函数 C函数 f（ x）的图象关于直线 对称 D函数 f（ x）在区间 0， 上是增函数 【考点】 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性 【分析】 函数 = cos2x 分别求出的周期、奇偶性、单调区间、对称中心，可得 A、 B、 D 都正确， C 错误 【解答】 解：对于函数 = cos2x，它的周期等于 ，故 A 正确 由于 f（ x） = cos（ 2x） = cos2x=f（ x），故函数 f（ x）是偶函数，故 B 正确 令 ，则 =0，故 f（ x）的一个对称中心，故 C 错误 由于 0 x ，则 0 2x ， 由于函数 y=cost 在 0， 上单调递减 故
14、 y= cost 在 0， 上单调递增，故 D 正确 故选 C 8已知 x 0， y 0，且 + =1，则 + 的最小值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 【考点】 基本不等式 【分析】 利用 “1= + ”代入，将 + 乘以 + ，即可得到积为定值的和的形式，再用基本不等式即可求出该式的最小值 【解答】 解： x 0， y 0，且 + =1， + =（ + ）（ + ） =2+ ， 当且仅当 =1 时， + 的最小值为 4 故选 C 9设函数 f（ x） =x2 x 2， x 5， 5若从区间 5， 5内随机选取一个实数 x0，则所选取的实数 x0 满足 f（ x0） 0 的概率为（ ）
15、A 0.5 B 0.4 C 0.3 D 0.2 【考点】 几何概型；一元二次不等式的解法 【分析】 由题意知本题是一 个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率 【解答】 解：由题意知本题是一个几何概型， 概率的值对应长度之比， 由 f（ x0） 0， 得到 x2 x 2 0， 解得： 1 x 2， P= =0.3， 故选 C 10已知变量 x、 y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+y 仅在点（ 3， 0）处取到最大值，则实数 a 的取值范围（ ） A（ ， +） B（ ， ） C（ ， +） D（ ， +） 【考点】
16、 简单线性规划 【分析】 由题意作出其平面区域，由目标函数 z=ax+y 仅在点（ 3， 0）处取到最大值，将 z=ax+y化为 y= a（ x 3） +z， z 相当于直线 y= a（ x 3） +z 的纵截距，则 a 【解答】 解：由题意作出其平面区域， 由目标函数 z=ax+y 仅在点（ 3， 0）处取到最大值， 将 z=ax+y 化为 y= a（ x 3） +z， z 相当于直线 y= a（ x 3） +z 的纵截距， 则 a ， 则 a ， 故选 C 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11不等式 x（ 1 2x） 0 的解集为 x|0 【考点】 一元
17、二次不等式的解法 【分析】 利用二次不等式求解即可 【解答】 解：不等式 x（ 1 2x） 0，即 x（ x ） 0，解得 0 不等式 x（ 1 2x） 0 的解集为： x|0 故答案为： x|0 12一个长方体 的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2， 3，则此球的表面积为 14 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由题意可知，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求出球的直径，然后求出球的表面积 【解答】 解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长， 即 ， 由 S=4R2=14 故答案为： 14 13 4 张卡片上分别写有数字 1，
18、 2， 3， 4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为 奇数的概率为 【考点】 等可能事件的概率 【分析】 列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可 【解答】 解：列树状图得： 共有 12 种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为 8 种， 所以概率为 故答案为： 14设 b 是 1 a 和 1+a 的等比中项（ a 0， b 0），则 a+ b 的最大值为 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 推导出 a2+3b2=1，令 a=cos， b=sin， （ 0， 2），由此利用三角函数性质能求出 a+ b 的
19、最大值 【解答】 解： b 是 1 a 和 1+a 的等比中项（ a 0， b 0）， = = ， a2+3b2=1， a 0， b 0， 令 a=cos， b=sin， （ 0， 2） 则： a+ b=cos+sin= sin（ + ） a+ b 的最大值为 故答案为： 15给定下列四个命题： 若 0，则 b2 a2； 已知直线 l，平面 ， 为不重合的两个平面，若 l ，且 ，则 l ； 若 1， a， b， c， 16 成等比数列，则 b= 4； 三棱锥的四个面可以都是直角三角形 其中真命题编号是 （写出所有真命题的编号） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据不等式的性质、空间
20、线面位置关系、等比数列定义、三棱锥定义等逐一对各个答案的真假进行判断 【解答】 解：对于 ，由 0 得到 b a 0， b2 a2，故 是真命题； 对于 ，若 l ，且 ，则 l 或 l，故是 假命题； 对于 若 1， a， b， c， 16 成等比数列，则 a2= 1 b，且 b2= 1 （ 16）， b 0，b= 4，故 是真命题； 对于 ，如图所示三棱锥 C A1B1C1 的四个面可以都是直角三角形故 是真命题 故答案是： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 . 16某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场
21、中不同位置共捕捞出 100 条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表 鱼的重量 1.00，1.05） 1.05，1.10） 1.10，1.15） 1.15，1.20） 1.20，1.25） 1.25，1.30） 鱼的条数 3 20 35 31 9 2 若规定重量大于或等于 1.20kg 的鱼占捕捞鱼总量的 15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题 （ 1）根据统计表，估计数 据落在 1.20， 1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？ （ 2）上面所捕捞的 100 条鱼中，从重量在 1.00， 1.05）和 1.25， 1
22、.30）的鱼中，任取 2 条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在 1.00， 1.05）和 1， .25， 1.30）中各有 1 条的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）捕捞的 100 条鱼中间，求出数据落在 1.20， 1.25）的概率，再求出数据落在 1.20，1.30）中的概率，相加即得所求 （ 2）重量在 1.00， 1.05）的鱼 有 3 条，把这 3 条鱼分别记作 A1， A2， A3，重量在 1.25，1.30）的鱼有 2 条，分别记作： B1， B2，写出所有的可能选法，再找出满足条件的选法，从而求得所求事件的概率 【解答】 解：（ 1）捕捞的
23、100 条鱼中，数据落在 1.20， 1.30）中的概率约为 P1= =0.11， 由于 0.11 100%=11% 15%，故饲养的这批鱼没有问题 （ 2）重量在 1.00， 1.05）的鱼有 3 条，把这 3 条鱼分别记作 A1， A2， A3， 重量在 1.25， 1.30）的鱼 有 2 条，分别记作 B1， B2， 那么从中任取 2 条的所有的可能有： A1， A2， A1， A3， A1， B1， A1， B2， A2， A3， A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3， B2， B1， B2共 10 种 而恰好所取得鱼的重量在 1.00， 1.05）和 1.25， 1.30）中各有 1 条的情况有： A1， B1， A1， B2， A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3， B2，共 6 种
