1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届高考 理科 数学 调研考试 试题 数学试题 (理工类 ) （本试卷分第卷和第卷两部分共 150分考试时间 120分钟） 第 卷（选择题，共 6分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，四个选项中只有一项正确） 1.设复数 1 1zi ， 2z x i（ xR ），若 12zz 为实数，则 x等于 A. 2 B. 1 C.1 D .2 2.已知 ),0( U , 0sin| xxA , 1)1(log| 4 xxB , )( BCA UU A. 0| xx B. 1| xx C. 30| xx D. 31| xx 3.已知 a
2、、 b 是不共线的向量， AB a b， AC a b （ 、 R ），则 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是 A. =1 B. =1 C. = 1 D. =1 4.设映射 2:2f x x x 是实数集 M 到实数集 P 的映射，若对于实数 tP ， t 在 M 中不存在原象，则 t 的取值范围是 A.1,+ ) B.（ 1,+） C.（ ,1） D.（ ,1 5.“同一首歌”心连心文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有 6 个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入 3 个舞蹈节目，如果这三个舞蹈节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有（ ）种 A.
3、200 B.300 C.420 D.210 6.已知 2 是第一象限的角，且 95co ssin 44 ，那么 tan A. 22 B. 22 C. 2 D. 2 7. 双曲线 12222 byax （ a 0， b 0）中，虚轴的两个端点与一个焦点恰好构成等边三角形，若虚轴长为 2，则两条准线间的距离为 A. 334 B. 558 C. 338 D. 554 8.等差数列 na 中， nS 是其前 n项和， 1 2008a ， 2007 2005 22007 2005SS，则 2008S 的值为 A.2006 B.2007 C.2008 D.2009 9.设 、 、 为三个不同的平面， m
4、、 n 为两条不同的直线，在下列四个条件中： ，n ， nm ； m ， ， ； ， / ， /m ； n ， n ， m 。 是 m 的充分条件的有 ： A. B. C. D. 10.已知点 M（ a， b）在由不等式组 ),(200babaNyxyx点确定的平面区域内，则 所在平面区域的面积是 A 8 B 4 C 2 D 1 11.已知函数 212 xxf x e e （其中 e是自然对数的底数）的反函数为 1fx ，则有 A. )21(1f )23(1f B. )21(1f )23(1f C. )23(1f )34(1f D. )23(1f )2(1f 12 若不等式22 29 ttat
5、 t 在 2,0(t 上恒成立 ,则 a 的取值范围是 A. 1,61 B. 134,61 C. 22,61 D. 1,132 第卷（非选择题，共 90分 ） 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 13. 半径为 1的球面上有 A 、 B 、 C 三点，其中点 A 与 B 、 C 两点间的球面距离均为 2 ， B 、C 两点间的球面距离均为 3 ，则球心到平面 ABC 的距离为 _ _ . 14. 532 )2()1( xx 展开式中，所有项的系数之和为 15.OA、 OB (O 为原点 )是圆 222 yx 的两条互相垂直的半径， C 是该圆上任一点，且 OBOAO
6、C ，则 22 16 如图， B地在 A地的正东方向 4 km处， C 地在 B地的北偏东 30方向 2 km处，河流 的没岸 PQ（曲线）上任意一点到 A的距离 比到 B的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上 选一处 M建一座码头，向 B、 C两地转运 货物 .经测算，从 M到 B、 M到 C修建公 路的费用分别是 a 万元 /km、 2a万元 /km， 那么修建这两条公路的总费用最低是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 已知向量 ,2a sin x， 1,b cos x（ 0 ， 04） .函数 f x
7、a b a b ， y f x 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为 1，且过点 71,2M. （ 1）求函数 fx的表达式； （ 2）当 11x 时，求函数 fx的单调区间。 18（本小题满分 12 分） 在某社区举办的 2008 奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关 奥运知识的问题，已知甲回答这道题 对 的概率是 34 ，甲、丙两人 都回答错 的概率是 112 ，乙、丙两人 都回答对 的概率是 14 . （ 1）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率； （ 2）用 表示回答该题对的人数，求 的分布列和数学期望 E . 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥
8、 ABCDS 的底面 ABCD 是正方形，侧面 SAB 是等腰三角 形且垂直于底面， 5 SBSA ， 2AB ， E 、 F 分别是 AB 、 SD 的中点。 （ 1）求证： SBCEF 平面/ ； （ 2）求二面角 ACEF 的大小。 20（本小题满分 12分） 已知数列 na 中， 1 3a ， 2 5a ，其前 n项和 nS 满足 1212 2 3nn n nS S S n .令11nnnb aa . （）求 数列 na 的通项公式； （）若 12xfx ，求证： 12 112 6nnT b f b f b f n （ 1n ）； 21（本小题满分 12 分） 已知 : 点 A(0,1
9、), 点 R 在 y 轴 上 运 动 , 点 T 在 x 轴上 ,N 为 动 点 , 且0 , 0 ,R T R A R N R T （ 1）设动点 N的轨迹为曲线 C，求曲线 C的方程； （ 2） 如图所示： 过点 B（ -2， 0）的直线与曲线 C交于点 P、 Q， 若在曲线 C上存在点 M，使得 MPQ 是以 PQ为斜边的直角三角形，求直线 的斜率 k 的取值范围 。 22（本小题满分 12 分） 已知函数 2211 xf x x Rxx. （ 1）求函数 fx的单调区间和极值； （ 2）若 22 2 0t t te x e x e 对满足 1x 的任意实数 x恒成立，求实数 t 的取值
10、范围（这里 e是自然对数的底数） （ 3）求证：对任意正数 a、 b 、 、 ，恒有 ：2222a b a b a bff 22ab . 2009 届 调研 试题 数学一 (理科 ) 参考答案 一、选择题 : C C D B D A A C B B （ 2）由（） 11 4P A P A ， 11 3P B P B . 的可能取值为： 0 、 1、 2 、 3 . 则 1 1 5 50 4 3 8 96P P A B C ； 3 5 1 1 3 2 3 5 2 71 4 8 3 4 8 3 4 8 3 24P P A B C P A B C P A B C ； 152 32P P A B C
11、P A B C P A B C ； 33 16P P A B C . 9 分 的分布列为 0 1 2 3 P 596 724 1532 316 的数学期望 5 7 1 5 3 4 30 1 2 39 6 2 4 3 2 1 6 2 4E . 12 分 故二面角 ACEF 的大小为 25arctan 12分 解法二： 如图，以 E 为原点，建立空间直角坐标系，使 xBC/ 轴， A 、 S 分别在 y 轴、z轴上。 20解： （ 1）由题意知 11 1 2 23nn n n nS S S S n 即 11 nnna a n 2 分 1 1 2 3 2 2n n n n na a a a a a
12、a a 1 2 2 1 2 22 2 2 5 2 2 2 2 1 2 2 1 3n n n n n n 5 分 检验知 1n 、 2 时，结论也成立，故 21nna . 6 分 （ 2）由于 111112 1 2 11 1 1 1 122 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1nnnn nnn n n nb f n ,故 12 2 2 3 11 1 1 1 1 1 112 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nn nnT b f b f b f n 11 1 1 1 1 12 1 2 2 1 2 1 2 6n . 12 分 21解： （ 1）设 ( , )Nxy ，由
13、0RN RT 知： R 是 TN 的中点， 1分 则 T(-x,0),R(0, 2y ), RART =O 则（ -x,- 2y ） (1,- 2y )=03 分 点 N的轨迹曲线 C的方程 为 ： 2 4yx 5 分 （ 2）设直线 l 的方程为 2x my，代入曲线 C的方程 2 4yx 得 : 2 4 8 0,y my 此方程有两个不等实根， 221 6 3 2 0 , 2mm 即 6分 M 在曲线 C上， P、 Q是直线 l 与曲线 C的交点， 设 21 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) ,4tM t P x y Q x y则 1 2 14 , 8y y m y y
14、 ， MOQ 是以 PQ 为斜边的直角三 角形221 2 1 20 , ( ) ( ) ( ) ( ) 044ttM P M Q M P M Q x x y t y t 即8 分 4211 yx , 4222 yx ,有 0)()(161 21222221 tytytyty 由于 120, 0y t y t ， 016)(21 tt yy 01648 2 tmt 10 分 t为点 M的 纵 坐标， 关于 t 的方程 2 4 24 0t mt 有实根， 216 96 0m 2 6m， 直线 l 的斜率 1 ,0kkm 且 2 16k ， 6 06 k 或 60 6k 1 2分 22解 （ 1）
15、22222 3 2 32 1 2 1 111xxx x x x xfxx x x x fx 的增区间为 2 3 , 2 3 ， fx 减区间为 , 2 3 和 2 3, . 3 分 极大值为 2323 3f ，极小值为 2323 3f . 5 分 （ 2）原不等式可化为 22211t xe xx 由（ 1）知， 1x 时， )(xf 的最大值为 332 . 22211 xxx 的最大值为 433 ，由恒成立的意义知道 433te ，从而 433t ln 8 分 (3)设 221 01 xg x f x x x xxx 则 2 4322241 2 4 6 21111xx x x x xg x f xx x x x . 当 0x 时， 0gx ，故 gx在 0, 上是减函数， 又当、 b 、 、 是正实数时， 22222 0aba b a b 2 22a b a b . 由 gx的单调性有： 22 2 2 2 2a b a b a b a bff ， 即 222 2 2 2a b a b a b a bff . 12
