1、 2015-2016 学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题 1已知集合 U=1， 2， 3， 4，集合 A=1， 3， 4， B=2， 4，则集合（ UA） B=（ ） A 2 B 4 C 1， 3 D 2， 4 2 x2 0 是 x 0 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 3在等比数列 an中， a2=6， a3= 18，则 a1+a2+a3+a4=（ ） A 26 B 40 C 54 D 80 4设等差数列 an的公差 为 d，前 n 项和为 Sn若 a1=d=1，则 的最小值为（ ） A 10 B C D +2 5为了得
2、到函数 y=sin（ 2x ）的图象，可以将函数 y=sin2x 的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 6已知平面向量 ， 满足 | |= =2，（ +2 ） （ ） = 6，则 与 的夹角为（ ） A B C D 7己知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x R，都有 f（ x+2） =f（ x）当 0 x 1 对， f（ x） =x2若直线 y=x+a 与函数 y=f（ x）的图象在 0， 2内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是（ ） A 0 B 0 或 C 0 或 D 或 8设 ABC， P0
3、 是边 AB 上一定点，满足 ，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则（ ） A ABC=90 B BAC=90 C AB=AC D AC=BC 二、填空题 9已知两点 A（ 1， 1）， B（ 1， 2），若 = ，则 C 点坐标是 _ 10在等差数列 an中， 2（ a1+a4+a7） +3（ a9+a11） =24，则此数列的前 13 项之和等于 _ 11设函数 ，则实数 a 的取值范围是 _ 12若正数 a， b 满足 a+b=10，则 + 的最大值为 _ 13在平面直角坐标系 xOy 中， A（ 1， 0），函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B， P 为函数y=ex 图象上的任
4、意一点，则 的最小值 _ 14已知点 A（ ， ）， B（ ， 1）， C（ ， 0），若这三个点都在函数 f（ x） =sinx的图象上，则正数 的 所有取值的集合为 _ 三、解答题 . 15已知 an是等差数列，满足 a1=3， a4=12，数列 bn满足 b1=4， b4=20，且 bn an为等比数列 （ 1）求数列 an和 bn的通项公式； （ 2）求数列 bn的前 n 项和 16已知函数 f（ x） =sinxcosx+cos2x （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的单调递减区间 ； （ 3）若函数 f（ x）在区间 0， m上恰好有 10 个零点，求正数
5、 m 的最小值 17如图， A、 B 是单位圆 O 上的点， C、 D 分别是圆 O 与 x 轴的两个交点， ABO 为正三角形 （ 1）若点 A 的坐标为 ，求 cos BOC 的值； （ 2）若 AOC=x（ 0 x ），四边形 CABD 的周长为 y，试将 y 表示成 x 的函数，并求出 y 的最大值 18已知函数 f（ x） =（ x2+ax+a） e x，其中 a R （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若存在 m， n （ 2， 3），且 m n，使得 f（ m） =f（ n），求实数 a 的取值范围 19设函数 f（ x） =ln（ x+1） +a（ x2 x），其中
6、 a R （ 1）当 a=0 时，求证： f（ x） x，对任意的 x （ 0， +）成立； （ 2）讨论函数 f（ x）极值点的个数，并说明理由； （ 3）若 x 0， f（ x） 0 成立，求 a 的取值范围 20设集合 S=x|x= ， k N* （ 1）请 写出 S 的一个 4 元素，使得子集中的 4 个元素恰好构成等差数列； （ 2）若无穷递减等比数列 an中的每一项都在 S 中，且公比为 q，求证： q （ 0， ）； （ 3）设正整数 n 1，若 S 的 n 元子集 A 满足：对任意的 x， y A，且 x y，有 |x y| ，求证： n 15 2015-2016 学年北京市清
7、华附中高一（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知集合 U=1， 2， 3， 4，集合 A=1， 3， 4， B=2， 4，则集合（ UA） B=（ ） A 2 B 4 C 1， 3 D 2， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据补集与并集的定义，进行计算即可 【解答】 解：集合 U=1， 2， 3， 4， A=1， 3， 4， B=2， 4， UA=2， （ UA） B=2， 4 故选： D 2 x2 0 是 x 0 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】
8、 根据 x2 0，得到 x 的范围和 x 0 比较即可 【解答】 解：由 x2 0 得到： x 0， 而 x 0 推不出 x 0，不是充分条件， 由 x 0 能推出 x 0，是必要条件， x2 0 是 x 0 的必要不充分条件， 故选： B 3在等比数列 an中， a2=6， a3= 18，则 a1+a2+a3+a4=（ ） A 26 B 40 C 54 D 80 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 根据等比数列 an中， a2=6， a3= 18，求得数列的首项与公比，即可求和 【解答】 解： 等比数列 an中， a2=6， a3= 18， = 3， = 2 a1+a2+a3+a4=
9、 2+6 18+54=40 故选 B 4设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn若 a1=d=1，则 的最小值为（ ） A 10 B C D +2 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由已知条件推导出 = = ，由此利用均值定理 取最小值 【解答】 解： 等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn a1=d=1， = =1+ + = + = ， 当且仅当 ，即 n=4 时， 取最小值 故选： B 5为了得到函数 y=sin（ 2x ）的图象，可以将函数 y=sin2x 的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单
10、位长度 【考点】 五点法作函数 y=Asin（ x+）的图象 【分析】 先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论 【解答】 解： 函数 y=sin（ 2x ） =sin2（ x ） ， 为了得到函数 y=sin（ 2x ）的图象，可 以将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度 故选 A 6已知平面向量 ， 满足 | |= =2，（ +2 ） （ ） = 6，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量 数量积的运算 【分析】 根据条件进行向量数量积的运算即可得出，从而可求出 的值，进而便可得出向量 的夹角 【解答】 解： ； = = = 6； ； ；
11、故选： C 7己知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x R，都有 f（ x+2） =f（ x）当 0 x 1 对， f（ x） =x2若直线 y=x+a 与函数 y=f（ x）的图象在 0， 2内恰有两个不同的公共点，则实数 a 的值是（ ） A 0 B 0 或 C 0 或 D 或 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质 【分析】 由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的 m，或 n 是满足题意，求出其对应的 a 值即可 【解答】 解：由对任意的 x R，都有 f（ x+2） =f（ x）可知，函数的周期为 T=2， 结合函数为偶函数，且当 0 x 1
12、 对， f（ x） =x2 可作出函数 y=f（ x）和直线 y=x+a 的图象， 当直线为图中的直线 m， n 时，满足题意，易知当直线为 m 时，过原点， a=0， 当直线为 n 时，直线与曲线相切，联立 ，消 y 可得 x2 x a=0， 由 =1+4a=0 可得 a= ，故 a 的值为 0，或 ， 故选 C 8设 ABC， P0 是边 AB 上一定点，满足 ，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则（ ） A ABC=90 B BAC=90 C AB=AC D AC=BC 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设 | |=4，则 | |=1，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H，在
13、AB 上任取一点 P，设 HP0=a，则由数量积的几何意义可得 | |2（ a+1） | |+a 0 恒成立，只需 =（ a+1）2 4a=（ a 1） 2 0 即可，由此能求出 ABC 是等腰三角形， AC=BC 【解答】 解：设 | |=4，则 | |=1，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H， 在 AB 上任取一点 P，设 HP0=a，则由数量积的几何意义可得， =| | |=| |2（ a+1） | |， = a， 于是 恒成立， 整理得 | |2（ a+1） | |+a 0 恒成立， 只需 =（ a+1） 2 4a=（ a 1） 2 0 即可，于是 a=1， 因此我们得到 HB=2
14、，即 H 是 AB 的中点，故 ABC 是等腰三角形， 所以 AC=BC 故选： D 二、填空题 9已知两点 A（ 1， 1）， B（ 1， 2），若 = ，则 C 点坐标是 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出 【解答】 解： = ， = = = 故答案为： 10在等差数列 an中， 2（ a1+a4+a7） +3（ a9+a11） =24，则此数列的前 13 项之和等于 26 【考点】 数列的函数特性 【分析】 利用等差数列的 性质与求和公式即可得出 【解答】 解：等差数列 an中， 2（ a1+a4+a7） +3（ a9+a11） =24， 6a4
15、+6a10=24， 2a7=4，即 a7=2 则此数列的前 13 项之和 S13= =13a7=26 故答案为： 26 11设函数 ，则实数 a 的取值范围是 3 a 1 【考点】 其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点 【分析】 由于函数为 分段函数，可分别讨论当 a 0 和 a 0 两种情况，进而求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x）为分段函数，当 a 0 时， 1，得 0 a 1 当 a 0 时， 1，解得 a 3，即 3 a 0， 故答案为： 3 a 1 12若正数 a， b 满足 a+b=10，则 + 的最大值为 【考点】 函
16、数的最值及其几何意义 【分析】 对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值 【解答】 解：正数 a， b 满足 a+b=10， 令 y= + ， 则 y2=a+2+b+3+2 ， a+b=10， 15=a+2+b+3 2 （当 a+2=b+3 时等号成立）， y2 30， + 的最大值为 故答案为： 13在平面直角坐标系 xOy 中， A（ 1， 0），函数 y=ex 的图象与 y 轴的交点为 B， P 为函数y=ex 图象上的任意一点，则 的最小值 1 【考 点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意可得向量的坐标，进而可得 = x0+ ，构造函数 g（ x）
17、= x+ex，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案 【解答】 解：由题意可知 A（ 1， 0）， B（ 0， 1）， 故 =（ 0， 1）（ 1， 0） =（ 1， 1）， 设 P（ x0， ），所以 =（ x0， ）， 故 = x0+ ， 构造函数 g（ x） = x+ex，则 g（ x） = 1+ex， 令其等于 0 可得 x=0，且当 x 0 时， g（ x） 0， 当 x 0 时， g（ x） 0， 故函数 g（ x）在 x=0 处取到极小值， 故 gmin（ x） =g（ 0） =1， 故 的最小值为： 1 故答案为： 1 14已知点 A（ ， ）， B（ ， 1
18、）， C（ ， 0），若这三个点都在函数 f（ x） =sinx的图象上，则正数 的 所有取值的集合为 |=8k+2， k N|=12k+2，或 12k+4，k N 2， 4 【考点】 y=Asin（ x+）中参数的物理意义 【分析】 由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数 的值，从而得出结论 【解答】 解：若三个点都在函数 f（ x） =sinx的图象上， 则有 sin（ ） = ， sin（ ） =1， sin =0， 则 ， 即 ， 求得正数 的 所有取值的集合为： |=8k+2， k N|=12k+2，或 12k+4， k N 2，4 故答案为： |=8k+2， k
19、 N|=12k+2，或 12k+4， k N 2， 4 三、解答题 . 15已知 an是等差数列，满足 a1=3， a4=12，数列 bn满足 b1=4， b4=20，且 bn an为等比数列 （ 1）求数列 an和 bn的通项公式； （ 2）求数列 bn的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式； （ 2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解数列的和 【解答】 解：（ 1）设等差数列 an的公差为 d，由题意得 d= = =3 an=a1+（ n 1） d
20、=3n（ n=1， 2， ） 数列 an的通项公式为： an=3n； 设等比数列 bn an的公比为 q，由题意得： q3= = =8，解得 q=2 bn an=（ b1 a1） qn 1=2n 1 从而 bn=3n+2n 1（ n=1， 2， ） 数列 bn的通项公式为： bn=3n+2n 1； （ 2）由（ 1）知 bn=3n+2n 1（ n=1， 2， ） 数列 3n的前 n 项和为 n（ n+1），数列 2n 1的前 n 项和为 =2n 1 数列 bn的前 n 项和为 n（ n+1） +2n 1 16已知函数 f（ x） =sinxcosx+cos2x （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的单调递减区间； （ 3）若函数 f（ x）在区间 0， m上恰好有 10 个零点，求正数 m 的最小值 【考点】 正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ 1）根据二倍角及辅助 角公式求得 f（ x）的解析式，利用周期公式即可求得 f（ x）的最小正周期； （ 2）令 2k+ 2x+ 2k+ ，函数 f（ x）单调递减，解得 f（ x）的单调递减区间；
