1、 新课标高二数学同步测试（ 6） （期中测试题 2 1） 说明 ：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 1判断下面命题的真值“如果明天太阳从西边出来，那么我就去死” （ ） A假命题 B真命题 C不是命题 D可真可假 2若中心在原点，焦点在坐标上的椭圆短轴端点是双曲线 y2 x2=1 的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线 的离心率的乘积为 1，则该椭圆的方程为 （ ） A 22x +y2=1 B
2、22y +x2=1 C 42x +y2=1 D 42y +x2=1 3已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O ， OCOBOAxOM 3121 则 x的值为 （ ） A 61 B 31 C 21 D 0 4双曲线 x2 ay2 1 的焦点坐标是 （ ） A ( a1 , 0) , ( a1 , 0) B ( a1 , 0), ( a1 , 0) C（aa 1, 0） ,（aa 1, 0） D (aa 1, 0), (aa 1, 0) 5 设双曲线的焦点在 x 轴上 ,两条渐近线为 12yx ,则该双曲 线的离心率 e （ ） A 5 B 5 C 52 D 54 6在下列四个命题中
3、 已知 A、 B、 C、 D 是空间的任意四点，则 0 DACDBCAB 若 cba, 为空间的一组基底，则 accbba , 也构成空间的一 组基底 |)(| cbacba 对于空间的任意一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C，若 OCzOByOAxOP （其中Rzyx , ），则 P、 A、 B、 C 四点共面 其中正确的个数是 （ ） A A C D 7设 a R，则 a1 是 a1 0 时，若 ab，则 acbc 16（ 12 分） 如图，正方形 ACDE 与等腰直角 ACB 所在的平面互相垂直，且 AC=BC=2，ACB=90， F、 G 分别是线段 AE、 BC 的中点 求 AD
4、 与 GF 所成的角的大小 17（ 12 分）设椭圆方程为 422 yx =1，求点 M（ 0， 1）的直线 l 交椭圆于点 A、 B， O 为坐标 原点，点 P 满足 )(21 OBOAOP ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 . EGFABCDA B C D O S xyz18（ 12 分）如图，正四棱锥 S ABCD 的高 2SO ，底边长 2AB 求异面直线 BD 和 SC之间的距离 19（ 12 分）如图，正 方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点 （）试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F； （）当 D
5、1E平面 AB1F 时，求二面角 C1 EF A 的大小（结果用反三角函数值表示）及 BA1与面 C1EF 所成的角的大小 EAB CDA1B1C1D120（ 14 分）若 F1、 F2分别为双曲线 y2a2x2b2 1 下、上焦点， O 为坐标原点， P 在双曲线的下支上，点 M 在上准线上，且满足： 2FO MP ， 111 ()| | | |F P F OFM F P F O( 0) （ 1）求此双曲线的离心率； （ 2）若此双曲线过 N( 3， 2)，求此双曲线的方程 （ 3）若过 N( 3， 2)的双曲线的虚轴端点分别 B1， B2(B2在 x 轴正半轴上 )，点 A、 B 在双曲线
6、上，且 22B A B B ，求 11BA BB 时，直线 AB 的方程 参考答案 一、 1 A；解析：命题的条件一定为假，不可能成立；故原命题一定为假 2 A；解析：由 双曲线 y2 x2=1 的顶点坐标为 )1,0( ，可得椭圆的 b=1，在有双曲线的离心率为 2111 ，从而得到椭圆的离心率为 22 ，可得 2a ，所以选项为 A 3 A；解析：四点 M、 A、 B、 C 共面，使得 OCOBOAxOM 3121 中 13121 x ，从而可得 61x 4 C；解析 ：将双曲线方程 x2 ay2 1 化为标准方程 1122 ayx ，从而可得半焦距为a aa 111，可得答案 5 C；解
7、析：由于焦点在 x 轴上的取向的渐近线方程 xaby 为 12yx ，可得 21ab ，222 cba ，可得 ace 的值 6 B；解析：正确的为；而命题 中 cbacba |cos|)(| ，左边应为一个数乘的形式，右边则成了实数；命题成立时当且仅当 1 zyx 时成立 7 A；提示： 100111 aaaaa 或 ； 8 A；提示：举例： a=1.2， b=0.3，则 a+b=1.50 时，若 a b，则 ac bc 16解： 如图，正方 形 ACDE 与等腰直角 ACB 所在的 平面互相垂直，且 AC=BC=2， ACB=90， F、 G 分别是线段 AE、 BC 的中点 求 AD 与
8、 GF 所成的角的大小 分析提示：以 C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz A（ 0， 2， 0） B（ 2， 0， 0） D（ 0， 0， 2） G（ 1， 0， 0） F（ 0， 2， 1） (0, 2,2)AD ( 1,2,1)GF | | 2 2AD | | 6GF 2AD GF 3c o s , 6| | | |A D G FA D G F A D G F AD 与 GF 所成的角的大小为 3cos 6arc 17解： 设 P（ x， y）是所求轨迹上的任一点， 当斜率存在时，直线 l 的方程为 y=kx+1， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 4x2+y2 4=0
9、 由 得： y=kx+1 （ 4+k2） x2+2kx 3=0， x1+x2= ,422kky1+y2=248k， 由 )(21 OBOAOP 得： （ x， y） =21 （ x1+x2， y1+y2）， 即：22122144242kyyykkxxx消去 k 得： 4x2+y2 y=0 当斜率不存在时， AB 的中点为坐标原点，也适合方程 EGFABCDA B C D O S xyz所以动点 P 的轨迹方程为： 4x2+y2 y= 0 18 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 22( , ,0)A ， 22( , ,0)B ， 22( , ,0)C ， 22( , , 0)D ， (0,0,
10、2)S ( 2, 2,0)DB ， 22( , , 2)CS 令向量 ( , ,1)n x y ，且 ,n DB n CS，则 00n DBn CS ， ( , ,1) ( 2 , 2 , 0 ) 022( , ,1) ( , , 2 ) 022xyxy ， 02 2 0xyxy ， 22xy ， ( 2, 2,1)n 异面直线 BD 和 SC 之间的距离为： OC ndn22( , , 0) ( 2 , 2 ,1 )22( 2 , 2 ,1 ) 2 2 21 1 0 255( 2 ) ( 2 ) 1 19 解：（ 1）以 A 为原点，直线 AB、 AD、 AA1为 x 轴、 y 轴、 z 轴
11、建立空间直角坐标系， 不妨 设正方体的棱长为 1，且 xDF ，则 )0,1,0(),0,0,1(),000()1,0,0(1 DBAA ， )0,1,(),0,21,1()1,1,0(),1,0,1( 11 xFEDB 于是 )0,1,(),1,0,1(),1,21,1(11 xAFABED 由 AFEDABEDFABED 11111 且面 于是 00 111 AFEDABED 与 ，可解得 21x 所以当点 F 是 CD 的中点时， FABED 11 平面 （ 2）当 FABED 11 平面 时， F 是 CD 的中点， )0,1,21(F 平面 AEF 的一个法向量为 )1,0,0(m
12、而在平面 C1EF 中， )0,21,21(),1,21,0(1 EFEC所以平面 C1EF 的一个法向量为 )1,2,2( n 31,cos nm ， 31arc c o s, nm 又因为当把 m ,n 都移向这个二面角 内一点时， m 背向平面 AEF，而 n 指向平面 C1EF 故二面角 C1 EF A 的大小为 31arccos 又 )1,0,1(1 BA , nBA ,cos 1 22 , 所以 01 135, nBA BA1与平面 C1EF 所成的角的大小为 045 20解： (1) 2FO MP 1OF MP， PF1OM 为平行四边形， 又 111 ()| | | |F P
13、F OFM F P F O知 M 在 PF1O 的角平分线上， 四边形 PF1OM 为菱形，且边长为 11|PF FO c 2|PF 2a+ 1|PF 2a+c， 由第二定义 |PF2|PM| e 即 2a+cc e， 2e+1 e 且 e1 e=2 (2)由 e=2， c=2a 即 b2=3a2，双曲线方程为 y2a2x23a2 1 又 N( 3， 2)在双曲线上， 4a2 33a2 1， a2 3双曲线的方程为 y23x29 1 7 分 (3)由 22B A B B 知 AB 过点 B2，若 AB x 轴，即 AB 的方程为 x=3， 此时 AB1与 BB1不垂直；设 AB 的方程为 y=
14、k(x 3)代入 y23x29 1 得 (3k2 1)x2 18k2x+27k2 9=0 由题知 3k2 1 0 且 0 即 k2 16且 k2 13， 设 交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 1BA (x1+3， y1)， 1BB (x2+3， y2)， 11BA BB ， 11BABB 0 即 x1x2+3(x1+x2)+9+y1y2 0 此时 x1+x2 18k23k2 1， x1x2=9， y1y2 k2(x1 3) (x2 3) k2x1x2 3(x1+x2)+9= k218 54k23k2 118k23k2 1 9 3 18k23k2 1 918k23k2 1 0， 5 k2 1， k 55 AB 的方程为 y= 55 (x 3) .
