浅谈韦达定理的应用.DOC

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1、1浅谈韦达定理的应用齐贤学校 匡双霞【趣题引路】韦达,1540 年出生于法国的波亚图,早年学习法律,但他对数学有浓厚的兴趣,常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩,称他为“代数学之父” 。历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次,荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个 45 次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的 22 个正数解(他舍弃了另外的 22 个负数解) 。消息传开,数

2、学界为之震惊。同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你了解韦达定理吗?韦达定理:实系数一元二次方程 存在实数解 ,)( 0acbxa221x,那么 。这是在初中时韦达定理的定义,但对于高中时应acxb-x2121,用就更为广阔,由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积,两端比较系数即得韦达定理,所以韦达定理在复数范围内同样适用。而对于高次方程,韦达定理更有妙用。这里我们只谈谈在初高中时韦达定理的应用

3、 。在初中数学的学习中,韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的,主要有如下的应用:1. 已知一元二次方程的一根,求另一根。2. 已知一元二次方程的两根,求作新的一元二次方程。3. 不解方程,求关于两根的代数式的值。4. 一元二次方程的验根。5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。6. 与判别式的综合应用。【中考真题欣赏】例 1 (2001 年河南省)已知关于 x 的方程 4x2+4bx+7b=0 有两个相等的实数根,y 1,y2是关于 y 的方程 y2+(2-b)y+4=0 的两个根,求以 , 为根的一元1y2二次方程.解析 关于 x 的方程 4x2+4bx+7b=0 有

4、两个相等的实数根, = (4b) 2 -447b=0,即 b2-7b=0.b 1=0, b2=7.当 b=0 时,关于 y 的方程化为 y2+2y+4=0,因=4-16=-120,x20,则即0212()0,.4m2 或 mbc,2b= a + c, b 为正整数,若 a2+b2+c2=84,求 b 的值.解析 依题设,有a+c=2b, a2+b2+c2=84. 可变为(a+c) -2ac=84-b2, 代入,得 ac= , 584ba、c 是关于 x 的一元二次方程 x2-2bx+ =0 的两个不相等的正实2584b数根.2258440,.b即 16b228.又 b 为正整数,故 b=5.点

5、评:韦达定理的逆定理是:如果 x1,x2满足 x1+x2=- ,x 1x2= ,那么 x1x2是bac一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,此解的独特之处在于利用 a+c=2b,将a2+b2+c2=84转变为 ac= ,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.2584b再看看你能解下面的题吗?1、已知方程 5x2+kx6=0 的一个根是 2,求另一根及 k 值。2、已知 x1、x 2是方程 3x2+px+q=0 的两个根,分别根据下列条件求出 p、q 的值。(1)x 1=1,x 2=2;(2)x 1=3,x 2=6;(3)x 1= ,x 2= ;(4)75x1=2+ ,x 2=2 。333、

6、设 x1、x 2是方程 2x2+4x3=0 的两个根,求(x 1+1) (x 2+1)的值。4、设 x1、x 2是方程 2x26x+3=0 的两个根, ,利用根与系数的关系,求下列各式的值。 (1)x 12x2+x1x22;(2) (x 1+ ) (x 2+ ) ;(3) ;(4)21 21x+ ;(5)12 12而在高中数学中,更是把韦达定理的应用扩充到复数的领域,其中在高二第二学期课本 13.6 实系数一元二次方程中有这样一道题:例、已知方程 的两根为 、 ,若 ,求20()xpR1x212x实数 p 的值.分析:要求实数 p 的值,即要利用已知条件 ,从而应考虑 、 为1212实根还是虚

7、根,因此,应对 和 讨论.解:方法一(书上解法):(1)当 时 ,或, 即 -p204-2, 4xp-x21 ,-p-4- 2221 由 。或, 得 5-pp(2)当 时 , 即 2p04-2, i-xi-x21 。22221 p-4i-ip-4ip-4- 由 3.-或, 得综上所述, 。p5或现在我们采用韦达定理来解答这道题看看:因为 ,22221111()()44xxxp6所以 或 .3p5这样简单方便,并且可以避免对 与 的讨论.同时把 1 可以拓展到正0实数 m。练习一下:1、若 ;3x2的 两 个 根 , 求是 一 元 二 次 方 程,2、已知关于 x 的方程 的两个根为 ,且 ,)

8、( Rm04、 2-求 m 的值。当然韦达定理在解析几何以及高次方程中有着重大作用,比如求弦长问题,函数图像问题等等,这里就不再具体谈了。总而言之,韦达定理常用的几个公式:x12+x22=-(x 1+x2) 22x 1x2, (x 1x 2) 2=(x 1+x2) 24x 1x2, x13+x23=-(x 1+x2) 33x 1x2(x 1+x2) , ,14 2121,212121 xxx,21222 x(x 1+k) (x 2+k)=x 1x2+(x 1+x2)+k 2, 2121x在方程论中有着广泛的应用,并且 在2121 4xx求弦长经常用到。所以我们常常讲到要了解,懂得,掌握,然后能灵活运用所学知识, 这样才能真正的学好数学。2009 年 5 月

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