1、 绝密启用前 试卷类型： B 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
2、域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式 13V sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 巳知全集 UR ，集合 2 1 2M x x 和 2 1 , 1 , 2 , N x x k k 的关系的韦恩
3、（ enn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A 个 个 个 无穷个 设 z 是复数， ()az 表示满足 1nz 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ， ()ai 若函数 ()y f x 是函数 ( 0 , 1)xy a a a 且 的反函数，其图像经过点 ( , )aa ，则 ()fx 2logx 12logx 12x 2x 巳知等比数列 na 满足 0, 1, 2,nan ，且 25 2 5 2 ( 3 )nna a n ，则当 1n 时，2 1 2 3 2 2 1l o g l o g l o g na a a (2 1)nn 2( 1)n 2n 2( 1)n 数学（
4、理科）试题 8 第 1 页（共 4 页） 5给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个 平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 和 和 .和 和 6一质点受到平面上的三个力 1 2 3,FF F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 12,FF成 060角，且 12,FF的大小分别为和，则 3F 的大小为 25 27 7 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
5、分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从 事这四项工作，则不同的选派方案共有 36 种 12 种 18 种 48 种 8已知甲、乙两车由同一起点同时出发 ,并沿同一路线假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 vv乙甲 和 （如图 2 所示）那么对于图中给定的 01tt和 ，下列判断中一定正确的是 A在 1t 时刻，甲车在乙车前面 B 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C在 0t 时刻，两车的位置相同 D 0t 时刻后，乙车在甲车前面 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（题） 随机
6、抽取某产品 n 件，测得其长度分别为 12, , , na a a ，则图3 所示的程序框图输出的 s ，表 示的样本的数字特征是 （注： 框图中的赋值符号“ =”也可以写成“”“： =” ） 若平面向量 ,ab满足 1ab， ab 平行于 x 轴，(2, 1)b，则 a 11巳知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 32 ，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 数学（理科）试题 B 第 2 页（共 4 页） 12已知离散型随机变量 X 的分布列如右表若 0EX ，1DX ，则 a ， b （二）选做题（ 13 15 题，考生只能从中选做两
7、题） 13 （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 若 直 线1 1 2 ,: ( )2.xtlty kt 为 参 数与直线2 ,: 1 2 .xsl ys （ s 为参数）垂直，则 k 14（不等式选讲选做题）不等式 1 12xx 的实数解为 15 (几何证明选讲选做题）如图 4，点 ,ABC 是圆 O 上的点， 且04, 4 5AB ACB ，则圆 O 的面积等于 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分 解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤， 16 (本小题满分 12分） 已知向量 ( s in , 2 ) (1, c o s )ab 与 互相垂直，其中 (0, )
8、2 （ 1）求 sin cos和 的值； （ 2）若 10sin ( ) , 01 0 2 ，求 cos 的值 17（ 本小题满分 12分） 根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表 : 对 某 城 市 一 年 （ 365 天 ） 的 空 气 质 量 进 行 监 测 ， 获 得 API 数 据 按 照 区 间0 , 5 0 , ( 5 0 , 1 0 0 , ( 1 0 0 , 1 5 0 , ( 1 5 0 , 2 0 0 , ( 2 0 0 , 2 5 0 , ( 2 5 0 , 3 0 0 进行分组，得到频率分布直方图如图 5 （ 1） 求直方图中 x 的值； （
9、 2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数； （ 3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率 . (结果用分数表示 已知 77 3 2 7 3 8 1 2 35 7 8 1 2 5 , 2 1 2 8 , , 3 6 5 7 3 51 8 2 5 3 6 5 1 8 2 5 1 8 2 5 9 1 2 5 9 1 2 5 ） 数学理科）试题 B 第 3 页（共 4 页 ) 18（本小题满分分） 如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为，点是正方形 11BCCB 的中心，点、分别是棱 1 1 1,CD AA 的中点设点 11,EG分别是点、在平面
10、 11DCCD 内的正投影 （）求以为顶点，以四边形 FGAE 在平面 11DCCD 内的 正投影为底面边界的棱锥的体积； （）证明：直线 11FG FEE 平 面 ； （）求异面直线 11EG EA与 所成角的正统值 19（本小题满分分） 已知曲线 2:C y x 与直线 : 2 0l x y交于两点 ( , )AAAx y 和 ( , )BBBx y ，且 ABxx 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D 设点 (, )Pst 是 L上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合 （）若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ
11、 的中点 M 的轨迹方程； （）若曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 与点 D 有公共点，试求 a 的最小值 20（本小题满分分） 已知二次函数 ()y gx 的导函数的图像与直线 2yx 平行，且 ()y gx 在 1x 处取得极小值1( 0)mm设 ()() gxfx x （）若曲线 ()y f x 上的点 P 到点 (0,2)Q 的距离的最小值为 2 ，求 m 的值； （） ()kk R 如何取值时，函数 ()y f x kx存在零点，并求出零点 21（本小题满分分） 已知曲线 22: 2 0 ( 1 , 2 , )nC x n x y n 从点 ( 1,0)P 向曲线 nC 引斜率为 ( 0)nnkk 的切线 nl ，切点为 ( , )n n nP x y （）求 数列 nnxy与 的通项公式； （）证明：1 3 5 2 1 1 2 si n1 nnn xxx x x x xy 数学（理科）试题 第页（共页）
