高二数学下期末考试综合练习.doc

1、 高二 数学 下 期末考试综合练习（ 1） 高 二 班 学号 姓名 成绩 一、填空题 1、 223lim 23n nnn 13。 2、 若 (8, 1,4)a ， ( 3,4,7)b ，则 a 与 b 的位置关系为 ab 。 3、 设正三棱椎 V ABC 的底边长为 23，高为 2 ，则侧棱与底面所成角的大小为 4 。 4、 在等比数列 na 中，公比为 q 且 1q ，若 1 2 3 216aa a ， 26321 aaa ，则12lim ( )nn a a a 27。 解： 1 2 3 22 1 6 6a a a a ， 1336aa ， 26321 aaa 1320aa 。 因为 1q

2、，解得 1 18a ， 3 2a ，所以 13q 。 112 18l im ( ) 11 21 73nnaa a aq 。 5、 已知 (cos , sin ,1)OP ， ( 2 s in , 2 c o s , 2 )OQ ， 0,2，则当 PQ 最大时 OP 与 OQ的夹角 2 。 解： 2 22( 2 c o s s i n ) ( 2 c o s s i n ) 1PQ 11 8cos ，当 cos 1 时， PQ 最大 。 此时 sin 0 ，代入得 ( 1,0,1)OP ， (2,3,2)OQ 。 因为 0OP OQ，所以 OP 与 OQ的夹角 2 。 6、 如图为一几何体的展开

3、图，其中 ABCD 是边长为 6 的正方形， 6SD PD， CR SC ， AQ AP ，点 , , ,S DAQ 及, , ,PDCR 共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使 , , ,PQRS 四点重合，则需要 3 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为 6 的A BCDSP RQ正方体。 解： 折叠后的样子 三个四棱锥的拼法 A BCDPA BCDP7、 用 6 种不同的颜色给图中的 “ 笑脸 ” 涂色，要求 “ 眼睛 ”（即图中 ,AB所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有 36 216 种 。 （用数字作答） 8、 如图 ， 直三棱柱 11ABB DCC 中， 1 90ABB，4AB ，

4、2BC ， 1 1CC ， DC 上有一动点 P ，则 1APC周长的最小值是 5 21 。 解： 221 1 4 2 21AC ， 要使 1AP PC 最小，须将图展开，连接 1AC 交 DC 于 P ，此时11 5AP PC AC 。 所以 1APC 周长的最小值是 5 21 。 9、 10件产品，其中 7 件是正品， 3 件是次品，从中任抽 2 两件最多 1件是次品的概率等于23210 151 41CC。 10、 若在从 1到 100 这 100 个整数中任取 2 个 数 ，则所取的两数和为偶数的概率为2250 502100 4999CCC 。 11、 已知数列 na 是由正整数组成的数

5、列， 1 4a ，且满足 1lg lg lgnna a b，其中3b ， 2n ，且 nN ，则 113lim 3n nnn naa 1 。 A BA BCD1B1CA BCD1CP解：当 2n 时， 1lg lg lgnna a b1nna ba， 14 nnab （ 3b ）。 所以 1 111 1 13 34l i m l i m3 3 4 1n nnnn n nnnna bab 。 12、 在锐角的二面角 EF ， A EF ， AG ， 45GAE ，若 AG 与 所成角为 30 ，则二面角 EF 为 4 。 解：如图，作 GB EF ，交 EF 于 B 。过 G 作 GC ，垂足为

6、 C ，连接 BC 。 设 1AB ，则 1BG ， 2AG 。 因为 30GAC ， 所以 22GC ，则 2a r c s in 2 4E F G B C 。 二、选择题 13、 从单词 “equation ”选取 5 个不同的字母排成一排，含有 “ qu ” （其中 “ qu ” 相连且顺序不变）的不同排列共有个数为（ B ） ()A 120 ()B 480 ()C 720 ()D 840 解： 3464480CP 。 14、 探索以下的规律： 0 3 4 7 8 11 1 2 5 6 9 10 则根据规律，从 2006到 2008，箭头的方向依次为（ C ） ()A ()B ()C (

7、)D 解：以 4为周期，故 从 2006到 2008相当于从 2到 4。 15、 若 ABCCBA 111 是直三棱柱， 90BCA ，点 1D 、 1F 分别是 11AB 、 11AC 的中点，且 1BC CA CC，则 1BD 与 1AF 所成角的余弦值是（ A ） ()A 3010 ()B 12 ()C 3015 ()D 1510 EFA GBC解：建立空间直角坐标系如图，设 (0,2,0)B ， 1(1,1,2)D ，(2,0,0)A ， 1(1,0,2)F 。 于是 1 (1, 1, 2)BD ， 1 ( 1,0, 2)AF ，则 30cos 10 。 所以 1BD 与 1AF 所成

8、角的余弦值是 3010 。 *16、 图中多面体是经过正四棱柱底面顶点 B 作截面 1 1 1 1ABCD 而截得的 。 已知 11AA CC ，截面 1 1 1 1ABCD 与底面 ABCD 成 4 的二面角，1AB ，则这个多面体的体积为（ C ） ()A 24 ()B 33 ()C 22 ()D 2 解： 过 1A 作 1 /AE AD ， 11/AB AB ，联结 1EC 、 11BC 。 取 11AC 中点 F ，联结 EF 、 1DF。 平面 1 1 1/ABCD A B C E，所以截面 1 1 1 1ABCD 与 平面 1 1 1ABCE 所成的二面角为 4 。 11AE EC

9、 ， F 为 11AC 中点， 11EF AC 。 11AA CC ， 11AB BC，即 1 1 1 1AD DC ，则 1 1 1DF AC 。 1 1 1 1 4D F E D A C E 。 1 22D E EF ，同理得1 22BB。 于是多面体体积1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122D A C E A C E A B C D B A C B A C E A B C D A B C E A B C DV V V V V 。 三、解答题 17、 如图 ， PD 垂直正方形 ABCD 所在平面 ， 2AB ， E 是 PB 的中点 ， 向量 DP 、 AE 的夹角为 3

10、arccos 3 。 A BCD1DABCxyz1A1B1C1F 1DA BCD1D1A1C1BEFA BCDPE（ 1） 建立适当的坐标系 ， 求点 E 的坐标； （ 2） 在 AD 上找一点 F ，使 EF 平面 PCB 。 解： （ 1） 以 DA 、 DC 、 DP 所在的直线分别 为 x 轴、 y 轴、 z轴建立空间直角坐标系 如图，则 (0,0,0)D ， (2,0,0)A 。设(0,0, )Pa（ 0a ）， (1,1, )2aE 。 于是 (0,0, )DP a ， ( 1,1, )2aAE 。 由题意得，23c o s , 38D P A E aD P A ED P A E

11、a ， 解得 2a 或 2a （舍）。 所以 点 E 的坐标 为 (1,1,1) 。 （ 2） 设点 F 的坐标为 ( ,0,0)x ，则 ( 1, 1, 1)EF x 。 要使 EF 平面 PCB 0 10E F P B E F P B xE F C BE F C B 。 所以点 F 的坐标为 (1,0,0) ，即点 F 为 AD 的 中点 。 18、 直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 90ACB ， 1 2AC BC CC 。 （ 1）证明： 11AB BC ； （ 2）求点 B 到平面 11ABC 的距离 ； （ 3）求二面角 1 1 1C AB A的大小 。 解：（ 1） 1

12、1 1 1( ) ( )A B B C A B B B B C B B 211()AB BC AB BC BB BB 234 2 c o s 0 2 04 ， 11AB BC 。 （ 2）设 点 B 到平面 11ABC 的距离 为 h ， 因为 90ACB ， AC CB，又 1CC 平 面 ABC ，则 1CC AC ， AC平面 1BCC 。 同理得 11BC 平面 1ACC ，所以 1 1 1BC AC 。 A BCDPExyzA BC1A 1B1C于是1 1 1 1 1 11133B A B C A B C B B CV h S A C S 。 因为11 1 1 111 2 2 2 2

13、 222A B CS A C B C ，11 1 1 11 22B CS B B B C ， 所以11112BB CAB CAC Sh S 。 故 点 B 到平面 11ABC 的距离 为 2 。 （ 3）取 11AB 中点 D ， 联结 1CD，过 D 作 1DE AB 交 于 E ，联结 1CE。 1 1 1ABC 是等腰三角形， 1 1 1C D AB。 又 1BB 平面 1 1 1ABC ， 11BB CD，所以 1CD 平面11ABBA 。 于是 11CD AB ，又 1DE AB ， 1AB平面 1CDE ，得 11CE AB 。 因此， 1CED 为二面角 1 1 1C AB A的

14、平面角 。 1 2CD ， 1 112222 3 3BDD E A AAB ， 11ta n 3CDC E D DE ， 即 1 3CED 。 所以 二面角 1 1 1C AB A的大小 为 3 。 另 解： （空间向量） （ 1）建立 空间 直角坐标系 如图 ， 则 (2,0,0)A ， 1(0,2,2)B ，(0,2,0)B ， 1(0,0,2)C 。 于是 1 ( 2, 2, 2)AB ， 1 (0, 2, 2)BC 。 则 110AB BC，所以 11AB BC 。 （ 2）设 1 1 1 1( , , )n x y z 是平面 11ABC 的法向量， 由 110n AB， 110n

15、AC， 得 A BCD1A 1B1CEA BC1A 1B1Czxy1 1 11100x y zxz ， 所以 1110yxz 。 令 1 1z ，则 1 (1,0,1)n 。 又 ( 2,2,0)AB ，所以 B 到平面 11ABC 的距离 112AB nd n。 （ 3）设 2 2 2 2( , , )n x y z 是平面 11AAB 的法向量， 由 2 1 1 0n AB， 210n AA得 22200xyz ， 所以 222 0xyz 。 令 2 1y ，则 2 (1,1,0)n 。 因为 1212 12 11c o s , 222nnnn nn ， 所以，二面角 1 1 1C AB

16、A的平面角的大小为 3 。 19、 已知数列 na 满足 1aa （ 0a ，且 1a ），其前 n 项和 (1 )1nnaSaa。 （ 1）求证： na 为等比数列； （ 2）记 lgn n nb a a （ *nN ）， nT 为数列 nb 的前 n 项和 。 当 2a 时，求 limnn nTb。 证明：（ 1）当 2n 时，11( 1 ) ( 1 )11n n n n naaa S S a a ， 整理得1nna aa ， 1aa ， 所以 na 是 以 a 为首项， a 为 公比的等比数列 。 于是 nnaa 。 （ 2）因为 nnaa ， l g l g l gn n nn n n

17、b a a a a n a a 。 当 2a 时， 2( 2 2 2 2 ) lg 2nnTn ， 2 3 12 2 2 2 ( 1 ) 2 2 l g 2nnnT n n ， 两式相减 得 ， 2 3 1( 2 2 2 2 2 ) l g 2nnnTn 11( 2 2 2 ) lg 2nnn 1 2 ( 1 ) 2 lg 2nnTn ，又 2 lg 2nnbn ， 所以， limnn nTb2 2 ( 1 ) ) 2lim ( 2 nn nnn 。 20、 已知数列 na 满足 3 ( 2)nnS n a ，其中 nS 为其前 n 项的和， 1 2a 。 （ 1）证明：数列 na 的通项 公

18、式为 ( 1)na n n； （ 2）求数列 1na的前 n 项和 nT ； （ 3）是否存在无限集合 |M n n 为正整数 ， 总有 Tn1 110 成立 ； 若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由 。 证明 （ 1） 当 2n 时， 113 ( ) ( 2 ) ( 1 ) 3n n n n nS S n a n a a ， 整理得111nna nan 。 于是 1 2 3421 2 3 3 2 11 1 5 4 31 2 3 3 2 1n n nn n na a a aaa n n na a a a a a n n n ， 1( 1)2na nna ( 1)na n n 。 （ 2） 1 1 1 1( 1 ) 1na n n n n ， 1 1 1 1 1 1112 12 3 1 1nT n n n nn 。 （ 3）要使 11 10nT ， 即 111 10n ，只需 10n 即可。 所以， * | 1 0 , M n n n N 。