1、 Read x If x 2 then f(x)2 x 3 Else f(x)log 2x End if Print f(x) 高二数学上册 期末调研 试卷 (数学 理科 )试卷 (满分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 一、填空题 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 把答案填写在 答题卡相应位置 . 1. 三鹿婴幼儿奶粉事件发生后，质检总局紧急开展液态奶三聚氰胺 的 专项检查 . 设 蒙牛 、 伊利 、 光明三家公司生产的某批次液态奶分别是 2400 箱 、 3600 箱和 4000 箱， 现从中 共抽取 500 箱进行检验，则这三家公司生产的液态奶被 抽取的箱数
2、依次 为 . 2. 命题“ ,xR 3 2x =0”的否定是 . 3. 双曲线 2 2 103y x 的离心率是 . 4. 将容量为 100 的样本数据分为 8 个组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 15 13 12 9 则第 3 组的频率为 . 5. 在平面直角坐标系 xOy 中， “ ab0” 是“方程 221ax by的曲线为椭圆”的 条 件 (填写“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分必要”和“既不充分也不必要”之一 ) 6. 样本 a1, a2, a3, , a10 的平均数为 X ， 样本 b1, b2, b3, , b20 的平均数为 Y
3、 , 则 样本 a1， a2， a3， ， a10, b1， b2， b3， ， b20 的平均数为 (用 X ,Y 表示 ). 7. 根据如图所示的 伪代 码 表示的算法，可得 f(1)+f(4)= . 8. 从装有 5 只红球、 5 只白球的袋中任意取出 3 只球，有下 列事件： w.w.w.k.s.5.u. c.o. m “取出 2 只红球和 1只白球 ”与 “取出 1只红球和 2 只白球 ”； “取出 2 只红球和 1 只白球 ”与 “取出 3 只红球 ”； w.w.w.k.s.5.u. c.o. m “取出 3 只红球 ”与 “取出 3 只球中至少有 1 只白球 ”； “取出 3 只
4、红球 ”与 “取出 3 只白球 ”. 其中是对立事件的是 (写序号 ). x y O -2 9. 按右图所示的程序框图操作，若将输出的数按照输出 的顺序从前往后依次排列，则得到数列 na ，则数列 na 的通项公式是 . 10. 已知 k Z， AB =(k， 1)， AC =(2， 4)，若 AB 10 ， 则 ABC 是直角三角形的概率是 . w.w.w.k.s.5.u.c. o.m 11. 已知 动点 M 到 A(2， 0)的距离等于它到直线 x= 1 的距 离的 2 倍，则动点 M 的轨迹方程 是 . 12. 如图所示，水波的半径以 1m/s 的速度向外扩张， 当半径为 5m 时，这水
5、波面的圆面积的膨胀率是 m2/s. 13. 以下是关于圆锥曲线的四个命题： 设 A、 B 为两个定点， k 为非零常数，若 PA PB k，则动点 P 的轨迹是双曲线； 方程 22 5 2 0xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 22 125 9yx 与椭圆 2 2 135x y有相同的焦点； w.w.w.k.s.5.u.c. o.m 以过抛物线的焦点的一条弦 AB 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切 . 其中真命题为 (写出所以真命题的序号 ). 14. 已知函数 f(x)的定义域为 2 ， ，且 (4) ( 2) 1ff ， )()( xfxf 为 的导函数，函数 ()y
6、 f x 的图象如图所示， 则在平面直角坐标系 aOb 中，平面区域 0,0,(2 ) 1abf a b的面积是 . 4 8 A B C D y x O A B C D 二 、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. (本小题满分 14 分 ) 如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶 4m 时，水面宽 8m. (1)试建立坐标系，求抛 物线的标准方程； (2)若水面上升 1m，求水面宽度 . w.w.w.k.s.5.u. c.o. m 16. (本小题满分 14 分 ) 如图，过点 3(0
7、, )(0 2)aa的两直线与抛物线 2y ax 相切于 A、 B 两点， AD、 BC 垂直于直线 8y ，垂足分别为 D、 C，求矩形 ABCD 面积的最大值 . 17. (本小题满分 14 分 ) 已知正方形 ABCD 的边长为 2，在正方形及其内部任选一点 P（在正方形及其内部点的选取都是等可能的），作 PM AB 于 M， PN AD 于 N，矩形 PMAN 的面积为 S. (1)请建立适当的坐标系，设 ( , )Pxy ，写出 ,xy满足的条件， 并作出满足 1S 的 P 点的区域； (2)求 1S 的概率 . A B C D S M N A B C x y F1 F2 O 18.
8、 (本小题满分 16 分 ) 如图所示，多面体 ABCDS 中，四边形 ABCD 为矩形， SD AD， SD AB，且 2AB AD =2， 3SD AD ， M、 N 分别为 AB、 CD 中点 . (1)求证： SM AN； (2)求二面角 A SC D 的余弦值； 19. (本小题满分 16 分 ) (1)证明： 函数 f ( x ) = 32ln( 1)x x x 在 1, 上是单调增函数 ； (2)证明：32010 2008ln 2009 2009. w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m 20. (本小题满分 16 分 ) 如图， A 为椭圆 22 1( 0)xy abab
9、 上的一个动点， 弦 AB、 AC 分别过焦点 F1、 F2，当AC 垂直于 x 轴时， AF1=3AF2. (1) 求椭圆的离心率； (2) 设 1 1 1 2 2 2,A F F B A F F C，证明： 当 A 点在椭圆上运动时， 12是定值 . 高二 (理科 )数学参考答案及评 分标准 200901 一、 填空题 (5 分 14 70 分 ) 1. 120， 180， 200 2. 3, 2 0xx R 3. 2 4. 0.14 5. 必要不充分 6. 23XY 7. 1 8. 9. * 72 1 ( , )na n n n N 10. 37 11. 223 12 0x y x 12
10、. 10 13. 14. 4 二、解答题 15. (14 分 ) w.w.w.k.s.5.u. c.o. m (1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p . -3 分 由已知条件可知，点 B 的坐标是 (4, 4) ，代入方程， 得 24 2 ( 4)p ，即 2p . -6 分 所以，所求抛 物线标准方程是 2 4.xy -7 分 (2)若水面上升 1m，则 3y , -10 分 代入 2 4xy ，得 2 4 ( 3) 12x , 23x . -13 分 所以这时水面宽为 43m. -14 分 16 (14 分 ) w.w.w.k.s.5.u.c. o.m 设
11、切点为 00( , )xy，则 200y ax , -1 分 因为 2y ax ，所以切线方程为 0 0 02 ( )y y ax x x , 即 20 0 02 ( )y ax ax x x ，-3 分 因为切线过点 30,a ，所以 320 0 02 (0 )a ax ax x ，即 320a a ，于是 0xa .-5分 将 0xa 代入 200y ax 得 30ya . -7 分 (若设切线方程为 3y kx a ，代入抛物线方程后由 0 得到切点坐标，亦予认可 .) 所以 32 , 8AB a BC a ， -8 分 所以矩形面积为 41 6 2 (0 2 )S a a a ， -9
12、 分 A B C D S M N y x z 于是 316 8Sa . -10 分 所以当 302a 时， 0S ；当 3 22a 时， 0S ； -12 分 故当 32a 时， S 有最大值为 3122 . -14 分 17 (14 分 ) (1)以直线 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， A 为坐标原点建立直角坐标系 . -1 分 因为点 ,Px y 在正方形及其内部， 所以 S=xy (0 2 , 0 2)xy . -3 分 故满足满足 1S 的 ,Px y 点满足的条件是 0 2,0 2,1.xyxy -5 分 P 点的区域如图 . -7 分 (2) P点所在的区域面积 21 12
13、dxx 211 1 2 l n 1 2 l n 2 1 l n 4 1x ，-12 分 而正方形 ABCD 的面积为 4， 所以 1S 的概率为 ln4 14 . -14 分 18. (16 分 ) (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0, 1, 0), N(0, 0, 1), S( 3 , 0, 0), M(0, 1, 1), C(0, 0, 2)， -3 分 (0, 1, 1)AN , ( 3, 1, 1)SM ， -6 分 于是 0 ( 3 ) ( 1 ) 1 1 1 0A N S M ， 所以 SM SM. -8 分 (2)设平面 ASC 的法向量为 1 ( , , )n x
14、y z ， ( 3, 1, 0)AS ， (0, 1, 2)AC ， 则 1 30n AS x y 且 1 20n AC y z ， w.w.w.k.s.5. u.c. o.m 令 3z ，则 2 3, 6xy. 1 (2 3, 6, 3)n . -12 分 又平面 SDC 的一个法向量 2 (0, 1, 0)n . -13 分 设二面角 A SC D 的平面角为 ，则12 6 6 5 7c o s c o s , 571 5 7nn 2 5719， 所以二面角 A SC D 的余弦值为 25719. -16 分 19 (1)对于 函数 32( ) ln ( 1)f x x x x ， 322
15、 3 ( 1 )1( ) 3 2 11xxf x x x xx .-2 分 当 0,x 时， ( ) 0f x ； -4 分 当 1, 0x 时， 2 1( ) 3 2 01f x x x x . -6 分 故当 1,x 时，总有 ( ) 0f x . -7 分 所以函数 32( ) ln ( 1)f x x x x 在区间 1, 上是单调增函数 . -8 分 (2)由 (1)知， 1 (0)2009ff ， -10 分 而 (0) 0f . -11 分 3 2 31 1 1 1 2 0 0 8 2 0 1 0l n 1 l n2 0 0 9 2 0 0 9 2 0 0 92 0 0 9 2
16、0 0 9 2 0 0 9f . -14 分 于是32008 2010ln 020092009 ，即32010 2008ln 2009 2009. -16 分 20 (1)设 2|AF m ，则 1| | 3AF m . 由题设及椭圆定义得 2 2 2(3 ) (2 )32m m cm m a ，-2 分 消去 m 得 222ac ，所以离心率 22e . -4 分 (2)由 (1)知： 2 2 212b c a，所以椭圆方程可化为 2 2 222x y c. -6 分 设 00( , )Ax y ， 1 1 2 2( , ) , ( , )B x y C x y，则 2 2 20022x y
17、 c. 若 A 为 椭圆的长轴端点，则12,a c a ca c a c或12,a c a ca c a c， w.w.w.k.s.5. u.c. o.m 所以 2212 2( ) 6ac . -7 分 若 A 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由 1 1 1 2 2 2,A F F B A F F C得 001212,yy ，所以 1 2 01211()y yy . -8 分 又直线 1AF 的方程为 00xcx c yy ， -9 分 所以由 0 02 2 2,22xcx c yyx y c 得 2 2 2 2 20 0 0 0 02 ( ) 2 ( ) 0y x c y c y x c y c y . -10 分 因为 2 2 20022x y c， 所以 220 0 0 0( 3 2 ) 2 ( ) 0c x y y x c y cy ， -12 分 由韦达定理得 2001 032cyyy cx ，所以 01 032cyy cx ， -13 分 由对称性得 02 032cyy cx . -14 分 所以 001 2 0 01 2 0 03 2 3 211 6c x c xyyy y c y c y . -15 分 综上证得，当 A 点在椭圆上运动时， 12 为定值 6. -16 分
