1、 高二数学下册期中考试 数学试卷 一、填空题（每题 4 分，共 44 分） 1、抛物线 yx 82 的准线方程是 。 2、若直线 l 经过点 )1,1(A ，且一个法向量为 )3,3(n ，则直线方程是 。 3、过点（ 0， 2）且与圆 422 yx 只有一个交点的直线方程是 。 4、若直线 054)6(:1 yxml 与直线 01)5(2:2 ymxl 垂直，则 m 。 5、圆 122 yx 上的点到直线 02543 yx 距离的最小值为 。 6、一条渐近线方程为 xy 3 ，且以 )2,0( 为一个焦点的双曲线标准方程为 。 7、 已知 P 是抛物线 xy 42 上的动点， F 是抛物线的
2、焦点，则线段 PF 的中点轨迹方程是 。 8、抛物线 xy 22 关于直线 01yx 对称的抛物线方程是 。 w w w.k s 5 u.c o m 9、椭圆 )0(12222 babyax 的两个焦点为 21,FF ，点 P 在椭圆上， 2POF 的面积为 3的正三角形，则 2b 。 10、若 双曲线 122 yx 右支上一点 ),( baA 到直线 xy 的距离为 2 ，则 ba = 。 11、关于生活中的圆锥曲线，有下面几个结论： （ 1）标准田径运动场的内道是一个椭圆； （ 2）接受卫星转播的电视信号的天线设备，其轴截面与天线设备的交线是抛物线； （ 3）大型热电厂的冷却通风塔，其轴截
3、面与通风塔的交线 是双曲线； （ 4）地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆。 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）。 二、选择题（每题 4 分，共 16 分） 12、设 1d 与 2d 都是直线 )0(0 ABCByAx 的方向向量，则下列关于 1d 与 2d 的叙述正确的是 （ ） A、 21 dd B、 1d 与 2d 同向 C 、 21/dd D、 1d 与 2d 有相同的位置向量 13、已知 ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆 13 22 yx 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 （ ） A 、 32 B 、
4、 6 C 、 34 D、 12 14 、 若 方 程 02s inc o s 22 yx 所 表 示 的 曲 线 是 双 曲 线 ， 则 圆0s in2c o s222 yxyx 的圆心在 （ ） A 、 第一或第三象限 B 、 第二或第四象限 C 、第一或第二象限 D 、第三或第四象限 15、点 )0,5(A 、 )34,1( B 到直线 l 的 距离都是 4，满足此条件的直线有 （ ） A 、 一条 B 、两条 C 、 三条 D 、 四条 三、解答题（写出必要的步骤）（第 16、 17 题每题 12 分，第 18 题题 14 分，第 19 题 16 分，第 20、 21 题每题 18 分，
5、共 90 分） 16、求过点 )4,6( P 且被圆 2022 yx 截得弦长为 26 的直线 l 的方程。 w w w.k s 5 u.c o m 17、已知直线 bxy 与双曲线 22 22 yx 相交于 A 、 B 两点，若 OBOA ， 求 b 的值。 18、某海域有 A 、 B 两个岛屿， B 岛在 A 岛正东 40 海里处。经多年观察研究发现， 某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是 A 、 B 两岛。曾有渔船在距 A 岛正西 20 海里发现过鱼群。某日，研究人员在 A 、 B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A 、 B 两岛收到鱼群反射信号的 时
6、间比为 5： 3。你能否确定鱼群此时分别与 A 、 B 两岛的距离？ 19、已知动圆过定点 (1,0)P ，且与定直线 :1lx 相切，点 C 在 l 上。 （ 1）求动圆圆心的轨迹 M 的方程； （ 2）设过点 P 且斜率为 3 的直线与曲线 M 相交于 A 、 B 两点，求线段 AB 的长； （ 3）问： ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由。 20、（ 1）直线 l 过抛物线 )0(22 ppxy 的焦点，且与抛物线相交于 ),(),( 2211 yxByxA 两点，证明： 221 pyy ； （ 2）直线 l 过抛物线 )0(22 ppxy 的焦点，且与抛物
7、线相交于 ),(),( 2211 yxByxA 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 xBC/ 轴，证明：直线 AC 经过原点。 21、已知二次曲线 kC 的方程： 22194xykk。 （ 1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件； （ 2）若双曲线 kC 与直线 1yx有公共点且实轴最长，求 双曲线方程； w w w.k s 5 u.c o m （ 3 ） m 、 n 为正整数，且 mn ，是否存在两条曲线 mC 、 nC ，其交点 P 与点12( 5 , 0) , ( 5 , 0)FF 满足 12PF PF ，若存在，求 m 、 n 的值；若不存在，说明理由。 上海市张堰中学 2008 学年
8、第二 学期 期中考试 高二 数学答 案 一、填空题 （每 小题 4 分，共 44 分） 1. 2y 2 0yx 3 2y 4 16 5 4 6 13 22 xy 7 122 xy 8 )1(2)1( 2 yx 9 32 10 21 11. （ 2）（ 3）（ 4） 二、选择题 （每小题 4 分，共 16 分） 12 _C_ 13 _C_ 14 _B_ 15 _C_ 三、解答题 16（本题 12 分） 解：设直线 l 的方程为： )6(4 xky ，即： 046 kykx -2 分 圆心到直线的距离为：1|46| 2 kkd-4 分 由题得： 2222 )52()23()1|46|( kk -6
9、 分 即： 072417 2 kk -8 分 解得： 177k 或 1k -10 分 所以直线方程为： 0110177 yx 或 02yx -12 分 17（本题 12 分） 解 : 2222 yxbxy 消元得： 022 22 bbxx 088)2(44 222 bbb 2,2 22121 bxxxx 设 ),(),( 2211 yxByxA -3 分 因为 0)(0 21212121 bxbxxxyyxxOBOA 即： 0)(2 22121 bxxbxx - 7 分 所以： 2 2 22 ( 2 ) 3 0 4 2b b b b -12 分 w w w.k s 5 u.c o m 18（本
10、题 14 分） 解：以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 设椭圆方程为： )0(12222 babyax 且 22 bac -3 分 因为焦点 A 的正西方向椭圆上的点为左顶点，所以 20ca -5 分 又 402| cAB ，则 40,20 ac ，故 320b -7 分 所以鱼群的运动轨迹方程是 112001600 22 yx -8 分 由于 A， B 两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5： 3，因此设此时距 A， B 两岛的距离分别为 kk3,5 - 10 分 由椭圆的定义可知 108040235 kkk -13 分 即鱼群分别距 A， B 两岛的距离为 50
11、海里和 30 海里。 - 14 分 19（本题 16 分） 解：（ 1）因为动圆 M 过定点 )0,1(P ，且与定直线 1: xl 相切 所以由抛物线定义知：圆心 M 的轨迹是以定点 )0,1(P 为焦点，定直线 1: xl 为准线的抛物线 所以 圆心 M 的轨迹方程为 xy 42 -4 分 （ 2）由题知，直线 AB 的方程为 )1(3 xy -6 分 所以xyxy4)1(32解得： )32,3(),3 32,31( BA -8 分 316| AB -10 分 （ 3）假设 ABC 能为正三角形，则设点 C 的坐标为 ),1( y -11 分 由题知 316| BCACAB 13 分 即：
12、 22222 )316()32(4)3 32()34( yy -14 分 由于上述方程无实数解 ，因此直线 l 上不存在这样的点 C。 -16 分 20、（本题 18 分） 解（ 1） 1 当斜率不存在时，直线 2px 。此时 ),2(),2( ppBppA ， 221 pyy -3 分 2 当斜率存在，设直线方程为： )2( pxky -4 分 pxypxky2)2(2消元得： 02 22 kppyky w w w.k s 5 u.c o m 所以 221 pyy 综上所述 221 pyy 证毕。 -8 分 （ 2） 1 当斜率不存在时，直线 2px ，此时 ),2(),2( ppBppA
13、， ),2( ppC 所以直线 AC 的斜率为 222 pp ppk AC 所以直线 AC 的方程为 xypxpy 2)2(2 直线经过原点； -12 分 2 当斜率存在，设直线方程为： )2( pxky 设 ),2( 121 ypyA， ),2( 222 ypyB),2(2ypCw w w.k s 5 u. c o m pxypxky2)2(2消元得： 02 22 kppyky 221 pyy 所以直线 AC 的斜率为1211212222yppypypyk AC 所以直线 AC 的方程： xypypyxy pyy 121112)2(2 所以直线经过原点。 综上所述，直线经过原点。 -18 分
14、 21、（本题 18 分） 解：（ 1）当且仅当 4490409kkkkk 时，方程表示椭圆； -2 分 当且仅当 940)4)(9( kkk 时，方程表示双曲线。 -4 分 （ 2）149122kykxxy 化简得： 0)3)(9()9(2)213(2 kkxkxk -6 分 60 k 或 4k 所以 96 k - 8 分 双曲线的实轴为 k92 ，当 6k 时，双曲线实轴最长为 32 w w w.k s 5 u.c o m 此时双曲线方程为 123 22 yx -10 分 （ 3）由（ 1）知 321 , CCC 是椭圆， 8765 , CCCC 是双曲线，结合图象的几何性质 任意两椭圆之
15、间无公共点，任意两双曲线之间无公共点 -12 分 设 8,7,6,5,3,2,1,|,| 2211 nmdPFdPF 由椭圆与双曲线定义及 021 PFPF 2092|9222212121ddnddmdd所以 8nm -16 分 所以这样的 nmCC, 存在，且 71nm或 62nm或 53nm-18 分 w w w.k s 5 u.c o m 上海市张堰中学 高二 年级 数学 学科 命题双向细目表 命题教师： 试卷用途 ： 期中考试 试卷分值： 150 分 期望均分： 97 分 使用时间： 2009.4 序号 考 核 内 容 知识层次 了解 理解掌握 综合 1 直线的方向向量、法向量，斜率 2 直线的方程形式 3 点到直线距离 4 直线的位置关系（垂直、平行） 5 圆方程，直线与圆的位置关系 6 点的轨迹（定义法、相关点转移） 7 椭圆、双曲线、抛物线的定义 8 求椭圆、双曲线、抛物线的方程及方程特征 9 椭圆、双曲线、抛物线的性质 10 直线与圆锥曲线的位置 关系 11 12 13 14
