1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届高 考理科数学 第三次模拟考 试 数学理科卷 2009.03 注意事项： 1本试题分为第卷和第卷两部分，满分 150分，考试时间为 120分钟 2答第卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上考试结束，试题 和答题卡一并收回 3第卷每题选出答案后，都必须用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ ABCD） 涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案 第卷 （共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设复数 21 ( 2 1 5 )5z m m im
2、 为实数时，则实数 m 的值是 （ ） A 3 B -5 C 3或 5 D 3 或 5 2函数2 1f ( ) lo g 22x x x 的零点个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3若集合 13 | , 1 1A y y x x ， 1 | ( ) , 02 xB y y x ，则 AB等于 （ ） A ( ,1) B 1,1 C D 1 4 设 m0，两直线 2 10x m y 与 2(m 1) x n y 3 0 垂直，则 mn 的最大值为（ ） A -2 B -1 C 1 D 2 5 运载 “ 神州七号 ” 宇宙飞船的火箭在点火第一分钟通过的 路程为 2km，以后每分钟通过的
3、路 程增加 2km，在达到离地面 240km的高度时，火箭与飞船 分离，则这一过程大约需要的 时间是 （ ） A 10分钟 B 12分钟 C 15分钟 D 18分钟 6在 2431()x x的展开式中， x 的幂的指数是整数的项共有 （ ） A 3项 B 4项 C 5项 D 6项 7已知函数 23( ) lo g lo g 2f x a x b x ,若 1( ) 4,2009f 则 ( 009)f 的值是 （ ） A -4 B 2 C 0 D -2 正视图 侧视图 俯视图 2 23 8若函数 2 sin(8 ) 1yx 的图象关于直线 6x 对称 ,则 的值是 （ ） A 0 B 2 C (
4、)k k Z D ()6k k Z 9把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数 为 b，设向量 ( , ), (1, 2 ),m a b n 则向量 m 与向量 n 垂直的概率为 （ ） A 16 B 112 C 19 D 118 10已知变量 ,xy满足 203 5 0,0xyxyx 则 5log ( 5)m x y 的最大值为 （ ） A 4 B 5 C 1 D 103 11若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 （ ） A 318 B 315 C 3824 D 31624 12右图是计算 1 1 11 2 2 3 9 1 0 的值
5、算法框图， 其中在判断框中应填入的条件是 （ ） A 8i B 9i C 10i D 11i 第卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20 分 把答案填在横线上 13已知 0m ，若0 (2 1) 6,m x dx则 m . 14在直角坐标系中，点 A在圆 222x y y上，点 B在直线 1yx上，则 AB 的最小 值为 . 15已知 ABC 是水平放置的 边长为 a的正三角形 ABC的斜二测平面直观图，那么 ABC 的面积为 . A M P B D C 16右图是 2008年“华东”杯第 13届 CCTV青年歌手电视大奖赛上某位 选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低
6、分后，所剩数据 的方差为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）已知函数 2 1( ) c o s ( ) s i n 21 2 2f x x x （ 1）求 ()fx的最值； （ 2）求 ()fx的单调增区间 . 18（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， /AB CD ， 60DAB ， 2AB AD CD ，侧面 PAD 底面 ABCD ，且 PAD 为等腰直角三角 形， 90APD ， M 为 AP 的中点 （ 1）求证： AD PB ； （ 2）求证： /DM 平
7、面 PCB ；求二面角 A BC P的正切值 . 19、（本小题满分 12 分）在一次考试中共有道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有 且只有一个选项是正确的评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得 5分，不选或 选错得分”某考生已确定有 4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2 个选项是错误的，有一道仅能判断个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜， 求： （ 1）该考生得 40 分的概率； （ 2）该考生得多少分的可能性最大？该考生所得分数的数学期望 20（本小题满分 12分）已知数列 na 中， 1 5a ， 12 2 1nnnaa （ n N 且 2n ） . （
8、1）若数列2n na 为等差数列，求实数 的值； （ 2）求数列 na 的前 n项和 nS . 21（本小题满分 12 分）设函数 2( ) ( 1) lnf x x b x ，其中 b 为常数 （ 1）当 12b 时，判断函数 ()fx在定义域上的单调性； （ 2）若函数 ()fx的有极值点，求 b 的取值范围及 ()fx的极值点 . 22（本小题满分 14 分）已知椭圆 C 的方程为 22 1 ( 0 )xy abab ，过其左焦点 1( 1,0)F ，斜率为 1的直线交椭圆于 QP、 两点 （ 1）若 OP OQ 与 a （ 3， 1）共线，求椭圆 C的方程； （ 2）已知直 线 l ：
9、 1 02xy ，在 l 上求一点 M ，使以椭圆的焦点为焦点且过 M 点 的双曲线 E 的实轴最长，求点 M 的坐标和此双曲线 E 的方程。 053 yx 02 yx x y o 参 考 答 案 一、选择题 1 2 2 15 0 ,m 5 0mm 解得 m3 . 2 函数 2y log x 与 1y x 22的图象有两个交点 ,故 ()fx有两个零点 . 3 集合 1,1A ，集合 ,1B ， 1AB. 4 由 221 m 1( ) 1,mn 得 22 11m n m 1 , m n m ( ) 2m m m . 5 设这一过程大约需要 t分钟，火箭发射后每分钟通过的路程分别为 2km， 4
10、km， 6km 为 一等差数列，根据等差数列求和公式得： 2 )1(22240 ttt ，即 02402 tt ，解 得： （舍）或 16t15 t . 6 524 12 61 2 4 2 43 1r rrrrrT C x C xx ,故当 0, 6, 2,18, 24r 时 ,幂指数为整数 ,共 5项 . 7 由 422009lo g2009lo g4)2009 1(32 baf 得， 22 0 0 9lo g2 0 0 9lo g 32 ba . 02222 0 0 9l o g2 0 0 9l o g)2 0 0 9( 32 baf . 8 由题知 kk 65,268 ，即选项 D. 9
11、 babanm 2,02 ， 满足条件的 有序实数对由（ 2， 1），（ 4， 2），（ 6， 3），则垂 直的概率为 121663 . 10 求目标函数 5z x y的最大值，如图所示，可知 max 5z ， 所以 1maxm . 11 有三视图可知该正三棱柱底面正三角形的高为 32 ，棱柱高为 2,可得底面边长为 4,从A M P B D C G F E 而 可求得棱柱的表面积 . 12 此结构为直到型循环结构，当 10i 时停止循环。 二、填空题 13 3 解析： m 20 ( 2 x 1 ) d x 6 m m 6 ( m 0 ) m 3 ， ，. 14 12 解析：圆心坐标为（ 0，
12、 1）到直线 01yx 的距离为 2 ，圆的半径为1, 故所求最小距离为 12 . 15 2166a 解析： CBA 的高为 aa 86212223 ，所以面积为 21668621 aaaS . 16 780 解析：根据方差计算公式可得 . 三、解答题 17 xxxf 2s in21)62c o s (121)( - 2分 2s in)6s in2s in6c o s2( c o s121 xxx )2s in212c o s231(21 xx -4分 21)32s in(21 x -6分 （ 1） )(xf 的最大值为 1、最小值为 0 ； - 8分 （ 2） 由 2 2 2 ( )2 3
13、2k x k k Z ， - 10分 得 5 ()1 2 1 2k x k k Z ， 从而 )(xf 的单调增区间为 )(12,125 Zkkk -12 分 18 解法一： (1)取 AD 的中点 G ，连结 PG GB BD、 、 PA PD ， PG AD-2分 AB AD ，且 60DAB ， ABD 是正三角形， ADBG - 3分 AD平面 PGB AD PB - 4分 （ 2） 取 PB 的中点 F ，联结 MF CF、 ， P B D C A M G z x y MF、 分别为 PA PB、 的中点， /MF AB ，且 12MF AB - 6分 /AB CD 且 2AB CD
14、 ， /MF CD 且 MF CD 四边形 CDFM 是平行四边形 /DM CF - 7分 CF 平面 PCB ， DM 平面 PCB, /DM 平面 PCB - 8分 （ 3） 取 BC 的中点 E ，联结 PE GE、 四边形 ABCD 是直角梯形且 /AB CD ， /GE AB ， BCGE , 又 PG BC , BC平面 PEG ， BC PE， PEG 是二面角 A BC P的平面角 -10分 设 aDC ，则 aADAB 2 ; G 、 E 分别为 AD 、 BC 中点， aaaCDABGE 232 22 G 是等腰直角三角形 PAD 斜边的中点， aADPG 21 -11分
15、2ta n 3PGPEG EG ， 二面角 A BC P的正切值为 23 -12 分 解法二： （ 1） 同解法 1; （ 2） 侧面 PAD 底面 ABCD ， 又 PG AD ， PG底面 ABCD PG BG PG AD 直线 AD GB GP、 、 两两互相垂直，故可以分别以直线 AD GB GP、 、 为 x 轴、 y 轴 和 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz . -5分 设 PG a ，则可求得 ( 0 , 0 , ) , ( , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( , 0 , 0 )P a A a B a D a，则 ( 0 , 0 , ) , (
16、 , 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , )G P a A B a a P B a a . 设 ( , , )Cx y z ,则 ( , , )DC x a y z , 2AB DC ， ( , 3 , 0 ) 2 ( , , )a a x a y z , 33( , , ) ( , , 0 )22x y z a a ，即 )0,23,23( aaC 33( , , 0 )22B C a a -6分 设 ( , , )n x y z 是平面 PBC 的法向量，则 0n BC且 0n PB, 33 0,223 0 .a x a ya y a z .3,33yzyx 取 3y ，得 ( 1,
17、3,3)n -7分 M 是 AP 的中点， ( ,0, )22aaM 3( , 0 , ) ( , 0 , 0 ) ( , 0 , )2 2 2 2a a aD M a a 3( , 0 , ) ( 1 , 3 , 3 ) 022 aD M n a , DM n -8分 DM 平面 PCB /DM 平面 PCB -9分 （ 3） PG 平面 ABCD ， GP 是平面 ABCD 的法向量， -10分 3c o s , .| | | | 13n G Pn G P n G P -11分 2tan , .3n GP 二面角 A BC P的正切值为 23 -12分 19 解：（ 1）设选对一道 “ 可
18、判断个选项是错误的 ” 题目为事件 A， “ 可判断个选项是错误 的 ” 该题 选对为事件 B， “ 不能理解题意的 ” 该题选对为事件 C.则 1 1 1( ) , ( ) , ( )2 3 4P A P B P C -2分 所以得分的概率 21 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 3 4 4 8P P A P B P C -3分 （ 2） 该考生得 20 分的概率 22 ( ) ( ) ( )P P A P B P C = 1 2 3 64 3 4 48 -4分 该考生得 25 分的概率 1 2 232 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
19、P C P A P A P B P C P A P B P C P A P B P C = 21 2 3 1 1 3 1 2 1 1 72 ( )2 3 4 4 3 4 4 3 4 4 8 -6分 该考生得 30 分的概率 2142 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A P B P C C P A P A P B P C 122 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C P A P A P B P C P A P B P C = 221 2 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1( ) 2 2 ( )2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4
20、 2 3 4 =1748 -8分 该考生得 35 分的概率 1 2 252 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P A P A P B P C P A P B P C P A P B P C = 221 1 1 1 1 1 3 1 2 1 72 ( ) ( )2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 8 17 7 6 148 48 48 48 该考生得 25 分或 30分的可能性最大 -10分 （ 3）该考生所得分数的数学期望 6 1 7 1 7 7 12 0 2 5 3 0 3 5 4 04 8 4 8 4 8 4 8 4 8E =3351
21、2 -12分 20 （ 1）因为 12 2 1nnnaa （ n N 且 2n ）， 所以 1112 2 1 112 2 2 2nn n nn n n na a a -2分 显然，当且仅当 1 02n ，即 1 时，数列2n na 为等差数列； -5分 （ 2）由（ 1）的结论知：数列 12n na 是首项为 1 1 22a ，公差为 1的等差数列， 故有 1 2 ( 1 ) 1 12nna nn ， -6分 即 ( 1) 2 1nnan （ n N ） -7分 因此，有 232 2 3 2 4 2 ( 1 ) 2 nnS n n ， 2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 ( 1 ) 2 2nnS n n ,-9分 两式相减，得 2 3 14 ( 2 2 2 ) ( 1 ) 2nnnS n n ， -10分 1(2 1)nnSn （ n N ） -12 分 21 （ 1）由题意知， ()fx的定义域为 ),0( ，
