1、 09 届高 考理科数学 最后一次模拟考试 数 学 （理科） 注意事项： 1.本科考试分试题卷和答题 卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写 班级、 座 号、姓名； 2.本试卷分为第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，全卷满分 150分，考试时间 120分钟 . 第卷 （选择题 共 50分） 一 .选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的 ） 1.已知复数 z= iaa )1( ( Ra )是纯虚数，则 6z 的值为 A. 1 B. 1 C. i D. i 2.下列命题 错误 的是 A命题 “
2、 若 0m ，则方程 2 0x x m 有实根 ” 的逆否命题为： “ 若方程 2 0x x m 无实根，则 0m ” . B “ 1x ” 是 “ 2 3 2 0xx ” 的充分不必要条件 . C命题 “若 0xy ，则 ,xy中至少有一个为零”的否定是：“若 0xy ，则 ,xy都不为零” . D对于命题 :p Rx ，使得 2 10xx ；则 p 是 :Rx ，均有 2 10xx . 3.右图是 根据 某校 10 位高一同学的身高（单位： cm ） 画 出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的 百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字， 从图中可以得到这 10 位
3、同学身高的中位数是 A. 161 cm B. 162 cm C. 163 cm D. 164 cm 4.已知离心率为 e 的 双 曲线 222 17xya，其右焦点与抛物线 2 16yx的焦点重合，则 e 的 值为 A 34B 42323C 43D 2345.在等差数列 na 中， ,964 1272 aaa 则 1532 aa 的值是 A. 24 B. 48 C. 96 D. 无法确定 6.已知直线 ( 1) 3l y k x ： 与圆 221xy相切， 则直线 l 的倾斜角为 A 6 B.2 C.23 D.56 7.设函数 ( ) cosf x x ，把 ()fx的图象向右平移 m 个单位
4、后，图象恰好为函数 ( )y f x 的图象，则 m 的值可以为 命题人：叶文榕 审 核人：江 泽 15 5 5 7 8 16 1 3 3 5 17 1 2 N Y 输入 x 50x 输出 y 结束 开始 A 4 B 2 C 34 D 8. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2的 等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则该几何体 的体积是 A 433 B 12 C 33 D 36 9.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为： 不超过 50 kg 按 0.53 元 /kg 收费， 超过 50 kg 的 部分按 0.85 元 /kg 收费 .相应收费系统的流程图 如 右
5、图所示，则 处应填 .A 0.85yx .B 50 0.53 ( 50 ) 0.85yx .C 0.53yx .D 50 0.53 0.85 10.已知集合 M=1,2,3， N=1,2,3,4，定义函数 NMf : .若点 A(1,f (1)、B(2, )2(f )、 C(3, )3(f )， ABC 的外接圆圆心为 D，且 )( RDBDCDA ,则满足条件的函数 )(xf 有 学 A. 6个 B. 10 个 C. 12 个 D. 16个 第卷 （非选择题 共 100分） 二填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在题 后的横线上 ）11.已知 0,2a ，则当0
6、 (cos sin )a x x dx取最大值时， a =_. 12.已知 nx)21( 的展开式中，所有项的系数之和等于 81，那么这个展开式中 3x 的系数是 _. y 0 正视图 俯视图 侧视图 13.已 知 x、 y满足约束条件 x -2 ，则 z=(x+3)2+y2的最小值为 . x+y 15. 14.设函数 , ( 0)()( ) . ( 0)xxfx g x x 3log若 ()fx是奇函数，则 1()9g的值为 15.把 数列 2n+1(n N*)， 依次按第 1 个括号一个数 ， 第 2 个括号两个数 ， 第 3个括号三个数 ， 第 4个括号四个数 ， 第 5个括号一个数 ，
7、 循环为 (3)，(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41), (43),，则第 104个括号内各数之和为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本题满分 13分） 在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且 31cos A . （）求 ACB 2c o s2c o s 2 的值； （）若 2a ， 23c ，求 C和 ABC 的面积 . 17（本小题满分 13 分） 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到
8、老校区有两条 公路，汽车走公路堵车的概率为 14 ，不堵车的概率为 34 ；汽车走公路堵车的 概率为 p ，不堵车的概率为 1p 若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他 原因走公路，且三辆 车是否堵车相互之间没有影响 （ ）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 716 ，求走公路堵车的概率； （ ）在（ 1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数 的分布列和数学期望 A B C D 1A 1B 1C 1D E F 18（本小题满分 13 分） 如图，直四棱柱 1111 DCBAAB C D 的底面 ABCD 是菱形， 060ABC ，其侧面展 开图是边长为 8 的正方形。 E 、 F 分别是侧棱
9、 1AA 、 1CC 上的动点， 8CFAE ( )证明： EFBD ； ( )当141CCCF时，设 面 BEF 与底面 ABCD 所成角 为 (0 90)，求 cos ； ( )多面体 1BCFBAE 的体积 V 是否为常数？ 若是，求这个常数，若不是，求 V 的取值范围 19.（本小题满分 13 分） 如图，已知椭圆 2 22: 1( 1) xC y aa的上顶点为 A ，右焦点为 F ， 直线 AF 与圆:M 22 6 2 7 0 x y x y相切 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相 交 于 P 、 Q 两点，且 0,AP AQ 求证：直 线
10、 l 过定点，并求出该定点 N 的坐标 xOy AQlFP20.（本小题满分 14 分） 已知函数 xxxf ln)( ， )(2283)( 2 xxfxxxg . （）求函数 )(xgy 的单调区间； （）若函数 )(xgy 在 )(, Zme m 上有零点，求 m的最大值； （）证明 xxf 11)( 在其定义域内恒成立，并比较 )()3()2( 222 nfff 与)1(2 )1)(12( n nn（ n *N 且 2n ）的大小 . 21.本题有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14分 . 如果多做，则按所做的前两题计分 .作答时，先用
11、 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中 （ 1） （本小题满分 7 分） 选修 4 2：矩阵与变换 设 A是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍，纵坐标伸长到 3 倍的伸 缩 变换 所对应的变换矩阵 ； B 是将点 (2,0)变为点 ( 3 ,1)的旋转变换 所对应的变换矩阵 ；若ABM ； 求 矩阵 M 及 1M . （ 2） （本小题满分 7 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 已知 曲线 1C ： 1 co s (sinx y 为参数）,直线 2C ： 122 2 (112xttyt 为参数 ）， 在曲线 1C 求一点，使它到直线 2C 的距离最小，并
12、求出该点的直角坐标和最小距离 . （ 3） （本小题满分 7 分） 选修 4 5：不等式选讲 设函数 ( ) 1 2f x x x a （ ）当 5a 时，求函数 ()fx的定义域； （ ）若函数 ()fx的定义域为 R ，试求 a 的取值范围 09 年高考数学模拟试卷参考答案 一、 1. A 2. C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 9.B 10.C 二、 11. 4 12. 32 13. 162 14. 2 15. 2072 三、 16.解 （ 1） 221 c o s ( )c o s c o s 2 2 c o s 122B C B CAA = 21 c o s 2 c
13、 o s 12 A A = 49 （ 2） 1 2 2c o s , 0 sin33A A A 32, 2 , sinsin sin 2 20, 24ac a c CACc a C A C ，2 2 2 1sin sin ( ) sin ( ) sin c o s c o s sin ( )4 4 4 2 3 3A B CB A C A A A = 6232 421s in21 BacS A B C17 解：（ 1）由已知条件得 212 1 3 3 7(1 )4 4 4 1 6C p p 即 31p ，则 13p 答： p 的值为 13 （ 2）解： 可能的取值为 0， 1， 2， 3 3 3
14、 2 3( 0 ) 4 4 3 8P 7( 1) 16P 121 1 2 1 3 1 1( 2 ) 4 4 3 4 4 3 6PC 1 1 1 1( 3 ) 4 4 3 4 8P 的分布列为： 所以 E 3 7 1 1 50 1 2 38 1 6 6 4 8 6 答：数学期望为 56 18. 解：（） 连接 AC ，因为 ABCD 是菱形，所以 BDAC ， 1111 DCBAAB C D 是直四棱柱， ABCDAA 1 ， ABCDBD ， BDAA1 ， AACAA 1 ， CCAABD 11 ， CCAAEF 11 ， EFBD ( )设 OBDAC ， 以 O 为原点， AC 、 BD
15、 分别为 x 轴、 y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ， 依题意，菱形 ABCD 的边长为 2 ，棱柱侧棱长为 8 ，所以 )0 , 3 , 0( B ， )6 , 0 , 1(E 、)2 , 0 , 1(F ， 设平面 BEF 的一个法向量为 ) , , (1 zyxn ， 则06304211zyxBEnzxEFn ，解得 )3 , 4 ,32(1 n ， 底面 ABCD 的一个法向量为 )1 , 0 , 0(2 n ， 设面 BEF 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 ， 则3193313| |c o s 21 21 nn nn ( )多面体 1BCFBAE 是四棱锥 AEFCB 1
16、和三棱锥 ABCB1 的组合体，依题意，81BB ， 2AB ， 1BB 三棱锥 ABCB1 的高， BO 是四棱锥 AEFCB 1 的高， 所以 BOSBBSVA E FCABC 3131 13316是常数 19.解： （）将圆 M 的一般方程 22 6 2 7 0x y x y 化为标准方程 22( 3) ( 1) 3xy ， 圆 M 的圆心为 (3,1)M ,半径 3r . 由 (0,1)A , 2( , 0)( 1)F c c a得直线 :1xAF yc ,即 0x cy c , 由直线 AF 与圆 M 相切 ,得23 31ccc , 2c 或 2c (舍去 ). 当 2c 时 , 2
17、213ac , 故椭圆 C 的方程为 2 2: 1.3xCy 0 1 2 3 P 38 716 16 148 （） (解法一 )由 0,AP AQ知 AP AQ ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直 , 由 (0,1)A 可设直线 AP 的方程为 1y kx，直线 AQ 的方程为 1 1( 0)y x kk 将 1y kx代入椭圆 C 的方程 2 2 13x y并整理得 : 22(1 3 ) 6 0k x kx , 解得 0x 或2613kx k,因此 P 的坐标为 22266( , 1)1 3 1 3kk ,即 2226 1 3( , )1 3 1 3kk 将上式中的 k 换成 1k ,得 Q
18、22263( , )33kkkk. 直线 l 的方程为22222223 1 3633 1 3 ()66 333 1 3kkkkyxkk kkkk 化简得 直线 l 的方程为 214 12 xkky ， 因此 直线 l 过定点 1(0, )2N . (解法二 )1 若直线 l 存在斜率，则可设直线 l 的方程为： (y kx m (0,1) ,Al )1m ， 代入椭圆 C 的方程 2 2 13x y并整理得 : 2 2 2(1 3 ) 6 3 ( 1 ) 0k x m k x m , 由 l 与椭圆 C 相交于 11( , )P x kx m 、 22( , )Q x kx m 两点，则 ,1
19、2xx是上述关于 x 的方程两个不相等的实数解，从而 2 2 2 2 2( 6 ) 4 ( 1 3 ) 3 ( 1 ) 1 2 ( 3 1 ) 0m k k m k m 21 2 1 2226 3 ( 1 ),1 3 1 3m k mx x x xkk 由 0,AP AQ得 221 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0x x k x m k x m k x x k m x x m ， 222223 ( 1 ) 6( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 01 3 1 3m m kk k m mkk 整理得： 22 1 0,mm (2
20、 1)( 1) 0,mm 由 1m 知 12m . 此时 29(4 1) 0k , 因此 直线 l 过定点 1(0, )2N . 2 若直线 l 不存在斜率，则可设直线 l 的方程为： xm ( (0,1) ,Al )0m ， 将 xm 代入椭圆 C 的方程 2 2 13x y并整理得 : 22 1 3my , 当 2 3m 时 , 2 0y ,直线 l 与椭圆 C 不相交于两点，这与直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点产生矛盾 ! 当 203m时 , 直线 l 与椭圆 C 相交于 1( , )Pmy 、 2( , )Qmy 两点， 12,yy是关于 y 的方程22 1 3my 的两
21、个不相等实数解，从而 21 2 1 20 , 1 .3my y y y 但 2212 4( 1 ) ( 1 ) 03A P A Q m y y m ,这与 0AP AQ产生矛盾 ! 因此 直线 l 过定点 1(0, )2N . 注：对直线 l 不存在斜率的情形，可不做证明 . 20. 解：（）由题知： )(xg 的定义域为（ 0,+） x xxxg 4 )2)(23()(/ 函数 )(xg 的单调递增区间为 ),232,0 和)(xg 的单调递减区间为 2,32 ( ) )(xg 在 x ),32 上的最小值为 )2(g 且 )2(g = 02 14ln212ln2ln24283 2 )(xg
22、 在 x ),32 上没有零点， 要想使函数 )(xg 在 ), ne （ n Z） 上有零点，并考虑到 )(xg 在 32,0单调递增且在 2,32 单调递减，故只须 32ne 且 0)( nef 即可， 易验证 2242121 ln22183)(,01283)( eeeegeeeg0)2183(1 22 ee ， 当 n -2 且 n Z 时均有 0)( neg ，即函数 )(xg 在 )(, 1 Zneee nn 上有零点， n的最大值为 -2. ( )要证明 xxf 11)( ，即证 )0(11ln xxxx 只须证 lnx-x+1 ），在（ 00 上恒成立 . 令 h(x)=lnx-x+1(x0),由 1011)( xxxh 得 则在 x=1处有极大值（也是最大值） h(1)=0 lnx-x+1 ），在（ 00 上恒成立 . .,11)( *22 Nnnnf )()3()2( 222 nfff )11()311()211( 222 n
