1、 高二上期末考试模拟试题十七 数 学 （测试时间： 120 分钟 满分 150 分） 一 选择题 1. 中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率 3e ，一条准线方程为 3 6 0x的双曲线方程是（ ） （ A） 22134xy （ B） 22153yx （ C） 22124xy （ D） 22142yx 2已知 (0,5)A 、 (0, 5)B ， 2PA PB a，当 4a 和 5a 时， P 的轨迹分别是（ ） （ A）双曲线和一条直线 （ B）双曲线和两条射线 （ C）双曲线的一支和一条直线 （ D）双曲线的一支和一条射线 3若方程 22121xymm表示双曲线，则 m 的取值范围是（ ）
2、（ A） 21m （ B） 2m 或 1m （ C） 2m 且 1m （ D） mR 4（ 2005 福建高考）已知 1F 、 2F 是双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的两焦点，以线段 12FF为边作正三角形 12MFF ，若边 1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） （ A） 4 2 3 （ B） 31 （ C） 312 （ D） 31 5设 P 是双曲线 19222 yax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 1,023 Fyx 、 F2分别是双曲线的左、右焦点，若 3| 1 PF ，则 | 2PF （ ） A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 6
3、与曲线 14924 22 yx 共焦点，而与曲线 16436 22 yx 共渐近线的双曲线方程为（ ） A 1916 22 xy B 1916 22 yx C 1169 22 xy D 1169 22 yx 7若椭圆 )1(122 mymx 与双曲线 )0(122 nynx 有相同的焦点 F1、 F2， P 是两曲线的一个交点，则 21PFF 的面积是（ ） A 4 B 2 C 1 D 128以坐标轴为对称轴，以 30xy为渐近线且过点 ( 3, 6) 的双曲线的准线方程是（ ） （ A） 922x （ B） 372y （ C） 22y （ D） 72x 9（湖南卷）已知双曲线22ax 22b
4、y 1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A， OAF 的面积为 22a （ O 为原点），则两条渐近线的夹 角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 10 (全国卷 II)已知双曲线 22163xy的焦点为 1F 、 2F ，点 M 在双曲线上且 1MF x 轴，则1F 到直线 2FM 的距离为 (C ) (A) 365(B) 566(C) 65(D) 5611已知双曲线 22154xy，若将该双曲线绕着它的右焦点逆时针旋转 90 后，所得双曲线的一条准线方程是（ ） （ A） 43y （ B） 43y （ C） 163y （ D） 163y 12 直线
5、 10xy 与实轴在 y 轴上的双曲线 22 ( 0)x y m m 的交点在以原点为中心、边长为 2 且各边分别平行于坐标轴的正方形的内部，则 m 的取值范围是（ ） （ A） 01m （ B） 0m （ C） 10m （ D） 1m 二 填空题 13已知 12,FF是双曲线 22116 9xy的两焦点，过点 2F 的直线交双曲线于点 ,AB，若| | 5,AB 则 11| | | |AF BF 等于 14若曲线 154 22 ayax 的焦点为定点，则焦点坐标是 15设椭圆 22162xy和双曲线 2 2 13x y的公共焦点为 12,FF P 是两曲线的一个公共点，则 12cos FPF
6、 等于 16直线 y x b与双曲线 2221xy相交于 ,AB两点，若以 AB 的直径的圆过原点，则 b 的值为 ； 三 解答题 17已知双曲线的中心在原点，焦点 1F 、 2F 在 x 轴上，离心率 35e ，且过点 47(4, )3A （ 1）求此双曲线方程 （ 2）若圆过此双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，求圆心到双曲线中心的距离 . 18已知双曲线方程为 2 2 19x y，过左焦点作倾斜角为 6 的直线交双曲线于 A、 B 两点 （ 1）求弦 AB 的长 （ 2）求左焦点 F1 到 AB 中点 M 的长。 19给定双曲线 22 12yx ，是否存在被点 (1,1)P
7、平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由。 20设双曲线 2 22:1xCya ( 0)a与直线 :1l x y相交于两个不同的点 ,AB. （ 1）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 . （ 2）设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 512PA PB ，求 a 的值 . 21 A、 B、 C 是我军三个炮兵阵地， A 在 B 的正东方向相距 6 千米， C 在 B 的北 30西方向 ,相距 4 千米 ,P 为敌炮阵地 .某时刻 ,A 发现敌炮阵地的某信号 ,由于 B、 C 比 A 距 P 更远，因此， 4 秒后， B、 C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每
8、秒 1 千米） .若从 A 炮击敌阵地 P，求炮击的方位角 . 22 (2005重庆卷 ) 已知 中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 )0,3( 。 (1) 求双曲线 C 的方程； (2) 若直线 l： 2kxy 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2 OBOA (其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。 参考答案 一、 选择题 CDADC ACCDC AC 二、 填空题 13 21 14 (0, 3) 15 13 16 2b 三、解答题 17解：（ 1） 2 2 2222 259c a be aa ， 43ab . 可设双曲线方程为 22 ( 0)9 1
9、6xy 点 47(4, )3A 在双曲线上， 16 16 7 19 9 16 因此双曲线方程是 2219 16xy. (2)显然 ,焦点与顶点是相对同一支的焦点和顶点 ,设为 (3,0)A ， (5,0)F ， 则圆心在直线 4x 上，代入双曲线方程得 2 7 169y 圆心到双曲线中心的距离为 22 7 1 61 6 1 693xy 18 解： a=3,b=1,c= 10 , ABl ： y=31(x 10 )即 x= 3 y 10 . 将其代入 x2 9y2 9=0.得 6y2+2 30 y 1=0,y1 y2= 306 , My 3012 . |AB| 212 361 ( 3 ) 2yy
10、 |F1M|= 2)1(1|kyy FM = 3012 31 = 306 . 19 解：假设存在这样的弦 AB ，设 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y ，则 1 2 1 22 , 2x x y y 由题意由 221122xyxy (1)(2)（ 1） （ 2）得 1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) ( ) ( ) ( )x x x x y y y y 1212 2AByyk xx 于是弦 AB 所在的直线方程为 1 2( 1)yx ，即 2 1 0xy ，将其代入双曲线方程，整理得 22 4 3 0.xx 1 6 4 2 3 8 0 ，说明此时直线与双曲线无公共点，矛盾
11、 故不存在这样的弦。 20解：（ I）由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组 .1,1222yxyax 有两个不同的实数解 .消去 y 并整理得 （ 1 a2） x2+2a2x 2a2=0. .120.0)1(84 .01 224 2 aaaaa a 且解得所以 双曲线的离心率 ).,2()2,26(226,120.11122的取值范围为即离心率且且eeeaaaaae（ II）设 )1,0(),(),( 12211 PyxByxA ).1,(125)1,(,125 2211 yxyxPBPA .125 21 xx 由此得 由于 x1， x2 都是方程的根，且 1 a2 0， .1317
12、,0602 8 912,.12125,1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以21 解 .以线段 AB 的中点为原点，正东方向为 x 轴的正方 向建立直角坐标系，则)32,5()0,3()0,3( CBA 依题意 4 PAPB P 在以 A、 B 为焦点的双曲线的右支上 .这里 5,3,2 2 bca .其方程为 )0(154 22 xyx 又 PPCPB 又在线段 AB 的垂直平分线上 073 yx 由方程组204507322 yxyx 解得 35 )(8yx 负值舍去 即 35,8P 由于 3APk ，可知 P在北 30东方向 . 22. 解：（）设双曲线方程
13、为 221xyab ).0,0( ba 由已知得 .1,2,2,3 2222 bbaca 得再由 故双曲线 C 的方程为 .13 22 yx （将 得代入 132 22 yxkxy .0926)31( 22 kxxk 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 22221 3 0 ,(6 2 ) 3 6 ( 1 3 ) 3 6 ( 1 ) 0 .kk k k 即 .131 22 kk 且 设 ),(),( BBAA yxByxA ，则 226 2 9, , 2 2 ,1 3 1 3A B A B A B A Bkx x x x O A O B x x y ykk 由 得而 2( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 2 ( ) 2A B A B A B A B A B A Bx x y y x x k x k x k x x k x x 222 2 29 6 2 3 7( 1 ) 2 2 .1 3 1 3 3 1kkkkk k k 于是 223 7 3 92 , 0 ,3 1 3 1kk 即 解 此 不 等 式 得.331 2 k 由、 得 .131 2k 故 k 的取值范围为 33( 1, ) ( ,1). O
