1、 2015-2016学年第一学期河北省保定市八校联合体高 二 期中联考 高二数学（理科） （满分 150 分，考试时间： 120 分钟） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间 120分钟，注意事项： 1第卷的答案填在答题卷方框里，第卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。 2答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。 3考试结束，只交答题卷。 第卷（选择题共 60 分） 一、 选择题：（ 本 大题共 12题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1下列有关命题的说法正确的
2、是（ ） A 命题“若 2 1x ，则 1x ”的否命题为：“若 2 1x ，则 1x ” ； B 命题“ xR ， 2 20xx ”的否定是“ xR ， 2 20xx ” ； C 命题“若 xy ，则 22xy ”的逆否命题是假命题 ； D 已知 m n N、 ，命题“若 mn 是奇数，则 mn、 这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题 为假命题 . 2 已知两个平面垂直，下列命题 （ ） 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂
3、直于另一个平面 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 函数 2 1y ax的图象与直线 yx 相切，则 a等于（ ） A 18 B 14 C 12 D 1 4 如果双曲线的两个焦点分别为 )0,3(1 F 、 )0,3(2F ，一条渐近线方程为 xy 2 ，那么它的两条准线间的距离是（ ） A、 36 B、 2 C、 4 D、 1 5 当 x 在 ( , ) 上变化时，导函数 /()fx的符号变化如下表： x ( ,1) 1 （ 1， 4） 4 (4, ) /()fx 0 + 0 则函数 ()fx的图象的大致形状为 （ ） 6记定点 M 10(3, )3 与 抛物线 2 2
4、yx 上的点 P 之间的距离为 d1， P 到抛物线的准线 l 距离为 d2，则当 d1+d2取最小值时， P点坐标为（ ） A (0,0) B (1, 2) C（ 2， 2） D 11( , )82 7. 下列求导运算正确的是 ( ) A2 11)1( xxx B 2ln1)(log 2 xx C )3(x = ex 3log3 D xxxx sin2)c o s( 2 8. 在空间四边形 OABC 中 , OA a ， OB b ， OC c ，点 M 在线段 OA 上，且2OM MA ,N 为 BC 的中点，则 MN 等于（ B ） A 1 2 12 3 2a b c B 2 1 13
5、2 2abc C 1 1 22 2 3a b c D 2 2 13 3 2a b c 9椭圆 22 1( 0)xy abab 的四个顶点 A， B， C， D构成的四边形为菱形，若菱形 ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ） A 352 B 358 C 512 D 514 10如果 fx为偶函数，且导数 fx存在，则 0f 的值为 （ ） A、 2 B、 1 C、 0 D、 1 11.抛物线 xy 82 的焦点为 F，过 F作直线 l 交抛物线于 A、 B两点，设 , nFBmFA 则nm 11 （ ） A. 4 B. 8 C. 21 D. 1 12、 若,mn表示不重合的两直线，
6、表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ C ） /mn nm ；/m mnn ；/mn ；/m nmn A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第 II 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 .） 13 已知命题 21: “ 1 , 2 , ln 0 “2p x x x a 与命题 2: “ , 2 8 6 0 “q x R x a x a 都是真命题 , 则实数 a 的取值范围是 . 14 如图，在长方形 ABCD 中 , 3AB , 1BC ,E 为线段 DC 上一动点，现将 AED 沿AE 折起，使点 D 在面 ABC 上的射影 K
7、在直线 AE 上，当 E 从 D 运动到 C ，则 K 所形成轨迹的长度为 15 曲线 x xxf cossin2)( 在点 )0(,0( f 处的切线方程为 16给出下列命题： R ，使得 sin33sin ； ,Rk 曲线 116 22 kykx 表示双曲线； 2, xaeyRa x 的递减区间为 )0,2( ,Ra 对 Rx ，使得022 axx . 其中真命题为 （填上序号） 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本大题满分 10分） 已知命题 p：方程 112 22 mymx 表示焦点在 y轴上的椭圆； 命题 q：双曲线 15
8、22 mxy 的离心率 )2,1(e ，若 p、 q有且只有一个为真，求 m的取值范围 . 18 （本小题满分 12分） 已知定点 F（ 2p ， 0），（ 0p ）定直线 : 2plx ，动点 M（ ,xy）到定点的距离等于到定直线 l 的距离 . （）求动点 M的轨迹方程； （）动点 M的轨迹上的点到直线 3x 4y 12=0的距离的最小值为 1，求 p的值 . 19. （ 本题满分 12分 ） 已知函数 |ln)( 2 xxxf ， （ ）判断函数 )(xf 的奇偶性； （ ）求函数 )(xf 的单调区间； 20（ 本题满分 12分 ） 如图 , ABCD 是边长为 3 的正方形， DE
9、 平面 ABCD ，/AF DE ， 3DE AF ， BE 与平面 ABCD 所成角为 60 . ( ) 求二面角 F BE D的余弦值； ( ) 设 M 是线段 BD 上的一个动点，问当 BMBD 的值为多少时，可使得 /AM 平面 BEF ，并证明你的结论 . 21（本小题满分 12分） 已知一条抛物线和一个椭圆都经过点 M（ 1， 2），它们在 x轴上具有相同的焦点 F1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点。 抛物线的方程和椭圆方程； 设椭圆的另一个焦点是 F2，经过 F2的直线 l 与抛物线交于 P， Q两点，且满足 22FP mFQ ，求 m的取值范围。 22. （本
10、小题满分 12分） 已知函数 4 3 219() 42f x x x x cx 有三个极值点。 （ I）证明： 27 5c ； （ II）若存在实数 c，使函数 )(xf 在区间 ,2aa 上单调递减，求 a 的取值范围。 高二数学试卷答案 一、选择题 BCBBC CABDC CC 二、填空题 13 1, 4 2,2 ； 14； 3 ； 15 02yx ； 16 三、解答题： 17解：将方程 112 22 mymx 改写为 112 22 mymx ， 只有当 ,021 mm 即 310 m 时，方程表示的曲线是焦点在 y轴上的椭圆，所以命题 p 等价于310m； 4分 因为双曲线 15 22
11、mxy 的离心率 )2,1(e ， 所以 0m ，且 1 455 m ，解得 150 m ， 6分 所以命题 q等价于 150 m ； 8分 若 p真 q假，则 m ； 若 p假 q真，则 1531 m 综上： m 的取值范围为 1531 m 10分 18 解： (1) 动点 M的轨迹方程为 pxy 22 （ 0p ） 4分 （ 2）设 A（0x，0y）为抛物线 pxy 22 （ 0p ）上任意一点，则 A到 直线 3x 4y 12= y B C A E z D F x M 0的距离为 d 5 1243 00 yx=9168)34(220 pppy . 6分 因为mind 1，所以 8p916
12、2p 0，即 0 p29且p103（ 8p9162p） =1， 所以 p 821. 12 分 19. 解： （ ）函数 )(xf 的定义域为 Rxx | 且 0x )(ln|ln)()( 22 xfxxxxxf )(xf 为偶函数 4分 （ ）当 0x 时，)1ln2(1ln2)( 2 xxxxxxxf 5分 若 210 ex ，则 0)( xf ， )(xf 递减； 若21ex， 则 0)( xf ， )(xf 递增 再由 )(xf 是偶函数， 10分 得 )(xf 的递增区间是 ),( 21 e 和 ),( 21 e ； 递减 区 间 是)0,( 21e和),0( 21e 12分 20 解
13、： ( ) 因为 DE 平面 ABCD ， 所以 ACDE . 因为 ABCD 是正方形， 所以 BDAC ,从 而 AC 平面 BDE . 所以 DEDCDA , 两两垂直，以 D 为原点， DA DC DE、 、 分 别为 x y z、 、 轴建立空间直角坐标系 xyzD 如图所示 . 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 060 ，即 60DBE， 所以tan 60 3EDDB . 由 3AD 可知 36DE ， 6AF . 则 (3,0,0)A ， (3,0, 6)F ， (0,0,3 6)E ， (3,3,0)B ， (0,3,0)C ， 所以 (0, 3, 6)BF ， (3,0
14、, 2 6)EF ， 8分 设平面 BEF 的法向量为 n ( , , )xyz ，则 00BFEF nn，即 3 6 03 2 6 0yzxz ， 令 6z ，则 n (4,2, 6) . 因为 AC 平面 BDE ，所以 CA 为平面 BDE 的法向量， (3, 3,0)CA ， 所以 6 1 3c o s ,133 2 2 6CACA CA nn n. 因为二面角为锐角，所以二面角 DBEF 的余弦值为 1313 . 8分 ( )解：点 M 是线段 BD 上一个动点，设 (, ,0)Mt t .则 ( 3, ,0)AM t t ， 因为 /AM 平面 BEF ，所以 AMn 0 ， 即
15、4( 3) 2 0tt ，解得 2t . 此时，点 M 坐标为 (2,2,0) ， 13BMBD 符合题意 . 12 分 21解：（ 1）由题意可设抛物线方程为 2 2 ( 0)y px p， 把 M 点 代 入 方 程 得 ： 抛 物 线 方 程 为2 4yx .2分 所以 F1（ 1， 0），且经过点 M，故设椭圆方程为 22 1( 0)xy abab ，联立方程得 22221141abab 解得 223 2 2 , 2 2 2ab ， 故椭圆方程为22 13 2 2 2 2 2xy .6分 （ 2）易知 F2（ -1， 0），设直线的方程为 y=k(x+1)，联立方程得2y=k(x+1)
16、4yx ，消去 y 得2 2 2 2(2 4 ) 0k x k x k ，因为直线 l 与抛物线相交于 P、 Q两点， 所以2 2 2k0(2 4) 4 0kk ，解得 -10 且 1m .12分 22.解：（ I）因为函数 4 3 219() 42f x x x x cx 有三个极值点 , 所以 32( ) 3 9 0f x x x x c 有三个互异的实根 . 1 设 32( ) 3 9 ,g x x x x c 则 2( ) 3 6 9 3 ( 3 ) ( 1 ) ,g x x x x x 当 3x 时， ( ) 0,gx ()gx 在 ( , 3) 上为增函数 ; 当 31x 时， (
17、 ) 0,gx ()gx 在 (3,1) 上为减函数 ; 当 1x 时， ( ) 0,gx ()gx 在 (1, ) 上为增函数 ; 所以函数 ()gx 在 3x 时取极大值 ,在 1x 时取极小值 . 3分 当 ( 3) 0g或 (1) 0g 时 , ( ) 0gx 最多只有两个 不同实根 . 因为 ( ) 0gx 有三个不同实根 , 所以 ( 3) 0g且 (1) 0g . 即 27 27 27 0c ,且 1 3 9 0c , 解得 27,c 且 5,c 故 27 5c . 5分 （ II）由（ I）的证明可知，当 27 5c 时 , ()fx有三个极值点 . 不妨设为 1 2 3x x
18、 x， ， （ 1 2 3x x x），则 1 2 3( ) ( )( )( ).f x x x x x x x 所以 ()fx的单调递减区间是 1(x， , 23 , xx 若 )(xf 在区间 ,2aa 上单调递减， 则 ,2aa 1(x， , 或 ,2aa23 , xx , 6分 若 ,2aa 1(x， ,则 12ax .由（ I）知， 1 3x ,于是 5.a 若 ,2aa23 , xx ,则 2ax 且 32ax .由（ I）知， 23 1.x 又 32( ) 3 9 ,f x x x x c 当 27c 时，2( ) ( 3 ) ( 3 )f x x x ; 8分 当 5c 时， 2( ) ( 5)( 1)f x x x . 因此 , 当 27 5c 时， 31 3.x所以 3,a 且 2 3.a 即 3 1.a 故 5,a 或 3 1.a 反之 , 当 5,a 或 31a 时， 总 可 找 到 ( 27,5),c 使 函 数 )(xf 在区间 ,2aa 上 单 调 递减 . 11 分 综上所述 , a 的 取 值 范 围 是( 5) ( 3,1) ， . 12分
