1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 试卷类型： A 09 年 高考理科数学 第一次模拟考试试卷 数 学 (理科 ) 本试卷分第 卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟 参考公式： 如果事件 A 、 B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24SR 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 343VR 是 p ，那么 n 次独立重复试验中事件 A 其中 R 表示球的半径 恰好发生 k
2、 次的概率 ( ) (1 )k k n knnP k C P P ( 0,1, 2, , )kn 第 卷 (选择题 60 分 ) 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分 ，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 | 2 0A x x x a ，且 1A ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A ,1 B 1, C 0, D ( ,1) 2若函数 ()fx的反函数为 12( ) ( 0)f x x x ，则 (4)f 等于 （ ） A 2 B 2 C 4 D 16 3在等差数列 na 中， 3 5 1024a a a ，则此数列的前 13 项的和等于
3、 （ ） A 13 B 26 C 8 D 16 4复数 133 ii在复平面上对应的点位于 （ ） A实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限 5已知正三棱锥中，一条侧棱与底面所成的角为 60 ，则一个侧面与底面所成的角为 （ ） A 30 B 120 C 3arctan 2 D arctan2 3 6若函数 ()y f x 的图象关于点 (, )hk 对称，则函数 ( ) ( )g x f x h k 一定是 （ ） A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 7某市有 6 名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去 4 名，另两镇各
4、一名的概率为 （ ） A 2081 B 1081 C 5243 D 10243 8过圆 221xy上一点 P 作切线与 x 轴， y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点，则 |AB 的最小值为 （ ） A 2 B 3 C 2 D 3 9某市学生的高考成绩 服从正态分布，平均成绩 480 ，方差为 10000，若全市高考录取率为 0.4 ，则录取分数线为 (已知 (0.25) 0.6) （ ） A 525 B 515 C 505 D 495 10设动直线 xa 与函数 2( ) 2 sin ( )4f x x和 ( ) 3 cos 2g x x 的图象分别交于 M 、N 两点，则 |MN 的最大值
5、为 （ ） A 2 B 3 C 2 D 3 11已知函数 2log ( )ay ax x在区间 2,4 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 1( ,1) (1, )2 B (1, ) C 1( ,1)4 D 1(0, )8 12双曲线 221 :1xyC ab的左准线为 l ，左焦点和右焦点分别为 1F 、 2F ，抛物线 2C 的准线为 l ，焦点为 2F ， 1C 与 2C 的一个交点为 P ，线段 2PF 的中点为 M ， O 是坐标原点，则 112| | | |OF OMPF PF（ ） A 1 B 1 C 12 D 12 第卷 (非选择题 共 90 分 ) 二、填空题：
6、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若对于任意的实数 x ，都 3 2 30 1 2 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x a a x a x a x ，则实数 1a 的值为 14若棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的八个顶点都在球 O 的表面上，则 A ， 1A 两点之间的球面距离为 15函数 22( ) | s in | | c o s |f x x x ()R 的最小值是 16给出以下四个命题： 函数 3 3 ( 0)xxyx 的最小值为 2； 在数列 na 中 ， 1 1a ， nS 是其前 n 项和，且满足1 1 22nnSS ，则数列
7、na 是等比数列； 若 1( 2) 0()fx fx ，则函数 ()y f x 是以 4 为周期的周期函数； 若函数 32( ) 2f x x ax 的图象关于点 (1,0) 对称，则 a 的值为 3 则正确命题的序号是 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 10 分 ) 某学校为了了解学生课外阅读情况， 随机调查了 50 名学生，得到他们在 某一天各自课外阅读所用时间量的数 据，结 果如右图 (条形图 )所示 ( )求这 50 名学生该天平均每人的课 外阅读时间是多少小时 ? ( )从这 50 名学生中任选 2 名，求他们
8、 该天阅读时间量互不相同的概率 . 18 (本小题满分 12 分 ) 在 ABC 中， 2BC ， 2AC 31AB ( )求 ABAC ； (11)设 ABC 的外心为 O ，若 AC mAO nAB， 求 m ， n 的值 19 (本小题满分 12 分 ) 在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形 ， 120BAD ， 2PA ， PDPCPB ， E 是 PB 的中点 ( )证明： PA 平面 ABCD ； ( )求二面角 PACE 的大小 ( )设 F 是直线 BC 上的动点，求点 E 到平面 PAF 的最大距离 20 (本小题满分 12 分 ) 已知函 数 2(
9、) xf x e ax (I)求 ()fx的单调区间； ( )若存在实数 1,1x ，使得 ()f x a 成立，求实数 a 的取值范围 21 (本小题满分 12 分 ) 已知两点 M 和 N 分别在直线 y mx 和 y mx ( 0)m 上运动，且 | | 2MN ，动点P 满足： 2OP OM ON (O 为坐标原点 )，点 P 的轨迹记为曲线 C ( )求曲线 C 的方程，并讨论曲线 C 的类型； ( )过点 (0,1) 作直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A 、 B ，若对于任意 1m ，都有AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 22 (本小题满分 12 分 ) 在
10、数列 na 中， 1 1a ，且 21 231 nnnna a nn *( 2, )n n N ( )求数列 na 的通项公式； ( )令 13nn nb a *()nN ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，试比较 2nS 与 n 的大小 ； ( )令 11nn ac n *()nN，数列22( 1)nn cc 的前 n 项和为 nT ，求证：对任意 *nN 都有 2nT 数学 理科 答案 一、 A 卷 选择题 ：本大题共 12 小题，每 小 题 5 分，共 60 分 1.A 2. B 3. A 4. B 5.D 6.A 7. B 8.A 9. C 10. D 11.B 12.C 二、填空
11、题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 1 3a 14 31arccos23 15 1 16 ， 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (本题 10 分 ) 解： ( )该天平均每人的课 外阅读时间为 0 . 5 2 0 1 1 0 1 . 5 1 5 2 5 1 . 0 550 （小时） 答：这一天平均每人的课外阅读时间为 1.05 小时 . 4 分 ( ) 记这 2 名学生该天阅读时间量互不相同为事件 A , 2 2 2 22 0 1 5 1 0 5250 2() 7C C C CPA C , 7 分 25( ) 1
12、( ) 1 77P A P A . 9 分 答 : 这 2 名学生该天阅读时间量互不相同的概率为 57 . 10 分 18 (本题 12 分 ) 解 : ( )由余弦定理知 : 22 ( 3 1 ) 4 2c o s22 2 ( 3 1 )A , 2 分 2c o s 2 ( 3 1 ) 3 12A B A C A B A C A . 5 分 ( )由 AC mAO nAB, 知 ,.A B A C m A B A O n A B A BA C A C m A C A O n A C A B 23 1 ( 3 1 ) ,2 ( 3 1 ) .m A B A O nm A C A O n 7 分
13、 O 为 ABC 的外心， 21 12c o s ( 3 1 )2ABA B A O A B A O B A O A B A OAO . 同理 1AC AO . 10 分 即 2213 1 ( 3 1 ) ( 3 1 ) ,22 ( 3 1 ) .mnmn ， 解得 : 3 1,3.mn 12 分 19 (本题 12 分 ) （ ）取 BC 的中点 M ，连结 PM ， AM . 四边形 ABCD 为菱形 , 0120BAD, 则 ,BC AM BC PM 2 分 BC APM平 面 ，BC PA从 而 . 同理 DC PA 故 PA ABCD 平 面 . 4 分 （或用同一法可证） （ ）
14、先求二面角 E AC B的大小 取 AB 的中点 H ， 过 H 作 HN AC 于点 N ， 连结 EN . 则 EH ABCD 平 面 ， ENH 是二面角 E AC B的平面角， 6 分 可求得 23a rc ta n 3ENH ， 又 P A C A B C D平 面 平 面 ， 所以二面角 E AC P的大小为 23arctan23 . 8 分 法二 : 过 A 作 AM AB 交 CD 于 M ， 以 A 为坐标原点，直线 AM 、 AB 、 AP 分别为 xy、 、 z 轴， B C D E P A H N 建立空间直角坐标系 A xyz . 则 A （ 0， 0， 0）， (
15、3,1, 0)C ， P （ 0， 0， 2）， (0, 1, 1)E . (0,0,2)AP , ( 3,1,0),AC (0,1,1)AE . 6 分 设平面 PAC 的法向量为 1 1 1 1( , , )x y zn ， 则 110,0.APAC nn1112 0,3 0.zxy即取 1x = 1, 则 1 ( 1, 3,0)n . 设平面 AEC 的法向量为 2 2 2 2( , , )x y zn ， 则 220,0.ACAE nn22223 0,0.xyyz 即取 2 1y ， 则2 3( ,1, 1)3 n. cos 1n ， 2n = 1212277 nnnn ， 二面角 E
16、 AC P的大小为 27arccos 7 . 8 分 （）先求点 B 到平面 PAF 的最大距离 . P A A B C DP A F A B C D P A F A B C D A F 平 面 ，平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， 点 B 到 直线 AF 的距离即为点 B 到平面 PAF 的距离 . 10 分 过 B 作直线 AF 的垂线段 ,在所有的垂线段中长度最大为 2AB . E 为 PB 的中点 , 故点 E 到平面 PAF 的最大距离为 1. 12 分 20.(本题 12 分 ) 解：（ ） 2( ) 2 ,xf x e a （）当 0a 时 , ( ) 0,fx ()fx的单
17、调递增区间是 ( , ). 2 分 ( ) 当 0a 时 ,令 ( ) 0,fx 得 1ln .22ax 当 1ln22ax 时， ( ) 0,fx 当 1ln22ax 时， ( ) 0.fx ()fx 的单调递减区间是 ( 1, ln22a )， ()fx的单调递 增区间是 ( 1ln ,22a ). 5 分 ( ) ()f x a , 2 ,xe ax a 2( 1) ,xa x e ( 1,1x , 10x . 2 ,1xea x 设 2( ) ,1xegx x 若存在实数 ( 1,1x ,使得 ()f x a 成立 , 则 a min( ) .gx 8 分 22(2 1)( ) ,(
18、1)xexgxx 解得 ( ) 0,gx 得 12x , 当 11 2x 时 , ( ) 0,gx 当 1 12 x 时 , ( ) 0,gx ()gx 在 1( 1, )2 上是减函数 ,在 1( ,12 上是增函数 . 10 分 1m in12( ) ( ) ,12 1 2eg x ge a 的取值范围是 ( 2,e ). 12 分 21 (本题 12 分 ) （ I） 由 2OP OM ON，得 P 是 MN 的中点 . 2 分 设 ),(),(),( 2211 mxxNmxxMyxP 依题意得 : 12122 2 21 2 1 22,2,( ) ( ) 2 .x x xm x m x
19、yx x m x m x 消去 21,xx ，整理得 11 2222 mymx 当 1m 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆； 当 10 m 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆； 当 1m 时，方程表示圆 5 分 （ II） 由 1m ，焦点在 y 轴上的椭圆，直线 l 与曲线 C 恒有两交点， 直线斜率不存在时不符合题意； 可 设直线 l 的方程为 1y kx，直线与椭圆交点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y. 22 4 2 2 2221( ) 2 1 011y k xxy m k x k x mmm 21 2 1 24 2 4 221,kmx x x xm k m k 2 2 21 2 1 2 4 2 4 2( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) 1k m ky y k x k x m k m k . 7 分 要使 AOB 为锐角， 只需 0OA OB 4 2 21 2 1 2 42( 1 ) 1 0m k mx x y y mk . 9 分 即 4 2 2( 1) 1 0m k m ， 可得 2221 1mkm ，对于任意 1m 恒成立 . 而 221 2m m， 2 1 2 1 1,.kk 所以 k 的取值范围是 1,1 . 12 分 22(本题 12 分 ) 解 :( ) 21 231 nnnaa ， 1 分
