1、 2017-2018 学年江苏省扬州中学高一（上） 10 月月考数学试卷 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分答案写在答题卡上） 1集合 x|0 x 3 且 x Z的非空子集个数为 2函数 y= + 的定义域是 3定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x 0 时， ，则 = 4若函数 f（ x） =（ p 2） x2+（ p 1） x+2 是偶函数，则实数 p 的值为 5函数 f（ x） = 图象的对称中心横坐标为 3，则 a= 6已知 A=x|2a x a+3， B=（ 5， + ），若 A B=，则实数 a 的取值范围为 7已知集合 A= 1， 1， B=x|
2、mx=1，且 A B=B，则实数 m 的值为 8函数 f（ x）是奇函数， g（ x）是偶函数且 f（ x） +g（ x） = （ x 1），则f（ 3） = 9已知函数 ，若 f（ x） f（ 1），则实数 x 的取值范围是 10已知偶函数 f（ x）在 0， + ）单调递减， f（ 2） =0，若 f（ x 1） 0，则 x的取值范围是 11已知定义在 R 上的函数 f（ x）在 4， + ）上为增 函数，且 y=f（ x 4）是偶函数，则 f（ 6）， f（ 4）， f（ 0）的大小关系为 （从小到大用 “ ”连接） 12已知函数 f（ x） =x2+2x+a 和函数 ，对任意 x1，总
3、存在 x2 使 g（ x1） =f（ x2）成立，则实数 a 的取值范围是 13设函数 f（ x） = （其中 |m| 1），区间 M=a， b（ a b），集合 N=y|y=f（ x）， x M） ，则使 M=N 成立的实对数（ a， b）有 对 14已知函数 f（ x）满足 f（ x+1） =f（ x） +1，当 x 0， 1时， f（ x） =|3x 1| 1，若对任意实数 x，都有 f（ x+a） f（ x）成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤答案写在答题卡上） 15已知集合 A=x|x a| 4， B=x
4、|x2 4x 5 0 （ 1）若 a=1，求 A B； （ 2）若 A B=R，求实数 a 的取值范围 16已知定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x 0 时， f（ x） = x2+2x （ ）求函数 f（ x）在 R 上的解析式； （ ）若函数 f（ x）在区间 1， a 2上单调递增，求实数 a 的 取值范围 17已知函数 f（ x） =|x2 1|+x2+kx （ 1）当 k=2 时，求方程 f（ x） =0 的解； （ 2）若关于 x 的方程 f（ x） =0 在（ 0， 2）上有两个实数解 x1， x2，求实数 k 的取值范围 18学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪，该款投影仪原
5、价为每台 2000 元，甲店用如下方法促销：买一台价格为 1950 元，买两台价格为 1900 元，每多买台，每多买一台，则所买各台单价均再减 50 元，但最低不能低于 1200 元；乙店一律按原售价的 80%促销学校需要购买 x 台投影仪，若在甲店购买费用记为 f（ x）元，若在乙店购 买费用记为 g（ x）元 （ 1）分别求出 f（ x）和 g（ x）的解析式； （ 2）当购买 x 台时，在哪家店买更省钱？ 19设函数 （其中 a R） （ 1）讨论函数 f（ x）的奇偶性，并证明你的结论； （ 2）若函数 f（ x）在区间 1， + ）上为增函数，求 a 的取值范围 20已知二次函数 f
6、（ x） =ax2+bx+c（其中 a 0）满足下列 3 个条件： f（ x）的图象过坐标原点； 对于任意 x R 都有 成立； 方程 f（ x） =x 有两个相等的实数根，令 g（ x） =f（ x） |x 1|（其中 0）， （ 1）求函数 f（ x）的表达 式； （ 2）求函数 g（ x）的单调区间（直接写出结果即可）； （ 3）研究函数 g（ x）在区间（ 0， 1）上的零点个数 2017-2018 学年江苏省扬州中学高一（上） 10 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分答案写在答题卡上） 1集合 x|0 x 3 且 x
7、Z的非空子集个数为 3 【考点】 16：子集与真子集 【分析】 根据题意，用列举法表示集合 A，可得集合 A 中元素的个数，进而由集合的元素数目与非空子集数目的关系，计算可得答案 【解答】 解：集合 A=x|0 x 3， x Z=1， 2，有 2 个元素， 则其非空子集有 22 1=3 个； 故答案为： 3 2函数 y= + 的定义域是 x|x 3 且 x 2 【考点】 33：函数的定义域及其求法 【分析】 由题意可得 ，解不等式可求函数的定义域 【解答】 解：由题意可得 x 3 且 x 2 故答案为： x|x 3 且 x 2 3定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x 0 时， ，则 =
8、【考点】 3L：函数奇偶性的性质； 3T：函数的值 【分析】 利用函数奇偶性的定义和性质，先求 f（ ），然后 求 f（ ）即可 【解答】 解： f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， ， f（ ） = ， 又 f（ ） = f（ ）， f（ ） = f（ ） =（ ） = 故答案为： 4若函数 f（ x） =（ p 2） x2+（ p 1） x+2 是偶函数，则实数 p 的值为 1 【考点】 3L：函数奇偶性的性质 【分析】 当 p=2 时，函数 f（ x）显然不是偶函数当 p 2 时，函数是二次函数，对称轴为 x= ，由 =0，求得 p 的值 【解答】 解：当 p=2 时，函数 f（ x）
9、 =x+2，显然不是偶函数 当 p 2 时，函数是二次函数， 对称轴为 x= ，要使函数为偶函数，必须满足=0，即 p=1， 故答案为 1 5函数 f（ x） = 图象的对称中心横坐标为 3，则 a= 4 【考点】 3O：函数的图象 【分析】 分离变量，将解析式变为反比例函数式的形式，利用反比例函数的对称中心求 a 【解答】 解： f（ x） = = 1+ ，变形为 f（ x） +1= ， y= 的对称中心为（ 0， 0）， f（ x） +1= 的对称中心坐标为（ a 1， 1）， a 1=3，解得 a= 4； 故答案为： 4 6已知 A=x|2a x a+3， B=（ 5， + ），若 A
10、B=，则实数 a 的取值范围为 （ ， 2 （ 3， + ） 【考点】 1C：集合关系中的参数取值问题 【分析】 当 A=时， 2a a+3，解得 a 的取值范围当 A 时，有 2a a+3，且a+3 5，解得 a 的取值范围再把这两个 a 的取值范围取并集，即得所求 【解答】 解： A=x|2a x a+3， B=（ 5， + ），若 A B=， 当 A=时， 2a a+3，解得 a 3 当 A 时，有 2a a+3，且 a+3 5，解得 a 2 综上可得，实数 a 的取值范围为 a 2 或 a 3， 故 答案为 （ ， 2 （ 3， + ） 7已知集合 A= 1， 1， B=x|mx=1，
11、且 A B=B，则实数 m 的值为 1， 0， 1 【考点】 1C：集合关系中的参数取值问题 【分析】 由集合 A= 1， 1， B=x|mx=1= ，且 A B=B，知 B=1，或 B=1，或 B=，故 ，或 ，或 不存在，由此能求出实数 m 的值 【解答】 解： 集合 A= 1， 1， B=x|mx=1= ，且 A B=B， B=1，或 B= 1，或 B=， ，或 ，或 不存在， 解得 m=1，或 m= 1，或 m=0 故答案为： 1， 0， 1 8函数 f（ x）是奇函数， g（ x）是偶函数且 f（ x） +g（ x） = （ x 1），则f（ 3） = 【考点】 3L：函数奇偶性的性
12、质 【分析】 先由 f（ x） +g（ x） = 得 f（ x） +g（ x） = ，再利用（ x）是奇函数， g（ x）是偶函数得到 f（ x） +g（ x） = ； 相结合求出函数f（ x）的解析式，把 3 代入即可求出结果 【解答】 解：因为 f（ x） +g（ x） = ，所以 f（ x） +g（ x） = ， 又因为 f（ x）是奇函数， g（ x）是偶函数， 故 可转化为 f（ x） +g（ x） = 整理得： f（ x） = （ ） 所以 f（ 3） = （ ） = 故答案为 9已知函数 ，若 f（ x） f（ 1），则实数 x 的取值范围是 x 1 【考点】 75：一元二次不等
13、式的应用； 3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法 【分析】 由已知，先计算出 f（ 1） =11，根据分段函数的意义，逐段求解，最后合并即可 【解答】 解： f（ 1） =11， 当 x 0 时，由 x2 4x+6 11，得出 x2 4x 5 0，解得 1 x 5，所以 1 x 0 当 x 0 时，由 x+6 11，得出 x 5，所以 x 0 两部分合并得出数 x 的取值范围是 x 1 故答案为： x 1 10已知偶函数 f（ x）在 0， + ）单调递减， f（ 2） =0，若 f（ x 1） 0，则 x的取值范围是 （ 1， 3） 【考点】 3L：函数奇偶性的性质； 3F：函数单调性的
14、性质 【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f（ |x 1|） f（ 2），即可得到结论 【解答】 解： 偶函数 f（ x）在 0， + ）单调递减， f（ 2） =0， 不等式 f（ x 1） 0 等价为 f（ x 1） f（ 2）， 即 f（ |x 1|） f（ 2）， |x 1| 2， 解得 1 x 3， 故答案为：（ 1， 3） 11已知定义在 R 上的函数 f（ x）在 4， + ）上为增函数，且 y=f（ x 4）是偶函数，则 f（ 6）， f（ 4）， f（ 0）的大小关系为 f（ 4） f（ 6） f（ 0） （从小到大用 “ ”连接） 【考点】 3N：
15、奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据 y=f（ x 4）为偶函数，可得函数 y=f（ x）的图象关于直线 x= 4对称，故 f（ 0）， f（ 4）， f（ 6）大小关系可转化为判断 f（ 8）， f（ 4）， f（ 6）大小关系，由函数 y=f（ x）在 4， + ）上为增函数，可得函数 y=f（ x）在（ ， 4上是减函数，进而得到答案 【解答】 解： y=f（ x 4）为偶函数，即有 f（ x 4） =f（ x 4）， 函数 y=f（ x）的图象关于直线 x= 4 对称， f（ 0） =f（ 8）， 又由函数 y=f（ x）在 4， + ）上为增函数， 故函数 y=f（ x）在（ ， 4
16、上是减函数， 故 f（ 8） f（ 6） f（ 4）， 即 f（ 0） f（ 6） f（ 4）， 故答案为： f（ 4） f（ 6） f（ 0） 12已 知函数 f（ x） =x2+2x+a 和函数 ，对任意 x1，总存在 x2 使 g（ x1） =f（ x2）成立，则实数 a 的取值范围是 （ ， 1 【考点】 3W：二次函数的性质； 3R：函数恒成立问题 【分析】 对于任意的 x1，总存在 x2 使 g（ x1） =f（ x2）成立成立，只需函数 y=g（ x）的值域为函数 y=f（ x）的值域的子集即可 【解答】 解：若对任意的 x1，总存在 x2 使 g（ x1） =f（ x2）成立，
17、 只需函数 y=g（ x）的值域为函数 y=f（ x）的值域的子集 在 1， + ）上单调递增 g（ x） 2 f（ x） =x2+2x+a=（ x+1） 2+a 1 f（ x） a 1 a 1 2 a 1 故答案为：（ ， 1 13设函数 f（ x） = （其中 |m| 1），区间 M=a， b（ a b），集合 N=y|y=f（ x）， x M） ，则使 M=N 成立的实对数（ a， b）有 1 或 3 对 【考点】 19：集合的相等 【分析】 先判断函数 f（ x）是奇函数，进而从认知集合切入这里的集合 N 为函数 f（ x），（ x M）的值域注意到 f（ x）的表达式中含有 |x|，
18、为求 f（ x）的值域，先将 f（ x）化为分段函数的形式，以便于化整为零 ，逐段分析最后综合讨论结果，可得答案 【解答】 解：由函数 f（ x） = （ x R）， 可得 f（ x） = = = f（ x），故函数 f（ x）是奇函数 当 x=0 时， f（ 0） =0， 当 x 0 时， f（ x） = ， 当 m 1 时， 若 x 0， f（ x） = 为减函数，若 x 0， f（ x） = 为减函数， 故函数 f（ x）在区间 a， b上为减函数， 若 M=N，则 f（ a） =b，且 f（ b） =a， 由点（ a， b）与点（ b， a）关于 y=x 对称，则 a 0 b， f（
19、a） = f（ a） = b， 若 b a，则 f（ b） f（ a）， a b， a b 矛盾， 若 b a，则 f（ b） f（ a）， a b， a b 矛盾， 故 b= a， x 0 时， f（ x） = x，即 = x，解得 x= 1 m 0， x 0 时， f（ x） = x，即 = x，解得 x=1+m 0， 故 M=1+m， 1 m， 当 m 1 时， 若 x 0， f（ x） = 为增函数，若 x 0， f（ x） = 为增函数， 故函数 f（ x）在区间 a， b上为增函数， 若 M=N，则 f（ a） =a，且 f（ b） =b， x 0 时， f（ x） =x，即 =x
20、，解得 x= 1+m， x 0 时， f（ x） =x，即 =x，解得 x=1 m， x=0 时， f（ 0） =0， 故 M=1 m， 0，或 M=1 m， m 1，或 M=0， m 1 综上所述，当 m 1 时，使 M=N 成立的实对数（ a， b）有 1 对， 当 m 1 时，使 M=N 成立的实对数（ a， b）有 3 对 故答案为： 1 或 3 14已知函数 f（ x）满足 f（ x+1） =f（ x） +1，当 x 0， 1时， f（ x） =|3x 1| 1，若对任意实数 x，都有 f（ x+a） f（ x）成立，则实数 a 的取值范围是 （ ， ） （ ， ） 【考点】 3P：抽象函数及其应用 【分析】 先把绝对值函数 化为分段函数，再根据图象的平移得到函数 f（ x）的图象，观察函数的图象，即可求出 a 的范围 【解答】 解： x 0， 1时， f（ x） =|3x 1| 1， 当 x 0， 时， f（ x） = 3x，
