1、 2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中 数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数 的虚部（ ） A i B i C 1 D 1 2已知集合 ，则 AB=（ ） A（ 1， +） B 1， +） C（ ， 0 （ 1， +） D 0， 1 3已知函数 f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =x2+ ，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 4在区间 0， 上随机取一个数 x，使 的概率为（ ） A B C D 5若 | + |=| |=2
2、| |，则向量 + 与 的夹角为（ ） A B C D 6如果对于任意实数 x， x表示不超过 x 的最大整数例如 3.27=3，0.6=0那么 “x=y”是 “|x y| 1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7二项式（ x2 ） 11 的展开式中，系数最大的项为（ ） A第五项 B第六项 C第七项 D第六和第七项 8根据如图所示程序框图，若输入 m=42， n=30，则输出 m 的值为（ ） A 0 B 3 C 6 D 12 9数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1， an+1=3Sn（ n 1），则 a6=（ ） A 3 4
3、4 B 3 44+1 C 44 D 44+1 10若 （ ， ）且 3cos2=4sin（ ），则 sin2的值为（ ） A B C D 11身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A 24 种 B 48 种 C 36 种 D 28 种 12已知函数 f（ x）的导函数 f（ x） =2+sinx，且 f（ 0） = 1，数列 an是以 为公差的等差数列，若 f（ a2） +f（ a3） +f（ a4） =3，则 =（ ） A 2016 B 2015 C 2014 D 2013 二、填空题（本大题共
4、4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡相应的位置上） 13将高三（ 1）班参加体检的 36 名学生，编号为： 1， 2， 3， ， 36，若采用系统 抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知样本中含有编号为 6 号、 24 号、 33 号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 14已知 ，则 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|= 15袋子中装有大小相同的 6 个小球， 2 红 4 白，现从中有放回的随机摸球 3 次，每次摸出1 个小球，则至少有 2 次摸出白球的概率为 16已知 x， y R，满足 x2+2xy+4y2=6，则 z=x2+4y2 的取值范围为 三、解答题（本
5、大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17（ 12 分） ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，向量 m =（ a， c）， n =（ 1 2cosA， 2cosC 1）， m n （ ）若 b=5，求 a+c 值； （ ）若 ，且角 A 是 ABC 中最大内角，求角 A 的大小 18（ 12 分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于 2016 年 7 月 14 日在山东威海开赛，种子选手 A 与非种子选手 B1， B2， B3 分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A 获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响 （ ）若 A
6、 至少获胜两场的概率大于 ，则 A 入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问 A 是否会入选最终的名单？ （ ）求 A 获胜场数 X 的分布列和数学期望 19（ 12 分）已知各项为正数的 数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 （ ）求证： an为等差数列，并求数列 an的通项公式； （ ）设 ，求证： 20（ 12 分）已知函数 f（ x） =x 2sinx （ ）求函数 f（ x）在 上的最值； （ ）若存在 ，使得不等式 f（ x） ax 成立，求实数 a 的取值范围 21（ 12 分）已知函数 ，其中 a， b， c R （ ）若 a=b=1，求函数 f（ x）的单调区间；
7、（ ）若 a=0，且当 x 0 时， f（ x） 1 总成立，求实数 b 的取值范围； （ ）若 a 0， b=0，若 f（ x）存在两个极值点 x1， x2，求证； f（ x1） +f（ x2） e 选作题 22（ 10 分）已知函数 f（ x） =|x a| 2 （ ）若 a=1，求不等式 f（ x） +|2x 3| 0 的解集； （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） |x 3|恒成立，求实数 a 的取值范围 选作题 23（ ）已知 x2+y2=1，求 2x+3y 的取值范围； （ ）已知 a2+b2+c2 2a 2b 2c=0，求证： 2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三
8、（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数 的虚部（ ） A i B i C 1 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【专题】 转化思想；数系的扩充和复数 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解：复数 = =1 i 的虚部为 1 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2已知集合 ，则 AB=（ ） A（ 1， +） B 1， +） C（ ， 0 （ 1， +） D 0， 1
9、【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题；函数思想；定义法；集合 【分析】 先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB 【解答】 解： 集合 ， A=x|x 0 或 x 1， B=y|y 1， AB=（ 1， +） 故选： A 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用 3已知函数 f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =x2+ ，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由奇函数定义得， f（ 1） = f（ 1），根据 x 0 的解析式，求出 f（ 1），
10、从而得到f（ 1） 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x） = f（ x）， f（ 1） = f（ 1）， 又当 x 0 时， f（ x） =x2+ ， f（ 1） =12+1=2， f（ 1） = 2， 故选： A 【点评】 本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题 4在区间 0， 上随机取一个数 x，使 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【专题】 计算题；方程思想；演绎法；概率与统计 【分析】 先求出不等式 对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可 【解答】 解：
11、 0 x ， ， x ，区间长度为 ， 则对应的概率 P= = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键 5若 | + |=| |=2| |，则向量 + 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【 分析】 作 ， ，以 OA， OB 为邻边作平行四边形 OACB，则 = 由 | +|=| |=2| |，可得四边形 OACB 为矩形，利用 = 即可得出 【解答】 解：作 ， ，以 OA， OB 为邻边作平行四边形 OACB， 则 = | + |=| |=2| |， 四边形 OACB
12、 为矩形， = = ， 向量 + 与 的夹角为 故选： B 【点评】 本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6如果对于任意实数 x， x表示不超过 x的最大整数例如 3.27=3， 0.6=0那么 “x=y”是 “|x y| 1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 充要条件 【专题】 阅读型 【分析】 先根据 x的定义可知， x=y|x y| 1，而取 x=1.9， y=2.1，此时满足 |xy|=0.2 1，但 x y，根据若 pq 为真
13、命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件进行判定即可 【解答】 解： x=y 1 x y 1 即 |x y| 1 而取 x=1.9， y=2.1，此时 |x y|=0.2 1，而 x=1， y=2， x y “x=y”是 “|x y| 1”的充分而不必要条件 故选 A 【点评】 判断充要条件的方法是： 若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假
14、命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命 题 q 所表示的范围，再根据 “谁大谁必要，谁小谁充分 ”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系 7二项式（ x2 ） 11 的展开式中，系数最大的项为（ ） A第五项 B第六项 C第七项 D第六和第七项 【考点】 二项式系数的性质 【专题】 二项式定理 【分析】 在二项展开式的通项公式中，根据二项式的展式的通项公式为 Tr+1=x22 3r，可得系数最大的项 【解答】 解：二项式（ x2 ） 11 的展式的通项公式为 Tr+1= x22 2r（ 1） rx r = x22 3r， 故当 r=6 时，展开式的系数 =
15、最大， 故选： C 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属 于中档题 8根据如图所示程序框图，若输入 m=42， n=30，则输出 m 的值为（ ） A 0 B 3 C 6 D 12 【考点】 程序框图 【专题】 计算题；操作型；算法和程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， r=12， m=30， n=12，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， r=6， m=12， n=
16、6，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， r=0， m=6， n=0，满足退出循环的条件； 故输出的 m 值为 6， 故选： C； 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 9数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1， an+1=3Sn（ n 1），则 a6=（ ） A 3 44 B 3 44+1 C 44 D 44+1 【考点】 等比数列的通项公式；等比数列的前 n 项和 【专题】 计算题 【分析】 根据已知的 an+1=3Sn，当 n 大于等于 2 时得到 an=3Sn 1，两者相减，根据 Sn Sn1=an，得到数列的第
17、n+1 项等于第 n 项的 4 倍（ n 大于等于 2），所以得到此数列除去第 1 项，从第 2 项开始，为首项是第 2 项，公比为 4 的等比数列，由 a1=1， an+1=3Sn，令 n=1，即可求出第 2 项的值，写出 2 项以后各项的通项公式，把 n=6 代入通项公式即可求出第 6 项的值 【解答】 解：由 an+1=3Sn，得到 an=3Sn 1（ n 2）， 两式相减得： an+1 an=3（ Sn Sn 1） =3an， 则 an+1=4an（ n 2），又 a1=1， a2=3S1=3a1=3， 得到此数列除去 第一项后，为首项是 3，公比为 4 的等比数列， 所以 an=a2
18、qn 2=3 4n 2（ n 2） 则 a6=3 44 故选 A 【点评】 此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题 10若 （ ， ）且 3cos2=4sin（ ），则 sin2的值为（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数 【专题】 三角函数的求值 【分析】 由条件化简可得 3（ cos+sin） =2 ，平方可得 1+sin2= ，从而解得 sin2的值 【解答】 解： （ ， ），且 3cos2=4sin（ ）， 3（ cos2 sin2） =4（ cos sin）， 化简可得： 3（ cos+sin） =2
19、， 平方可得 1+sin2= ，解得： sin2= ， 故答案为： C 【点评】 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题 11身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A 24 种 B 48 种 C 36 种 D 28 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【专题】 排列组合 【分析】 由题意知先使五个人的全排列，共有 A55 种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果 【解答】 解：由题意 知先使五个人的全排列，共有 A55=120 种结果 穿
20、红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有 2A22A44=96 种， 穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有 A22A22A33=24 种， 故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是 120 96+24=48， 故选： B 【点评】 本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉，属于基础题 12（ 2016上饶二模）已知函数 f（ x）的导函数 f（ x） =2+sinx，且 f（ 0） = 1，数列 an是以 为公差的等差数列，若 f（ a2） +f（ a3） +f（ a4） =3，则 =（ ） A 2016 B 2015 C 201
21、4 D 2013 【考点】 等差数列的通项公式；导数的运算 【专题】 方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列 【分析】 函数 f（ x）的导函数 f（ x） =2+sinx，可设 f（ x） =2x cosx+c，利用 f（ 0） = 1，可得： f（ x） =2x cosx由数列 an是以 为公差的等差数列，可得 an=a2+（ n 2） 由f（ a2） +f（ a3） +f（ a4） =3，化简可得 6a2 = 利用单调性可得 a2，即可得出 【解答】 解： 函数 f（ x）的导函数 f（ x） =2+sinx， 可设 f（ x） =2x cosx+c， f（ 0） = 1
22、， 1+c= 1，可得 c=0 f（ x） =2x cosx 数列 an是以 为公差的等差数列， an=a1+（ n 1） ， f（ a2） +f（ a3） +f（ a4） =3， 2（ a2+a3+a4）（ cosa2+cosa3+cosa4） =3， 6a2+ cosa2 =3， 6a2 = 令 g（ x） =6x cos ， 则 g（ x） =6+sin 在 R 上单调递增， 又 =0 a2= 则 = =2015 故选： B 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
23、20 分将答案填在答题卡相应的位置上） 13将高三（ 1）班参加体检的 36 名学生，编号为： 1， 2， 3， ， 36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知样本中含有编号为 6 号、 24 号、 33 号的学生 ，则样本中剩余一名学生的编号是 15 【考点】 系统抽样方法 【专题】 计算题；整体思想；定义法；概率与统计 【分析】 根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可 【解答】 解：样本间距为 36 4=9， 则另外一个编号为 6+9=15， 故答案为： 15 【点评】 本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键 14已知 ，则 |a0|+|a1|+|a2|+|
24、a9|= 512 【考点】 二项式定理的应用 【专题】 转化思想；综合法；二项式定 理 【分析】 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|，即（ 1+x） 9 展开式的各项系数和，令 x=1，可得（ 1+x） 9展开式的各项系数和 【解答】 解：已知 ，则 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|，即（ 1+x） 9 展开式的各项系数和， 令 x=1，可得（ 1+x） 9 展开式的各项系数和为 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=29=512， 故答案为： 512 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题 15袋子中装有大小相同的 6 个小球， 2 红 4 白，现从中有放回的随机摸球 3 次，每次摸出1 个小球，则至少有 2 次摸出白球的概率为 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【专题】 对应思想；转化法；概率与统计 【分析】 每次摸到红球的概率都是 ，摸到白球的概率都是 ，由此利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出至少有 2 次摸出白球的概 率
