1、2008 年南通市高中数学联赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1已知函数 ，则（ B ）. 2sinyx（A） 有最小正周期为 （B） 有最小正周期为 （C）有最小正周期为 （D）无最小正周2期解： ，则最小正周期 . 故选（B） )2cos1(sin2xxyT2关于 的不等式 任意两个解的差不超过 9，则 的最大值与最小值0aa的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 1解：方程 的两根是 ， ，则由关于 的不等式02ax14xa25x任意两个解的差不超过 ，得 ，即22xa99|1ax. 故选（C） 13. 已知向量 a、b，设
2、a b， a b， a b，则一定共线AB25C67D2的三点是（ A ）. （A）A、B 、D （B）A、B、C （C ）B、C、D （D）A、C、D解： a b ，所以 A、B、D 三点共线. 故选（A ） 44设 、 、 为平面， 、 为直线，则 的一个充分条件是（ D ）.mn（A） ， ， （B ） ， ，m（C） ， ， （D ） ， ，n解：（A）选项缺少条件 ；（B）选项当 ， 时， ；（C）选项当m/、 、 两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角） ， 时， ； m（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题. 故选（D ） 5. 若 、 ，其中 ， ，并
3、且m2100nxaa1234567i， ， ， ， ， ， 012i， ，则实数对 表示平面上不同点的个数为（ C ） 63(,)mn（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个607090120解：由 及题设知，个位数字的选择有 5 种. 因为 51423 3，故7（1） 由 知，首位数字的可能选择有 种；321（2） 由 及 知，首位数字的可能选择有 种. 60513248于是，符合题设的不同点的个数为 种. 故选（C） (08)96已知 （ R） ，()1271207fxxxxx x且 则 a 的值有（ D ）. 23(),af（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）无数个解：
4、由题设知 为偶函数，则考虑在 时，恒有()fx1x2(1207)8207所以当 ，且 时，恒有 213aa(3)(1)fafa由于不等式 的解集为 ，不等式21352的解集为 因此当 时，恒有1a0aa. 故选（D ） 2(3)()ff二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则公差为 .nSna105S51d解：设等差数列 的首项为 ，公差为 . 1d由题设得 即 解之得 .， 54105da， 1921a1d8. 设 且 的图象经过点 ，它的反函数的图象经过点()log()fxb0)(2)，则 等于 .2，解：由题设知 化简得 l(2)1og8
5、ab， 2()8.ba，O解之得 （舍去）.故 等于 4.13ab，； 24， ab9已知函数 的图象如图，则满足 的()yfx221()(lg60)xffx的取值范围为 x21)，解： 因为 ，所以2 2lg60lg(3)1lgxx. 于是，由图象可知， ，即 ，解得2l201x. 故 x 的取值范围为 12)x，10圆锥曲线 的离心率是 0|3|1062 yy 2解：原式变形为 ，即 |)()3(2xx 2(3)(1)xy所以动点 到定点 的距离与它到直线 的距离2|yx,y(31)， 0之比为 故此动点轨迹为双曲线，离心率为 211在 中，已知 ， ， ，则 的面积为ABC3tanB3s
6、inC6AABC8362S解：在 中，由 得 由正弦定理得 tan60sin8因为 ，所以角 可取锐角或钝角，从而 603arcsi C31cosC故2ini()sincosin36ABB1 xy（第 9 题）sin83622ABCSA12. 设命题 : ，命题 : 对任何 R，都有 . 命题 与 中有PaQx2410xaPQ且仅有一个成立，则实数 的取值范围是 或 .a1解：由 得 由 对于任何 R 成立，得210042xx，即 因为命题 、 有且仅有一个成立，故实数416aPQ的取值范围是 或 2a12a三、解答题（本题满分 60 分，每小题 15 分）13. 设不等式组 表示的平面区域为
7、 . 区域 内的动点 到直线0xy， DP0xy和直线 的距离之积为 . 记点 的轨迹为曲线 . 过点 的直线2PC(2)F，与曲线 交于 、 两点. 若以线段 为直径的圆与 轴相切，求直线 的斜率. lCABAByl解：由题意可知，平面区域 如图阴影所示D设动点为 ，则 ，即 (,)Pxy2xy由 知24，xy 0，即 x2 y200所以 y2x 24(y 0)，即曲线 的方程为C 1(y0)5 分y24 x24设 ， ，则以线段 为直径的圆的圆心为 . 1(,)A2(,)BAB1212()xyQ，因为以线段 为直径的圆 与 轴相切，所以半径 ，即Ly2rAB 10 分12x因为直线 AB
8、过点 F(2 ，0)，2当 AB x 轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 yk (x2 )2xyOB CAE代入双曲线方程 1(y0) 得，y24 x24k2(x2 )2x 24，即(k 21)x 24 k2x(8k 24) 02 2因为直线与双曲线交于 A，B 两点，所以 k1所以 x1x 2 ，x 1x2 8k2 4k2 1所以|AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2 (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 |x 1x 2| |，化简得：k 42k 210，解得 k2 1 （k 2 1 不合题意，舍去） 2 2由(4 k2)24(k 21) (8 k24) 3k 210，2又由
9、于 y0，所以1k 所以 k 15 分14. 如图，斜三棱柱 中，面 是菱形， ，侧面1ABC1AC160AC， .11求证：（1） ；1（2）求点 到平面 的距离. ABC证：（1）设 中点为 ，连 、 . 1D因为 ，所以 因为面 ，所以 面 B1CA11BDCA1又 为正三角形， ，所以 . 从而 6 分1ACAC1（2） 由（1） ，有 ， ， 面 设 到面 的1D1B1距离为 ，则 . h113ABCACDSV因为，11CDBCBV所以 1ABSh （第 14 题） B1B A1C1AC又 ，且 .1CDB432211 BDCSDB设 的高为 ，则AE，2512212 ，8354.1
10、2ABCS于是有 ，即 到平面 的距离为 15 分513h1 515已知数列 中， ， ， . 求 .na13na2na207a解：由题设， ，则2. 5 分20750313由 ，得 ，则na2na. 10 分3 2()na于是 20762050191332，所以 a2007=2007 87a易知数列 ， ， ， 符合本题要求 15 分12 na注意：猜得答案 或 ，给 2 分n20716已知平面上 个圆，任意两个都相交是否存在直线 ，与每个圆都有公共点？证0l明你的结论解：存在直线 ，与每个圆都有公共点l证明如下：如图，先作直线 ，设第 个圆在直线 上的正投影0li0l是线段 ，其中 、 分别是线段的左右iABii A1 Ak10A2 B1B2Bm端点个圆有 个投影线段，有 个左端点，有 个右端点 5 分101010因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设 是最右边的左端点，kA则所有右端点都在 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个kA圆相交矛盾 10 分再设 是最左边的右端点，同理所有左端点都在 的左边. 与 不重合，线段mBmBkAmB是任意一条投影线段的一部分，过线段 上某一点作直线 的垂线 ，则 与kAkA0ll10个圆都相交 15 分
