1、西北师范大学数学与应用数学专业专业选修课程教学大纲数学分析选讲一 说明（一） 课程性质本课程为数学专业学生学完数学分析后的选修课，可在三年级或四年级开设。(二) 教学目的使学生对数学分析基本内容中的某些专题作较深入地了解。提高学生对数学分析基本理论和基本方法的理解及应用能力，也为四年级学生撰写毕业论文提供一些比较切实的选题。（三） 教学内容以一元函数为主，把数学分析中的基本理论和基本方法，以及应用这些理论和方法的典型技巧分成专题作较系统地介绍。必要时，对数学分析中的某些概念和理论作适当的引伸，或对某些现代结果作概括地介绍。（四） 教学时数学时。50（五） 教学方式本课程基本上是一个讲座。以课堂
2、讲授为主，注重培养学生对数学分析一些较简单问 题进行分析和论述的写作能力。二 本文第一讲 连续性教学要点 一致连续性及连续性的应用。教学时数 学时。8教学内容 第一节 连续性及其验证 （ 2 学时 ）第二节 一致连续的条件 （ 4 学时 ）第三节 “零点定理 ”的应用 （ 2 学时 ）考核要求 连续性验证，一致连续的充要条件， “零点定理 ”的应用。第二讲 实数基本定理教学要点 了解连续统假设问题的提出、提法及现状。对实数基本定理的意义、思想和内容有一个较完整的了解。对“区间套技术 ”、 “确界技术 ”和“覆盖技术 ” ，特 别是“区间套技术 ”的原理、实施步骤以及陈述方法作比较完整的介绍，培
3、养学生的论述表达能力。 教学时数 学时。12教学内容 第一节 连续统假设简介 （ 2 学时 ）第二节 实数基本定理 （ 2 学时 ）第三节 “区间套技术 ”应用分析 （ 4 学时 ）第四节 “确界技术 ”应用分析 （ 2 学时 ）第五节 “覆盖技术 ”应用分析 （ 2 学时 ）考核要求 “区间套技术 ”和“确界技术 ” 的简单应用。第三讲 微分中值定理教学要点 理解微分中值定理的意义，基本掌握辅助函数证题法的思路、方法和叙述格式。较系统地掌握用微分证明不等式的一般方法。教学时数 学时。8教学内容 第一节 辅助函数证题法及其在证明中值点或零点存在问题中的应用 （ 2 学时 ）第二节 利用导数证明
4、不等式 （ 4 学时 ）第三节 关于中间点的渐近性质 （ 2 学时 ）考核要求 辅助函数的构造方法，利用导数证明不等式的一般方法。第四讲 积分教学要点 使学生了解 Riemann 积分理论较完整的思想体系，即用和式极限定义积分的 极限思想、Darboux 理论以及 Newton 用原函数表达积分的思想。掌握用积分求和式极限的方法，介绍一些重要的积分不等式及其证明方法。教学时数 学时。12教学内容 第一节 Riemann 积分思想分析 （ 2 学时 ）第二节 利用积分和求数列极限 （ 2 学时 ） 第三节 可微函数积分和收敛速度的定性描述 （ 2 学时 ）第四节 面积函数 （ 2 学时 ）第五节
5、 积分不等式 （ 2 学时 ）第六节 积分中值定理中中间点的渐近性质 （ 2 学时 ）考核要求 利用积分和求数列极限，积分不等式的证明。第五讲 级数教学要点 理解函数项级数的一致收敛性，介绍逐项积分条件研究的一些现代成果。掌握幂级数求和的一些初等方法和简单技巧，了解幂级数的简单应用。教学时数 学时。8教学内容 第一节 一致收敛性 （ 2 学时 ）第二节 闭区间上逐项积分条件的讨论 （ 2 学时 ）第三节 （C-R）积分逐项积分条件的讨论 （ 2 学时 ）第四节 幂级数求和 （ 2 学时 ）考核要求 一致收敛的验证，幂级数求和。三 参考书目：1 马振民， 数学分析的方法与技巧选讲 ，兰州大学出版社， 年。19裴礼文， 数学分析中的典型问题与方法 ，高等教育出版社， 年。3
