1、 xy21 .50 .5410 1本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考理科数学 第三次模拟考试试卷 理科数学 命题：长沙市一中理科数学备课组 一 选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 在 复 平 面 内 , 复数iz31对 应 的 点 位 于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知 aR ，则“ 2a ”是“ 2 2aa ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3. 直线 ( 1)y kx 与圆 221xy 的 位
2、置 关 系 是 （ ） A.相 离 B.相切 C.相交 D.与 k 的取值有关 高 .考 .资 .源 .网 4.函数 bxAxf )s in ()( ( 0 , 0 , )22A 的 图象如图，则 )(xf 的解析式可以为 A. 3( ) sin 12f x x B. 1( ) sin 12f x x C. 1( ) sin 124f x x D. 12sin21)( xxf 5.正 四棱锥 P ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为 4，侧棱长为 26，则此 球 的 表 面 积 为 （ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 9 6设斜率为 22 的直线 l 与双曲线 22
3、1xyab交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射 影 恰 好 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 （ ） A. 42 B. 2 C. 43 D. 3 科网 7已知函数 4( ) 1| | 2fx x的定义域为 a,b (, )ab ,值域为 0,1，那么满足条件的有序对(, )ab 共有（ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 9 对 6.如果关于 x 的方程21 3ax x有且仅有一个正实数解，那么实数 a 的取值范围为 （ ） A. | 0aa B. | 0aa 或 2a C. | 0aa D. | 0aa 若 2a 8.在正
4、整数数列中，由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色先染 1，再染 2 个偶数 2、4；再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、 7、 9；再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、12、 14、 16；再染 16 后 面 最邻近的 5 个连续奇数 17、 19、 21、 23、 25按此规则一直染下去，得到一红色子数列 1， 2， 4， 5， 7， 9， 10， 12， 14， 16， 17， 则在这个红 色 子 数 列 中 ， 由 1 开 始 的 第 2009 个 数 是 （ ） A. 3948 B. 3953 C. 3955 D.3958 二填空题（本大题共小题，每小题 5 分
5、，共 35 分） 9.某小卖部，为了研究气温对冷饮销售的影响，经过一段时间的统计研究先一天冷饮卖出的杯数 y 与当天气温 x近似地满足线性回归方程： 16 48yx .若天气预报明天的气温是30 ,则该小卖部明天大约能卖出冷饮 _杯 10 .已知2| 1 | ( 0 )() lo g ( 0 )xxfx xx ，则 ( 1)ff =_. 11.若椭圆 22216 15xyp的左焦点在抛物线 2 2y px 的准线上，则 p 的值为 _ 12.已知面积型几何概率的定义为：若随机运动的点可能运动的总范围面积为 S ,该点落在某指定范围的面积为 S ，则该点落在指定范围的概率 SP S .试用以上定
6、义求解： 如图 ,一只蚂蚁在边长 分别 为 5,6, 13 的三角形区域内随机爬行，则其恰好爬行到离三个顶点距离都大于 1 的区域内的概率为 13.已知 3, 3A ， O 为原点，点 ,Pxy 的坐标 满足303 2 00xyxyy ， 则 OAOPOA的最大值是 ，此时点 P 的坐标是 . 14.某种股票今天的股价是 2 元 /股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加 0.2%，则 100天以后这种基金的股价约是 _元 /股（精确到 0.01） . 15.设函数 ( ), ( )f x g x 的定义域分别为 DJ,DE且 DJ DE ，若对于任意 x DJ,都有( ) ( ),g x f
7、 x 则称函数 ()gx 为 ()fx在 DE 上的一个延拓函数 .设 ( ) ln ( 0), ( )f x x x x g x为()fx 在 ( ,0) (0, ) 上 的 一 个 延 拓 函 数 ， 且 ()gx 是 奇 函 数 ， 则()gx =_；设 ( ) 2 1( 0)xf x x , ()gx 为 ()fx 在 R 上的一个 延 拓 函 数 ， 且 且 ()gx 是 偶 函 数 ， 则()gx =_. 三 (解答题本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 16 (本小题满分 12 分 ) 某办公室有 5 位教师，只有 3 台电脑供他们使用，教
8、师是否使用电脑是相互独立的。 （ 1）若上午某一时段 A、 B、 C 三位教师需要使用电脑的概率分别是 41 、 32 、 52 ，求这一时段 A、 B、 C 三位教师中恰有 2 位教师使用电脑的概率； （ 2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是 31 ，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。 17 (本小题满分 12 分 ) 已知角 、 满足 ： 5 3sin 5cos 8， 2 sin 6 c o s 2 且 (0， 3)， (6， 2)，求 cos( )的值 . 18（本小题满分 12 分） 如图， ABC 中 ， Co90 , o45A , ABCDC
9、平 面 ,DC=6, G ABC为 的 重 心 o45M G D M C G为 上 的 一 点 ，. (1)求证 AB DG； (2)求二面角 G MC B 的大小 . 19（本小题满分 13 分） 已知 ( ) lnf x x x 求函数 ()fx在区间 , 2( 0)t t t上的最小值 ； 对一切实数 (0, )x ， 2 ( ) ( )f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围； 证明对一切 (0, )x ， 12lnxx e ex恒成立 20（本小题满分 13 分） 如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 20 m，要求通行车辆 限高 5 m，隧道全长 2.5 km，隧道的两侧
10、是与地面垂直的墙，高度为 3 米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆 （ 1）若最大拱高 h 为 6 m，则隧道设计的拱宽 l 是多少？ （ 2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高 h和拱宽 l？ （已知：椭圆22ax +22by =1 的面积公式为 S=ab ，柱体体积为底面积乘以高 .） l h 20m0 5m 3m （ 3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点 M、 N，使它们所在位置的高度恰好是 限高 5m，现以 M、 N 以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若 l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位
11、面积钢板造价的 2 倍，试确定 M、 N 的位置以及 h 的值，使总造价 最少 . 21（本小题满分 13 分） 已知数列 na 满足 1a 2 5a ， 116n n na a a （ 2n ， *nN ）， 若数列 1nnaa 是等比数列 . （）求数列 na 的通项公式； （）求证：当 k 为奇数时，111 1 43kkkaa ； （）求证：121 1 1 12na a a （ *nN ） . 长沙市一中高三第三次模拟考试试卷 理科数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D B B C C 9. 528 10. 1 11. 4 12 118 13. 3 ， (1
12、, 3) . 14. 2.44 . 15. |ln | |,2 1xxx 三 (解答题本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 16 解：（ 1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为 A、 B、 C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有 2 位使用电脑的概率是： 315232)411(52)321(41)521(3241)()()( BCAPCBAPCABPp 6 分 （ 2）电脑数无法满足需求，即指有 4 位以上（包括 4 位）教师同时需要使用电脑，记有4 位教师同时需要使用电脑的事件为 M，有 5 位教师同时需要使用电脑的事
13、件为 N， 4 4 55 1 2 1( ) C ( ) ( ) , ( ) ( )3 3 3P M P N 8 分 所以，所求的概率是： P=P（ M） +P（ N） = 24311)31()32()31( 5445 C。 11 分 155 33 ,即平均使用台数为 53 台。 12 分 17 解： 5 3sin 5cos 8， sin( 6) 45 3 分 (0， 3)， 6 (6， 2)， cos( 6) 35 5 分 又 2sin 6cos 2， sin( 3) 22 ， 8 分 (6， 2)， 3 (2， 56 )， cos( 3) 22 ， 10 分 sin( 6) ( 3) sin
14、( 6)cos( 3) cos( 6)sin( 3) 210， cos( ) 210 12 分 18解析 (1) 在 ABC 中， AC BC , o90ACB故 ABC 为等腰直角三角形 G ABC为 的 重 心 ， AB GC 又 DC ABC平 面 , AB 平面 ABC AB DC 由 及 DC GC C知 AB 面 DGC, DG 面 DGC, AB DG 6 分 (2)延长 CG 交 AB 于点 N G ABC为 的 重 心 N 是 AB 的中点 o90ACB 1 62CN AB 连接 DN 延长 CM 交 DN 于 点 C,由 o6 , 4 5C N D C M C G 知 CE
15、 DN ,则 E 是 DN 的中点，连接 BE，由 AB 面 DGC,知 B CEE 故 BEN 为二面角 G MC B 的平面角 9 分 在 RtBEN 中， BN=6,EN=32, tan 2BNBEN EN 二面角 G MC B 的大小是 arctan 2 12 分 19 解： ( ) ln 1f x x，当 1(0, )x e ， ( ) 0fx ， ()fx 单调递减，当 1( , )x e ，( ) 0fx ， ()fx单调递增 1 分 102tt e ， t 无解； 2 分 102tte ，即 10 t e 时，m in 11( ) ( )f x f ee ； 3 分 1 2tt
16、e ，即 1t e 时， ()fx在 , 2tt 上单调递增， m in( ) ( ) lnf x f t t t； 所以m in110() 1lnteefxt t t e ， ， 5分 22 ln 3x x x ax ，则 32 lna x xx ，设 3( ) 2 l n ( 0)h x x x xx ，则2( 3 ) ( 1 )( ) xxhx x， (0,1)x ， ( ) 0hx ， ()hx 单调递增， (1, )x ， ( ) 0hx ， ()hx单调递减，所以 min( ) (1) 4h x h，因为 对一切 (0, )x ， 2 ( ) ( )f x g x 恒成立，所以mi
17、n( ) 4a h x； 9 分 问题等价于证明 2ln ( ( 0 , ) )xxx x xee ，由 可知 ( ) ln ( ( 0 , )f x x x x 的最小值是 1e，当且仅当 1xe时取到，设 2( ) ( ( 0 , )xxm x xee ，则 1( )xxmx e，易得m ax 1( ) (1)m x m e ， 当且仅当 1x 时取到，从而 对一切 (0, )x ，都有 12lnxx e ex成立 13 分 20 （ 1）解：如下图建立直角坐标系，则点 P（ 10， 2）， 椭圆方程为22ax +22by =1.将 b=h-3=3 与点 P 坐标代入椭圆方程，得 a=65
18、，此时 l=2a=125 , 因此隧道的拱宽约为 125 m. 5 分 （ 2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需 半椭 圆的面积最小即可 l h 20m0 5m 3m x y o P 由椭圆方程22ax +22by =1，得 2210a+ 222b=1.因为 2210a+ 222b 2 10 2ab，即 ab40， 8 分 所以半椭圆面积 S=2ab 40 202 . 10分 当 S 取最小值时，有 2210a= 222b=21，得 a=10 2 ， b=22. 此时 l=2a=20 2 ， h=b+3=22+3 12 分 故当拱高为 (22+3)m、拱宽为
19、20 2 m 时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 13 分 （ 3）根据题意设 ( , 2 ) , ( , 2 ) , 1 0 1 5M x N x x 则 设 2 2 2( ) 2 2 2 ( 1 5 ) ( 2 0 ) 2 2 ( 3 0 2 2 9 ( 1 0 1 5 )f x x x x x x x 11 分 则 222 3 0 2 2 9 2 ( 1 5 ) () 3 0 2 2 9x x xfx xx 令 ( ) 0fx ， 2 3 0 2 2 1 0 1 3 ( 1 7 )x x x x 舍 去， 且 10 13x 时， ( ) 0 ,1 3 1 5 ( ) 0 ,f x x f x 时 , 13x 时， ()fx取最小值，此时 (13 , 2) , ( 13 , 2)MN ,代入椭圆方程得25 1414b
