1、 基本不等式（第一课时）授课教师：浙江省温州市第十四高级中学 陈芝飞教材：人教版高中数学必修 5 第三章一、教学目标1通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养-数学抽象与直观想象。2进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养-逻辑推理论与数学运算。3通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。4借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领
2、会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，2ba体会方法与策略二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明2ba过程难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值三、教学过程：1由形及数，发现新知师：先给大家展示一幅图。 （展示北京国际数学家大会会标）问题 1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？师：这个是什么图形？你感觉它像什么呀？这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看上去像一个“风车” ，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的
3、图标是 2002 年 8 月2028 在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的问题 2：你知道如何用这张图证明勾股定理吗？在正方形 中有 4 个全等的直角三角ABCD 形设直角三角形两条直角边长为 ，ba,于是，4 个直角三角形的面积之和 ，S21小正方形的面积 2)(所以大正方形的面积 221)(bab进一步得到正方形 的边长为 ABCD2a问题 3：刚刚从等量关系得到了勾股定理，同学们能否仍然从面积的视角，得到不等关系呢？生：正方形 的
4、面积大于 4 个直角三角形的面积之和.AB师：用数学式子加以表示？生： ab2师：大家认为如何？生： 2师：什么时候取到等号呢？（教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件）生： 的时候取到等号。ba师：除了这个时候还有别的情况使得等号成立吗？生：没有了。师：数学上把这种情况称做“当且仅当”。（板书：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）Rba, ab22ba2代数证明，得出结论根据上述几何背景，初步形成不等式结论：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）Rba, ab22ba师：你能给出它的证明吗？证法（作差法）： 0)(22，当 时取等号ab2师：通过证明我们发现，这
5、个重要不等式的实质就是“实数平方的非负性”。在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数。ba,完善结论，得到重要不等式：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）Rba, 22ba3.数学变换，探索新知练习：（1） 比较 与 的大小？,0yx294yx1（2） _ba生： xy)3()(9422师：数学变换是数学研究的一把利器。那么第二个练习谁来试试？生： ab,02师：很好，这个不等式我们习惯上把它写成： （ ），2Rba,并称这个不等式为“基本不等式” （板书基本不等式）师：以上我们从几何图形的面积关系获得 ，并结合数学变换得到基本不等式。ab2能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？让我们
6、一起来分析一下。4.运算推理，分析证明证明：（分析法）要证 ，ab2只要证 _， 只要证 _ ，0即证 ，该式显然成立，所以 ，ab2师：什么时候取到等号？生：当 时取等号ba师：而且只有当 时取等号， 所以：当 时， （当且仅当 时，等号成立）0,2baba师：“逻辑推理，数学运算”是我们用数学思维分析世界的重要素养，前面采用的是分析法证明基本不等式。分析法的证明思路是“执果索因”，从结果出发，不断寻找、转换使得前面结论成立的新条件，直到这个新条件是显然的、或已经被证明过的正确结论。分析法是证明不等式的常用方法，也是我们解决数学问题，形成解题思路的一种重要的数学方法。其基本步骤是：从结果出发
7、，要证,只要证,即证.5.深化认识，文字叙述：师：基本不等式研究的对象是什么呢？生：两个正数的和与积师：现在大家再想一想，基本不等式的本质到底是什么呢？生：基本不等式是关于两个正数和与积的一个不等关系式师：对！用基本不等式解题，关键就是“积化和”或者“和化积”的转化过程师：数学上，我们称 为 的几何平均数；称 为 的算术平均数ab, 2ba,基本不等式 可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数2师：前面我们刚刚学过等差、等比数列，看到“ ， ”同学们会想到什么？2ba生： 表示正数 的等差中项、 表示正数 的等比中项。2baba, ,师：对，这里的等比中项指正的等比中项，基本不等式
8、 又可叙述为：2ba两个正数的等比中项不大于它们的等差中项6还数于形，深度感知师：代数和几何是刻画数学问题的两种基本途径，那么 的几何意义又是什么呢？2ba下面我们再从图形的角度研究这个基本不等式。探究：如图， 是圆 的直径，点 是 上一点， ， 过点 作垂直于ABOCABaCbBC的弦 ，连接 ABDE,根据射影定理可得： abD由于 Rt 中直角边 斜边 ，COO于是有 2ba当且仅当点 与圆心 重合时，即 时等号成立ba故而再次证明：当 时， （当且仅当 时，等号成立）0,ba2ab（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）几何解释 1：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。几何解
9、释 2：同圆中，半径不小于半弦。7应用举例，巩固提高例题.（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？师：遇到实际问题，我们的解题步骤是怎样的？生：通过设元、列式，转化成数学问题？师：好的，请上黑板书写。 （见板书）师：基本不等式的本质是关于两个正数的“和”与“差”的不等关系。用基本不等式解题，关键就是“积化和”或者“和化积”的转化过程。（通过例题的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化。引导学
10、生领会运用基本不等式 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的2ba作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略）定理：对于 ，Ryx,（1）若 （定值） ，则当且仅当 时， 有最小值 ；pbayxp2DCA BEO（2）若 （定值） ，则当且仅当 时， 有最大值 syxbaxy42s（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）总结：和定积最大，积定和最小。 练一练（自主练习）：1.已知 ，且 ，求 的最小值0,yx182yxxy2.设 ，且 ，求 的最小值R, 38归纳小结，反思提高本节课的主要内容：重要不等式：若 ，则 （当且仅
11、当 时，等号成立）Rba, ab22ba基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时，等号成立）,（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法本节课的研究过程：从几何图形中获得基本不等式，用“数学抽象与直观想象”的数学眼光观察世界。并从不同角度给出不等式的证明，通过“逻辑推理论与数学运算”学会用数学的思维分析世界。数学思想：转化化归、数形结合师：为什么称这个不等式为基本不等式呢？强调基础性、重视认知过程、结果简洁、证明方法的多元化，还强调可推广、可迁移性。（背景人教社章建跃老师撰文指出： 为什么把 （ ） 称作基本不等2baR,式， 是一个需要认真思考的数
12、学问题。并从数及其运算性质、 等价形式的多样性、 证明方法多样性、 可推广性等四个角度对这个问题进行了分析。从中我们可以体会到称之为基本不等式比称之为重要不等式，更能体现其内在含义。称之为基本不等式， 反映了其与其他基础知识的内在关联性， 更能够引起学生的注意， 提高用之解决后续数学问题和实际问题的意识。 同时还能很好地培养学生的思维习惯， 优化其认知结构。）9布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本 P100 习题 组 1、2 题A（2）拓展作业：已知 ，求证： Rba, 212baab（3）探究作业：a.现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘
13、各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量这种说法对吗？并说明你的结论b.请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流.四、教学反思张奠宙先生认为：教师的主要任务是把知识的学术形态转化为教育形态。实现这两个形态的 自然转化，教师必须深刻理解数学知识？准确了解学生的学情，并且具有高超的教学艺术。基于这样的思考，在本节课的备课前，我思考了以下三个问题：1、为什么称为“基本”不等式？基本不等式的实质是什么？2、通过课堂教学指向哪些数学核心素养？如何落实（寻找培养的途径）？3、有哪些育人价值？如何实现数学地育人？并将教学目标设置如下：1通过两个探究实例，引导学生从几
14、何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养-数学抽象与直观想象。2进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养-逻辑推理论与数学运算。3通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。4借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，2ba体会方法与策略章建跃博士指出， 教师要把教研作为自己的
15、生活方式，在理解数学、理解学生、理解教学上不断取得进步。所以，促进学生对数学思想方法的理解，提高学现了基本不等式。 在对基本不等式的证明过程中，学生对数学知识的产生、发展、演变的探究兴趣 ，应该是我们新授课不懈的追求 。我认为，一节好的数学课，要有小巧简单的知识源头、准确严谨的发展方向、欢快流畅的思维流淌” 。 本节课试图以此为基本理念进行教学，紧扣以下三个目标：一是理解基本不等式背景和特征， 二是以基本不等式为载体，体会证明不等式的思想方法， 三是初步会用基本不等式解决简单的最值问题， 以“问题情境为源头， 学生自主探究为主流，教师引导为方向”进行教学设计，实施教学活动。力求通过多种证明方法的探究 ，体会数学的严谨和多元表征，加深学生的数学理解 。并力求揭示基本不等式的本质，提高学生严谨论证的能力，让课堂探究自主地展开，让学生思维自由地流淌，让数学思想自然地形成。
