1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考理科数学模拟考试试卷 数学 (理 科 )试题 命题人：大团高级中学 （李青） 2009、 2 一填空题 （本大题满分 60 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 5分，否则一律得零分 1、 函数 )1(lo g2 3 xxy 的定义域为 . 2、若向量 , 2 , 2 , ( )a b a b a b a 满 足 ，则向量 ba与 的夹角等于 3、 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 21nnS ，则 8a . 4、方程 2 cos( ) 24x 在区间 0, 内的解集 5、 如图，程序执行后输出的结果为 _
2、 6、 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2的半圆， 则圆锥的体积是 . 7、复数 ( , )z x yi x y R 满足 1zx ， 则复数 z对应的点 ( , )zxy 的轨迹方程 8. 已知函数 ()y f x 的反函数是)1(l o g2)(1 xxf a )10( aa，且 ， 则函数 ()y f x 的图象必过定点 9、 若 函数 fx是以 5为周期的奇函数， 34f ，且 1cos 2 ， 则 (4cos2 )f = 10. 设常数 a 0， 51()ax x 的展开式中， 3x 的系数为 581 ， 则 2lim ( )nn a a a 11. 已知点 )2,0(),0,2(
3、BA ,C 是曲线 )(,s in c o s1 Ryx 上任意一点， 则 ABC 的面 积的最小值等于 _ 12、 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数。 给出下列函数： （ 1） 1 ( ) sin cosf x x x；（ 2） 2 ( ) 2 si n 2f x x；（ 3） 3( ) sinf x x ； （ 4） 4 ( ) 2 ( sin c o s )f x x x；（ 5）5 ( ) 2 c o s ( s i n c o s )2 2 2x x xfx ， 其中“互为生成”函数有 （把所有可能的函数的序号都填上） 二选择题 （本大题满分 16
4、 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、 B、 C、 D 的四个结论，其 中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13、函数 2|lo g | 1( ) 2 xf x xx 的图像为 （ ） 14、 若动直线 xa 与函数 ( ) sinf x x 和 ( ) cosg x x 的图像分别交于 MN， 两点， 则 MN 的最大值为 （ ） A 1 B 2 C 2 D 3 15、 给出下面四个命题： “直线 a、 b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线 a、 b 不相交；
5、 “直线 l 垂直于平面 内所有直线”的充要条件是： l平面 ； “直线 a b”的充分非必要条件是“ a 垂直于 b 在平面 内的射影”； “直线 平面 ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面 内 的一条直线” 其中正确命题的个数是 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 16、给出如下三个命题： 三个非零实数 a 、 b 、 c 依次成等比数列的充要条件是 acb ； 设 a 、 Rb ,且 0ab ，若 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ，则 1ab ； A B C D O1yx1 O1yx1 O1yx1 O1yx1 若 xxf 2log)( ，则 |)(|xf
6、 是偶函数 . 其中假命题的序号是 （ ） A. B . C. D. 三、解答题 (本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 17、 （本题满分 12分） 本题共有 2 个小题，第 1 小 题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分 . 如图，在四棱锥 ABCDP 中，底面为直角梯形， / , 9 0A D B C B A D ， PA 垂直于底面 ABCD ， NMBCABADPA ,22 分别为 PBPC, 的中点。 (1)求证： DMPB ； （ 2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角； 解 : 18、 （本题满分 12分） 本题共有 2 个小题，第
7、 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分 . 某 学习 小组有 6 个同学，其中 4 个同学从来没有参加过数学研究性学习 活动， 2 个同学曾经参加过数学研究性学习活动 . （ 1）现从该小组中任选 2个同学参加数学研究性学习活动， 求恰好选到 1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率； （ 2）若从该小组中任选 2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后， 该小组 没有参加过 数学研究性学习活动的同学个数 是一个随机变量， 求随机变量 的分布列及数学期望 E . 解： 19、 （本题满分 14 分） 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分 , 第
8、 3小题满分 6 分 . 已知指数函数 )(xgy 满足： g(2)=4， 定义域为 R 的函数mxg nxgxf )(2 )()(是 奇函数。 （ 1）确定 )(xgy 的解析式； （ 2）求 m， n 的值； （ 3）若对任意的 tR ，不等式 22( 2 ) ( 2 ) 0f t t f t k 恒成立，求实数 k 的取值范围。 解： 20、 （本题满分 16 分） 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 , 第 3小题满分 6 分 . 已知公差大于零的等差数列 na 的前 n 项和为 Sn，且满足： 11743 aa ， 2252 aa （ 1）求数列
9、 na 的通项公式 na ； （ 2）若数列 nb 是等差数列，且 cnSb nn ，求非零常数 c； （ 3）若 (2)中的 nb 的前 n 项和为 nT ，求证：11 )9(6432 nnnn bn bbT 解： 21、 （本题满分 20 分） 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 , 第 3小题满分 6 分 . 如图，已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的焦点和上顶点分别为 1F 、 2F 、 B ， 我们称 12FBF 为椭圆 C 的特征三角形 .如果两个椭圆的 特征三角形是相似的， 则称 这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为
10、 椭圆的相似比 . （ 1） 已知椭圆 2 21 :14xCy和 222 :116 4xyC ， 判断 2C 与 1C 是否相似， 如果相似则求出 2C 与 1C 的相似比，若不相似请说明理由； （ 2） 已知直线 :1l y x,与椭圆 1C 相似且半短轴长为 b 的椭圆 bC 的 方程 ， 在椭圆 bC 上是否存在两点 M 、 N 关于直线 l 对称， 若存在，则求出函数 f b MN 的解析式 . （ 3）根据 与椭圆 1C 相似且半短轴长为 b 的椭圆 bC 的 方程， 提出你认为有价值的 相似椭圆之间的三种性质（不需证明）； 解： 上海市九 校 2008 学年第 二 学期高三数学 （
11、理科） 参考答案 2009、 3、 4 一、 填空题： 1、 1,2 2、 4 3、 128 4、25、 64 6、 33 7、 2 21yx 8、 )02(， 9、 -4 10、 12 11、 23 12、 （ 1）（ 2）（ 5） 二、选择题： 13、 D 14、 C 15、 B 16、 C 17、（ 1）证明：因为 N 是 PB 的中点 ， ABPA ， 所以 PBAN 。 由 PA 底面 ABCD ，得 PA AD ， 又 90BAD ，即 BA AD ， AD 平面 PAB ，所以 PBAD ， PB 平面 ADMN ， DMPB 。 5 分 （ 2）连结 DN ， 因为 BP 平面
12、 ADMN ，即 BN 平面 ADMN ， 所以 BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角， 在 Rt ABD 中， 22 22B D B A A D ， 在 Rt PAB 中， 22 22P B P A A B ，故 1 22BN PB， 在 Rt BDN 中 , 21s in BDBNBD N ， 又 BDN0 ， 故 BD 与平面 ADMN 所成的角是 6 。 12 分 备注：（ 1）、（ 2）也可以用向量法： （ 1）以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz ，如图所示（图略） 由 22 BCABADPA ，得 (0,0,0)A ， 1( 0 , 0 , 2 ) , (
13、2 , 0 , 0 ) , (1 , , 1 ) , ( 0 , 2 , 0 )2P B M D 因为 3( 2 , 0 , 2 ) (1 , , 1 )2P B D M 0 ， 所以 DMPB 。 5 分 （ 2）因为 ( 2 , 0 , 2 ) ( 0 , 2 , 0 )P B A D 0 所以 PB AD ，又 DMPB ， 故 PB 平面 ADMN ，即 (2, 0, 2)PB 是平面 ADMN 的法向量。 设 BD 与平面 ADMN 所成的角为 ，又 ( 2, 2, 0)BD 。 则 | | | 4 | 1sin | c o s , |2| | | 4 4 4 4B D P BB D
14、 P B B D P B ， 又 0, 2 ，故 6 ，即 BD 与平面 ADMN 所成的角是 6 。 因此 BD 与平面 ADMN 所成的角为 6 ， 12 分 18、解：（ 1）记“恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的 A , 则其概率为 114226 8( ) .15CCPA C 4 分 答：恰好选到 1 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为 158 5 分 （ 2）随机变量 4,3,2 2426 2( 2) ;5CP C 6 分 114226 8( 3 ) ;15CCP C 8 分 2226 1( 4) ;15CP C 10 分 随机变量 的分布列为 2
15、 3 4 P 25 815 115 2 8 1 82 3 4 .5 1 5 1 5 3E 12 分 19、解： （ 1） xxgy 2)( 4分 （ 2）由（ 1）知： mnxfxx12 2)(因为 ()fx是奇函数，所以 (0)f =0，即 102 1 nmn 5 分 mxfxx12 21)(， 又由 f（ 1） = -f（ -1）知 212114 21)( mmmxf 8分 （ 3）由（ 2）知11 2 1 1() 2 2 2 2 1xxxfx ， 易知 ()fx在 ( , ) 上为减函数。 9分 又因 ()fx是奇函数，从而不等式： 22( 2 ) ( 2 ) 0f t t f t k
16、等价于 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )f t t f t k f k t ， 因 ()fx为减函数，由上式推得： 2222t t k t 10 分 即对一切 tR 有： 23 2 0t t k ， 从而判别式 14 1 2 0 .3kk 14分 20、解：（ 1） na 为等差数列， 225243 aaaa ，又 11743 aa ， 3a ， 4a 是方程 0117222 xn 的两个根 又公差 0d ， 43 aa ， 93a ， 134a 2 分 133 9211 da da 411da 34 nan 4 分 （ 2）由 (1)知， nnnnnSn 2242 )1(1 5
17、分 cn nncnSb nn 22 cb 111， cb 262， cb 3153 7 分 nb 是等差数列， 3122 bbb ， 02 2 cc 8 分 21c （ 0c 舍去） 10 分 （ 3）由 (2)得 nnnnbn 22122 11 分 44)1(2)22(3)(232 221 nnnnbT nn ， 1n 时取等号 13 分 41096491064)1(2)9( 264)9( 64 21 nnnnnnn nbn bnn， 3n 时取等号 15 分 (1)、 (2)式中等号不可能同时取到，所以11 )9(6432 nnnn bn bbT 16 分 21、 解： （ 1）椭圆 2C
18、 与 1C 相似 . 2分 因为 2C 的特征三角形是腰长为 4，底边长为 32 的等腰三角形， 而椭圆 1C 的特征三角形是腰长为 2，底边长为 3 的等腰三角形， 因此两个等腰三角形相似，且相似比为 2:1 6分 （ 2）椭圆 bC 的方程为： )0(142222 bbybx . 8分 假定存在，则设 M 、 N 所在直线为 y x t ， MN 中点为 00,xy . 则14 2222 bybxtxy 0)(485222 btxtx . 10 分 所以 5,5420210 tytxxx . 中点在直线 1yx上，所以有 35t . 12 分 222124 0 1 0 0( ) 2 0 ( 4 ) 4 2 53955 5 9bx x b . 212 4 5 0 5( ) 2 1 0 ( )5 9 3f b M N x x b b . 14 分 （ 3）椭圆 bC 的方程为： )0(142222 bbybx . 两个相似椭圆之间的性质有： 写出一个给 2分 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方； 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比 即为椭圆的相似比； 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合； 过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比 . 20分
