1、 09 年高考 理 科数学讲座模拟卷 第卷 （选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若集合 | 2 1 , | 1 xM y y N x y x ，则 MN（ ） . A 0| yy B. 1| yy C. 1| yy D. 0| yy 2.若 (2, 1)P 为圆 22( 1) 25xy的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为（ ） . A. 2 3 0xy B. 30xy C. 10xy D. 2 5 0xy 3在等比数列 an中， a5、 a4、 a6 成等差数列，则公比 q 等于
2、 （ ） A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D 1 或 2 4实数满足 22log 3 2 cos ,x 则 28xx 的值为（ ） . A 6 B 6 或 -6 C 10 D不确定 5.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M、 N 分别是在 AB1、 BC1 上，且 AM=BN，下列四个结论： AA1 MN； A1C1/MN； MN/平面 ABCD； MN、 AC 为异面直线，其中正确的结论为（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 若多项式 1 0 2 0 0 9 2 0 0 8 2 0 0 90 1 2 0 0 8 2 0 0 9( 1 ) (
3、 1 ) ( 1 )x x a a x a x a x ，则 2008a 的值为（ ） A. 2009 B. 2009 C. 2008 D. 2008 7在 100， 101， 102， 999 这些数中各位数字按严格递增（如“ 145”）或严格递减（如 “ 321”）顺序排列的数的个数是（ ） . A 120 B 168 C 204 D 2163 8对于使 2 2x x M 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值 1 叫做 2 2xx 的上确界，若 a， b 为正实数， 且1ab，则 122ab的上确界为（ ） . A 92 B 92 C 14 D -4 9. 如果随机变量 N( ,
4、2),且 E =3,D =4,则 P（ -1 1 )等于（ ） . A.2 (1)-1 B. (2)- (1) C. (1)- (2) D. (-2)- (-1) 10已知向量 a=(1,1), b=(1,0), c 满足 a c=0 且 |a|=|c|, bc0，若映射 f:(x,y)( x,y) =xa+yc，则在映射 f 下，向量 (cos ,sin )（其中 R）的原象的模为（ ） . A. 1 sin22 q B. 1 C. 22 D. 1 22 y x -n -n n n o 11 函数 |ln | | 1|xy e x 的图象大致是 （ ） A B C D 12.函数 )( Rx
5、xfy 满足：对一切 ;)(7)1(,0)(, 2 xfxfxfRx 1,0x当 时， ,)125(5 )250(2)( xxxxf 则 )32007(f （ ） A 3322 B 32 C 32 D 2 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题目中的横线上。） 13 设 a、 b R,n N*且 a+2i= 13-bii-+ ,则 limnnnnnab-+=_. 14 为了了解“ 预防禽流感疫苗 ” 的使用情况，某市卫生部门对本地区 9 月份至 11 月份使用 疫苗的 所有 养鸡场 进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得
6、出这三个月本地区每月 注射了 疫苗的鸡的数量 平均为 万只 15.已知正四面体 S ABC 中，点 E 为 SA 的中点，点 F 为 ABC 的中心，则异面直线 EF、 AB 所 成的角为 . 16 已知 m、 n、 s、 t 为正实数， m n 2， ms nt 9，其中 m、 n 是常数，且 s t 的最小值为 49，满足条件的点 (m， n)是椭圆 x24 y22 1 一弦的中点，则此弦所在的直线方程为 . 月份 养鸡场 （个数） 9 20 10 50 11 100 各 养鸡场 注射了 疫苗的鸡的数量 平 均 数（只） 均 鸡 （万只） 月份 9 10 1115.12O O O y y
7、y y x O x 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本题满分 12 分） 已知 xxaxxf c o ss in34c o s4 2 ，将 xf 的图象向左平移 4 ，再向上平移 2 个单位 后图象关于 12x 对称 . （ I） 求实数 a,并求出 )(xf 取得最大值时 x 的集合； （ II） 求 )(xf 的最小正周期，并求 )(xf 在 6,6 上的值域 . 18（本小题满分 12 分） 数列 na 的前项和为 nS ，若 nS 2 3 nan*（ nN）. （ I） 若数列 n
8、a +c成等比数列，求常数 c 的值； （ II） 求数列 na 的通项公式 na ； （ ） 数列 na 中是否存在三项 ,它们可以构成等差数列 ?若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在 , 请说明理由 19.（本小题满分 12 分） 甲袋中有 3 个白球和 4 个黑球，乙袋中有 5 个白球和 4 个黑球，现在从甲、乙两袋中各取出 2 个球。 （ I）求取得的 4 个球均是白球的概率； （ II）求取得白球个数 的数学期望。 20（本小题满分 12 分） 如图，在底面是菱形的四棱锥 P ABC中， ABC=600， PA=AC=a， PB=PD= a2 ,点 E在 PD上，且 PE:ED=
9、2:1. （ I） 证明 :PA平面 ABCD； （ II） 求二面角 E-AC-D的大小； （ ） 在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF/平面 AEC？ 证明你的结论 . D P B A C E 21. （本小题满分 12 分） F1、 F2 是双曲线 221xyab的左右焦点， O 为坐标原点， P 在双曲线左支上，点 M 在右准线上，且满足： 11 1, ( ) ( 0)| | | |OF OMF O P M O P O F O M 。 （ I） 求此双曲线的离心率； （ II） 若此双曲线过 N（ 2， 3 ），求双曲线方程； （ ） 若过 N（ 2， 3 ）的双曲线的虚轴端点分别
10、为 B1， B2（ B1 在 y 轴正半轴），点 A、 B 在双曲线 上，且 22B A B A ，求 11BA BB 时，直线 AB 的方程。 22 （本题满分 14 分） 已知函数 xxxf ln21)( 2 . （ I） 是方程已知 200921)( 3 xxxf 的根，是方程 xex =2009 的根，求 的值。 （ II） 求证：在区间（ 1， ）上，函数 )(xf 图象在函数 332)( xxg 图象的下方； （ ） 设函数 )()( xfxh ，求证： 2)( nxh nnxh 2)( 2009 年 4 月江西师大高考讲座模拟卷理科数学 参考 答案 一、选择题 题号 1 2 3
11、4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C A B A C B B D D D 二 填空题 13. 1； 14. 90. 15. 3 ； 16. x 2y 3 0； 三 解答题 17. 解：（ I） xxaxxf c o ss in34c o s4)( 2 平移以后得 ( ) 2 s i n 2 2 3 c o s 2g x x a x，又 )(xg 关于 12x 对称 )6()0( gg 1 3332 aaa , 2)62s in (4)( xxf ， 当且仅当 226 2 3x k x k k z ，时取最大值， 所以，取得最大值时的集合为 zkkxx 3. 6 分 （ I
12、I） )(xf 的最小正 周期为 ； 2 , 2 , 2 , 6 6 3 3 6 3 6xxx ， 11 sin ( 2 )62x ， )(xf 在 6,6 上的值域为 6， 0 . 12 分 18解： （ I） 当 时有： nS na n， 1nS 1na (n+1)， 两式相减得： 1na 2 1na na 1na na 。 分 1na （ na ）。 又 1a 1S 1a ， 1a ， 1a 分 数列 na 是首项 6，公比为 2 的等比数列从而 分 （ II） 由（ 1）知： na +3 126 n ， na n23 分 （ ） 假设数列 na 中是否存在三项 ra , sa , ta
13、 ,(rst),它们 可以构成等差数列 , ra sa ta , 只能是 ra ta sa , （ r23 ）（ t23 ）（ s23 ） 即 r2 t2 12s rt2 rs 12 ，、均为正整数， 式左边为奇数右边为偶数，不可能成立 因此数列 na 中不存在可以构成等差数列的三项 12 分 19. 解：设从甲袋中取出 i 个白球的事件为 iA ，从乙袋中取出 i 个白球的事件为 iB 其中 i 0， 1， 2，则27243)(CCCAPiii ，29245)(CCCBPiii . （ I）71)( 27232 CCAP,185)( 29252 CCBP, 所以 1 2 6518571)()
14、()(2222 BPAPBAP .6 分 （ II） 分布列是 0 1 2 3 4 P 1266 12632 12653 12630 1265 .63124126 54126303126532126321126 60 E 12 分 20.证明： （ I） 因为底面 ABCD是菱形， ABC=60， 所以 AB=AD=AC=a， 在 PAB中， 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA AB. 同理 ， PA AD， 所以 PA 平面 ABCD 3分 （ II） 解法一 :作 EG/PA交 AD于 G， 由 PA 平面 ABCD. 知 EG 平面 ABCD. 作 GH AC于 H，连结 EH
15、，则 EH AC， EHG即为二面角的平面角，设为 . .3360s in,32,31 aAGGHaAGaEG 又 PE : ED=2 : 1，所以从而 ,33tan GHEG .30 7分 解法二 :以 A为坐标原点，直线 AD、 AP分别为 y轴、 z轴，过 A点垂直平面 PAD 的直线为 x轴，建立空间直角坐标系 如图 .由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0( aaCaaBA ).31,32,0(),0,0(),0,0( aaEaPaD 所以 ).0,21,23(),31,32,0( aaACaaAE 设二面角 E-AC-D 的平面角为
16、，并设平面 EAC 的一个法向量是( , , ),n x y z 21( 0 , , ) ( , , ) 0 ,3331( , , 0 ) ( , , ) 0 ,22A E n a a x y zA C n a a x y z 得 ( 3, 3,6),n 平面 ACD 的一个法向量取 (0,0,1),m ( 3 , 3 , 6 ) (0 , 0 , 1 ) 3c o s2| | | | 3 9 3 6mnmn ， .30 7 分 （ ） 解法一 :设点 F 是棱 PC 上的点，如上述方法建立坐标系 . ).,21,23(),0,0( aaaPCaAP ).,21,23( aaaBP ,10),
17、21,2 3( 其中aaaPCPF 则 ),21,2 3(),21,2 3( aaaaaaPFBPBF ).1(),1(21),1(23( aaa 令 12B F A C A E , 得 .311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211即aaaaaaa解得 .23,21,2121 即 21 时， 13 .22B F A C A E 亦即， F 是 PC 的中点时， BF 、 AC 、 AE 共面 . 又 BF 平面 AEC，所以当 F 是棱 PC 的中点时， BF/平面 AEC12 分 解法二 :当 F 是棱 PC 的中点时， BF/平面 AEC，证明如下，
18、 (证法一 ) 取 PE 的中点 M，连结 FM，则 FM/CE. 由 ,21 EDPEEM 知 E 是 MD 的中点 . 连结 BM、 BD，设 BD AC=O，则 O 为 BD 的中点 . 所以 BM/OE. 由 、 知，平面 BFM/平面 AEC. 又 BF 平面 BFM，所以 BF/平面 AEC. (证法二 )因为 11 ()22B F B C C P A D C D D P 1 3 1 3( ) ( )2 2 2 231 .22A D CD D E A D A D A C A E A DA E A C 所以 BF 、 AC 、 AE 共面 .又 BF 平面 ABC，从而 BF/平面
19、AEC. 12 分 21解： （ I） 由 11,F O P M P F O M 知 四 边 形 为 平 行 四 边 形 又11( ) ( 0)| | | |OF OMOP O F O M ， 11,O P F O M P F O M平 分 四 边 形 为 菱 形 2211| | ( ) | | , | |O F c c a b PM c PF c 又 22 | 2| | 2 |PF caP F c a e ecPM 由 得2 2 0 2 , 1 ( ) .e e e e 解 得 舍 4 分 （ II） 222 , 2 , 3ce c a b aa 22 13xyaa 双 曲 线 方 程 可
20、设 为，其过点 (2, 3)N 22243 133 aaa 22 139xy 所 求 双 曲 线 方 程 为 7 分 （ ） 由（ 2）知 1(0,3)B 、 2 2 2( 0 , 3 )B B A B B， A 、 2B 、 221 1 2 233 ( , ) ( , ) 139y k xB y k x A x y B x x xy 共 线 , 设 AB 直 线 方 程 为 则 由 得 22(3 ) 6 1 8 0k x k x 当 23 0 3k k A B 即 时 与 双 曲 线 只 有 一 个 交 点 , 不 合 题 意。 当 3k 时，1 2 1 2226 1 8,33kx x x
21、xkk 1 2 1 2 22- 6 - 1 8( ) - 6 - 63 - 3 -ky y k x x kk 1y 222 1 2 1 2 1 2 221 8 6( 3 ) ( 3 ) 3 ( ) 9 3 9 933 ky k x k x k x x k x x k kkk 又 1 1 1( , 3)B A x y、 1 2 2( , 3)B B x y 1 1 1 2 1 2 1 23 ( ) 9 0B A B B x x y y y y 即221 8 1 89 3 9 0 533 kkk 解 得所以直线 AB 的方程为 5 3 5 3y x y x 或 12 分 22（）由已知条件代入，数
22、形结合易知 y=lnx 与 y= x2009 的交点为 A（ ， 2009 ）， y=ex 与 y= x2009 的交点为 B（，2009）；由 KAB= 1，易知 =2009 4 分 （）设 )(xF = 32 32ln21 xxx ，则 x xxxxxxxF )21)(1(21)( 22 1x ， 0)( xF )(xF 在区间（ 1， ）上是减函数 又 061)1( F 32 32ln21 xxx 0 ，即 32 32ln21 xxx ， ),1( x 在区间（ 1， ）上，函数 )(xf 图象在函数 332)( xxg 图象的下方 9 分 （）当 1n 时，左边 = 21xx ，右边 = 21xx ，不等式成立； 当 2n 时， )1()1()()( nnnnn xxxxxhxh = )1()1()1(21 221442221 nnnnnnnnnn xxCxxCxxC 由已知， 0x )()( nn xhxh 22121 nnnnn CCC 2)( nxh nnxh 2)( 14 分
