1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高考理科数学 总复习质量调查 试题 （一） 数学试卷（理科） （ 1） 已知全集 ,UR 集合 22| | 4 |, | | 2 0 |A x x B x x x ，则 ()UAB 等于 A( ,2) B(0,2) C0,2) D0,2 （ 2） 复数 21ii 的共折 轭 数是 A 1i B 1i C 1i D 1i （ 3） A、 B 两名同学载 5 次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若 A、 B 两人的平均 成绩分别是 XA,XB，则下列结论正确的是 A XAXB,B 比 A 成绩稳定 C XAXB,A 比 B 成绩稳定 （ 4）圆
2、 3 cos 1 ,(3 cos 2xy 为参数）的圆心到直线 4632xtyt （ t 为参数）的距离是 A 1 B 85 C125 D 3 （ 5）若函数 ( ), ( )f x g x 的定义域和值域都是， R ，则 ( ) ( )( )f x g x x R成立的充要条件是 A 0 0 0, ( ) ( )x R f x g x B 有无穷多个 xR ，使得 ( ) ( )f x g x C , ( ) ( ) 1x R f x g x C R 中不存在 x 使得 ( ) ( )f x g x （ 6）一致 D 为 ABC 的边 BC 上的重点， ABC 所在平面内有一点 P，满足PA
3、 BP CP O ，则 |PDAD 等于 A 13 B12 C1 D 2 （ 7）为得到函数 c o s ( 2 )( )3y x x R 的图像，只需将函数， sin 2 ( )y x x R的图像 A 向左平行移动 6 个单位长度 B 向右平行移动 12 个单位长度 C 向右平行移动 512 个单位长度 D 向左平行移动 512 个单位长度 （ 8）已知函数 ()fx满足2132 ( ) ( )f x f xx，则 ()fx的最小值是 A 2 B 22 C 3 D 4 （ 9）设 O 为坐标原点， (1,1)A ，若点 B 满足22 2 2 11212x y x yxy 则 OAOB 的最
4、小值是 A 2 B 2 C3 D22 (10)已知 ()fx 是 R 上的偶函数，且当 0x 时， 12( ) 2 2xf x x ，有 a 是函数2( ) ln( 1 )g x x x 的零点，则 ( 2), ( ), (1, 5)f f a f 的大小关系是 A (1 .5 ) ( ) ( 2 )f f a f B ( 2 ) (1 .5 ) ( )f f f a C ( ) (1 .5 ) ( 2 )f a f f D (0 .5 ) ( 2 ) ( )f f f a 第 II 卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题（本大提共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案直接填在
5、题中横线处） （ 11）以双曲线 2244xy的中心为顶点，右焦点的抛物线方程是 （ 12）执行右边的程序框图，则输出的结果 S （ 13）已知一个实心铁质的集合体的正视图，侧视图和俯视图都是半径为 3 的圆，将 8 个这样的集合体溶成一个实心的球，则该球的表面积为 （ 14）如图，从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ，已知42AD ， 8AC ,圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC 已知 4 2 , 8AD AC圆 O 到 AC 的距离为 （ 15）函数 4( ) ( 1)1axf x aa 在区间 (0,1 上 是减函数，则实数 a 的取值范围是 （ 1
6、6）将 6 名学生分配到 3 个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配 1 名学生的不同分配方案共有 种（用数字做答） 三、简答题（本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17）（本小题满分 12 分） 已知 3 5 3sin c o s , ( 0 , 4 ) , sin ( ) , ( , )5 4 5 4 2a a a （ I） 求 sin 2 tan 2aa和 的值 （ II） 求 cos( 2 ) 的值 （ 18）（本小题满分 12 分） 一个口袋中装有编号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的 6 个球，从中任取 3 个，用 表示取出的
7、 3 个球中的大编号。 （ I） 用 的分布列 （ II） 求 的数学期望和方差 （ 19）（本小题满分 12 分） 如图：已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，高1 42AA P 为 1CC 的中点 （ I） 求证： 1BD AP （ II） 求二面角 1A PD B的余弦值 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2222: 1( 0 )xrC a bab 的离心率为 12 ，椭圆 C 的中心 O 关于直线2 5 0xy 的对称点落在直线 2xa 上 （ I） 求椭圆 C 的方程； （ II） 设 (4,0), ,p M N 是
8、椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，连接 PN 交椭圆C 于另一点 E ，求直线 PN 的斜率范围并证明直线 ME 与 x 轴相交顶点。 （ 21）（本小题满分 14 分） 已知函数 3 2 2 2( ) 1 , ( ) 1 4f x x a x a x g x x a x ，其中实数 0a （ I） 求函数 ()fx的单调区间； （ II） 当函数 ()y f x 与 ()y gx 的图象只有一个公共点且 ()gx 存最在小值时，记 ()gx 的最小值为 ()ha ，求 ()fa的值域 （ III） 若 ( ) ( )f x g x与 在区间 ( , 2)aa 内均为增函数，求 a 的取
9、值范围。 （ 22） （本小题满分 14 分） 若有穷数列 12, ,. (na a a n 是正整数），满足 1 2 1 1, , . ,n n na a a a a a 即1i n iaa （ i 是正整数，且 1 in ）就称该数列为“对称数列” （ I） 已知数列 nb 是项数为 7 的对称数列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成等差数列，2 5, 3 7bb试写出 nb 的每一项； （ II） 已知 nc 是项数 2 1( 1)kk的对称数列，且 1 2 1, ,.k k kc c c构成首项为 70，公差为 -4 的等差数列，数列 cn 的前 21k 项和为 21kS
10、取到最大值并求此最大值； （ III） 对于给定的正整数 1m ，试写出所有项数不超过 2m 的对称数列，使得 1，2， 22， 2m-1 称谓数列中的连续项；当 1200m ，试求其中该数列的前 2009 项的和 2009T 参考答案及评分标准 一、 选择题 （每小题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A D C D B C A 二、 填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11 2 4 5;y 12 10 13 144 14 23 15 ( ,0) (1,4; 16 540 三、 解答题（共 76 分，以下各题文累积得分，其他解法请相
11、应给分） 17 解： (I)由题意得 2 9(sin cos ) 5aa，即 91 sin2 5a， 4sin2 5a， 3 分 又 2 (0, )2a ， 2 3c o s 2 1 s in 2 5aa ， 4 分 sin 2 4tan 2 23aa cos a 6 分 （ II） ( , ) , (0 , )4 2 4 4 ， 4cos( ) ,45 于是 24s i n 2 ( ) 2 s i n ( ) c o s ( )4 4 4 2 5 又2 4 7s i n 2 ( ) c o s 2 , c o s 2 , 2 ( , ) , s i n 2 .4 2 5 2 2 5 又 8
12、分 又 2 1 c o s 2 4 2c o s , c o s25 5aaa 10 分 2 5 2 4 5 7 1 1 5c o s ( 2 ) c o s c o s 2 s in s in 2 ( )5 2 5 5 2 5 2 5a a a 12 分 18 解： (I) 最大编号 分别 为 3， 4， 5， 6。 3336 1( 3) 20CP C ， 2 分 213136 3( 4) 20CCP C 4 分 214136 63( 5 ) 20 10CCP C ， 6 分 215136 1 0 1( 6 ) 2 0 2CCP C 8 分，即分布列为 3 4 5 6 P 120 320 3
13、10 12 （ II） 的数字期望 1 3 3 1 2 13 4 5 62 0 2 0 1 0 2 4E 10 分 的方差 12 分 19 解： (I)证明：连结 1 1 1 1 1 1,A C A C A B C D A B C D是长方体， 1AA面 ABCD 又 BD 面 ABCD ， 1BD AA，又 ABCD 是正方形， 1,B D A C A C A A A BD面 1AAC ，即 BD 11面 A ACC 3 分 又 1 1 1A P A ACC面 ， 1BD AP 6 分 （ II）如图，以 D 为原点建系，由题意的 (0,0,0)D 1 ( 4 , 0 , 4 2 ) , (
14、 4 , 4 , 0 ) , ( 0 , 4 , 2 2 )A B P 6 分 于是 ( 4 , 4 , 0 ) , ( 0 , 4 . 2 2 ) ,B D P D 1 ( 4, 0, 4 2 )AD ，设 1n 面 BDP 不妨设 1 ( , ,2),n x y 由 4 4 7 0 2)4 4 2 0 2x xy y 得1 ( 2 , 2 , 2)n 8 分 设 2n 面 1ADP ， 不妨设24 8 2 0 2 2( , , 2 ) ,4 4 2 0 2xxn x yyy 由 得2 ( 2 2 , 2 , 2 )n 9 分 2 2 2 22 1 1 2 1 3 2 1 3 2 1 1 6
15、 3( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )4 2 0 4 2 0 4 1 0 4 2 8 0D 若 1n 与 2n 的夹角 ，则 12124 2 4 7c os 14| | | | 8 14nnnn 11 分 据分析二面角 1A PD B是锐角， 二面角 1A PD B的余弦值是 714 12 分 20 解： (I)由题意知 12ce a故 2ac 1 分 又 2 2 2c a b设椭圆中心 O 关于直线 2 5 0xy 的对称点为 O ， 于是 OO 方程为 1 ,2yx 2 分 由 122 5 0yxxy 得线段 OO 的中点为（ 2， -1），从而 O 的横坐标为 4 故 2 2
16、 24 , 1, 3 ,a c b 椭圆的方程为 2243xy =1 4 分 （ II）由题意知直线 PN 存在斜率，设直线 PN 的方程为 22( 4 ) 143xyy k x 代 入并整理得 2 2 2 2( 3 4 ) 3 2 6 4 1 2 0k x k x k 6 分 由 2 2 2( - 3 2 ) 4 ( 3 4 1 2 ) 0kk ，得 24 1 0k 又 0k 不合题意 110022kk 或 8 分 设点 1 1 2 2( , ), ( , )N x y E x y，则 11( , )M x y 由知 2212 3 2 6 4 1 2, 1 , 23 4 3 4kkx x x
17、 x 9 分 直线 ME 方程为 2 21221 ()yyy y x xxx 10 分 令 0y 得 2 2 12 21()y x xxx yy ，将 2211( 4 ) , ( 4 )y k x y k x 代入 整理得 1 2 1 2122 4( )8x x x xx xx ，再将 212 23234kxx k ， 212 264 1234kxx k 代入计算得 1x 直线 ME x与 轴相交于顶点（ 1， 0）， 12 分 21 解： (I) 22( ) 3 2f x x ax a 2 分 3( )( )3ax a x 若 0a ,则当 3ax 或 xa 时 ( ) 0 , 3af x
18、x a 当 时， 内是增函数，在 (- , )3aa 内是减函数 ， 4 分 若 0 , - ( ) 0 , - ( ) 033aaa x a x f x a x f x 则 或 时 ， 当 时 ， ( ) ( , ) ( - , )3af x a 在 和内是增函数，在 ( ,- )3aa 内是减函数 6 分 （ II）由题意知 3 2 2 21 1 4x a x a x x a x 得 2( 2 4) 0x x a 7 分 22 ( 4) 0x x a 恰有一根（含重根 ） 2 4 0 . - 2 2 , 0 . 2 , 0 ) ( 0 , 2 a a a a 即 又 8 分 又 22 4
19、4( ) ( ) 1 , ( ) 1 , 2 , 0 )g x a x h a aa a a 又 ()ha 的值域为 ( , 3a 和 ( ,+ )a 内是增函数， ()gx 在 2( , )a 内是增函数， 由题意的02322aaaaa 解得 23a 12 分 当 0 , ( ) ( - , ) ( - , )3aa f x a 时 在 和内是增函数， ()gx 在 2( , )a 内是增 函数 由题意得032aaaaa 解得 2a 综上知实数 a 的取值范围为 ( , 2 2 3 ) 14 分 ( ) 0( ) , - ) ( , )3fxaf x a 在 (- 和22 解（ I）设 1
20、2 3 4, , ,b b b b 公差为 d ，由 115, 2 7b d b d 得 1 3, 2bd 1分 数列 nb 为 3， 5， 7， 9， 7， 5， 3， 2 分 （ II） 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1. . . . . . 2 ( . . . )k k k k k k k k kS c c c c c c c c c c 3 分 又 1 2 1.k k kc c c = 2( 1 )7 0 ( 4 ) 2 7 22kkk k k 4 分 2221 4 1 4 4 7 0 4 ( 1 8 ) 1 2 2 6kS k k k （ III）所有可能的“对称数列”是
21、1， 2， 22 2 1 2 2.2 , 2 , 2 , .2 , 2 ,1;m m m 2 2 1 1 21 , 2 , 2 , . . . 2 , 2 , 2 , 2 , . . . 2 , 1m m m m 1 2 2 2 12 , 2 , .2 , 2 , 1 , 2 , 2 , .2m m m 1 2 2 2 2 12 , 2 , . . . 2 , 2 , 1 , 1 , 2 , 2 , . . . 2 , 2m m m m 9 分 当 2 2 1 2 2 2 0 1 020091 2 2 0 1 01 2 0 0 2 0 0 8 , 1 2 2 . . 2 2 2 . . 2 2
22、2 2 1 . .1 1 m m m m mmmmS 时 分 对于当 2 2 0 0 8 2 0 0 92 0 0 9 1 2 2 . . . 2 2 1m 2009时 S 当 2 2 1 1 220092 2 0 0 9 2 2 0 0 9 2 2 2 0 0 91 2 0 0 2 0 0 8 ,S 1 2 + 2 + . .+ 2 2 2 2 + . .+2 2 1 2 2 2 2 1 1 2m m m mm m m m m mm 时 。 。 。 分 对于当 2009m 时， 1 2 2 0 0 9 2 0 0 92009 2 2 . . . 2 2 2 ;m m m m mS 当 1 2 2 2 0 0 920091 2 0 0 2 0 0 8 2 2 . . . 2 1 2 2 . . . 2 2 1m m m mmS 时 ， 2 0 1 0 2 0 1 02 2 2 2 3 . . . . . . 1 3m m m 分 对于当 2009m 时， 1 2 2 0 0 9 2 0 0 92009 2 2 . . . 2 2 2 ;m m m m mS 当 1 2 2 0 0 8 - m200920091 2 0 0 2 0 0 8 = 2 + 2 + . .+ 2 + 1 + 1 + 2 . .+ 2 2 22 2 1 4 m m m mmm 时 ， S。 。 。 分
