1、 2015-2016 学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1在复平面内，复数 z 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则复数 z=（ ） A 1 i B 1+i C 2i D 1+i 2某年龄段的女生体重 y（ kg）与身高 x（ cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi，yi）（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 =0.85x 85.71，给出下列结论，则错误的是（ ） A y 与 x 具有正的线性相关关系 B若该年龄段内某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg C回
2、归直线至少经过样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， ， n）中的一个 D回归直线一定过样本点的中心点（ ， ） 3设随机变量 N（ 2， 9），若 P（ c+3） =P（ c 1），则实数 c 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 0 4定积分 dx 的值是（ ） A +ln2 B C 3+ln2 D 5下列说法正确的是（ ） A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B “ x R， x3 x2+1 0”的否定是 “ x R， x3 x2+1 0” C命题 “若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0”的逆否命题是 “若 a， b 全不为 0，则 a2+b2 0” D若命题
3、 “ p”与 “p 或 q”都是真命题，则命题 q 一定是真命题 6一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 ，则 h=（ ） A B C D 7 “x 2”是 “ln（ x 1） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8将 4 名教师（含 2 名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且 2 名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（ ） A 48 B 36 C 30 D 60 9已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 =1（ a 0， b 0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为 y= 2x，则双曲线离心率为（ ） A
4、 B C D 10设 a， b， c 是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（ ） A a2+b2+c2 ab+bc+ca B a b+ 2 C |a b|+|b c| |a c| D 11 ABC 中，若 D 是 BC 的中点，则 = （ + ）是真命题，类比该命题，将下面命题补充完整，使它也是真命题：在四面体 A BCD 中，若 G 为 BCD 的 ，则 = （+ + ），则 处应该填（ ） A中心 B重心 C 外心 D垂线 12设函数 f（ x） =x2+bln（ x+1），如果 f（ x）在定义域内既有极大值又有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， 0） （
5、0， ） C（ 0， ） D 0， 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设（ 2 x） 5 的展开式 中 x3 的系数为 A，则 A= 14如图，用 4 种不同颜色给图中的 A、 B、 C、 D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有 种（用数字作答） 15已知抛物线 C： y2=4x，直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点坐标为（ ， 1），则直线 l 的方程为 16已知函数 f（ x） =ex x2 在点（ x0， f（ x0）处的切线与直线 x+y 6=0 垂直，则切点坐标为 三、解答题（共 6
6、 小题，满分 70 分） 17已知数列 an满足 a1=1， an+1=2an+1（ n N+） （ ）计算 a2， a3； （ ）求数列 an通项公式 an 18甲、乙两同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为 ，且各次投篮的结果互不影响，甲同学决定投 4 次，乙同学决定一旦投中就停止，否则就继续投下去，但投篮总次数不超过 4 次 （ ）求甲同学至少投中 3 次的概率； （ ）求乙同学投篮次数 X 的分布列和数学期望 19某课题主题研究 “中学生数学成绩与物理成绩的关系 ”，现对高二年级 800 名学生上学期期末考试的数学和物理成绩按 “优秀 ”和 “不优秀 ”分类：数学和物理
7、成绩都优秀的有 60 人，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有 140 人，物理成绩优秀但数学成绩不优秀的有 100 人 （ ）请完成下面的 2 2 列联表，并判断能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下，认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？ （ ）若将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二 年级学生成绩中，有放回地依次随机抽取 4 名学生的成绩，记抽取的 4 名学生中数学、物理两科成绩恰有一科 “优秀 ”的人数为X，求 X 的数学期望 E（ X）， 附： K2= P（ K2 k0） 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 2 2 列联表： 数学优秀
8、 数学不优秀 总计 物理优秀 物理不优秀 总计 20如图，已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA 平面 ABCD， ABC=60，E， F 分别是 BC， PC 的中点 （ ）证明： AE 平面 PAD （ ）若 AP=AB=2，求二面角 E AF C 的余弦值 21已知函数 f（ x） =lnx+ ，其中 a 0 （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）求函数 f（ x）在区间 2， 3上的最小值 22已知点 P 是椭圆 E： +y2=1 上的任意一点， F1， F2 是它的两个焦 点， O 为坐标原点，动点 Q 满足 = + （ ）求动点 Q 的轨
9、迹方程； （ ）若已知点 A（ 0， 2），过点 A 作直线 l 与椭圆 E 相交于 B、 C 两点，求 OBC 面积的最大值 2015-2016 学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1在复平面内，复数 z 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则复数 z=（ ） A 1 i B 1+i C 2i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的几何意义先求出复数 对应的点的坐标，利用点的对称性进行求解即可 【解答】 解： = = 1 i，对应的点的坐标为（ 1， 1）， 复数 z
10、对应的点与复 数 对应的点关于实轴对称， 复数 z 对应的点的坐标为（ 1， 1）对应的复数为 z= 1+i， 故选： D 2某年龄段的女生体重 y（ kg）与身高 x（ cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi，yi）（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 =0.85x 85.71，给出下列结论，则错误的是（ ） A y 与 x 具有正的线性相关关系 B若该年龄段内某女生身高增加 1cm，则其体重约 增加 0.85kg C回归直线至少经过样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， ， n）中的一个 D回归直线一定过样本点的中心点（ ， ） 【考点】 线性
11、回归方程 【分析】 根据回归方程为 =0.85x 85.71， 0.85 0，回归直线一定过样本点的中心点（ ，），但不一定过样本数据，可知 A， B， D 均正确，可以判断 C 错误 【解答】 解：由线性回归方程 =0.85x 85.71， 0.85 0， y 与 x 具有正的线性相关关系，故 A 正确； 由线性回归方程可知该年龄段内某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg，故 B 正确； 由线性回归直线一定过样本点的中心点（ ， ），故 D 正确； 回归直线 不一定经过样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， ， n）中的点，故 C 错误， 故答案选： C 3设随机变量 N
12、（ 2， 9），若 P（ c+3） =P（ c 1），则实数 c 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 0 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 随机变量 服从正态分布 N（ 2， 9），得到曲线关于 x=1 对称，根据 P（ c+3）=P（ c 1），结合曲线的对称性得到点 c+3 与点 c 1 关于点 2 对称的，从而做出常数 c的值得到结果 【解答】 解： 随机变量 服从正态分布 N（ 2， 9）， 曲线关于 x=2 对称， P（ c+3） =P（ c 1）， c+3+c 1=4， c=1 故选： A 4定积分 dx 的值是（ ） A +ln2 B C 3+ln2
13、 D 【考点】 定积分 【分析】 求出被积函数的原函 数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案 【解答】 解： dx= = =ln2 ln1+ = 故选： A 5下列说法正确的是（ ） A一个命题的逆命题为真，则它的逆否 命题一定为真 B “ x R， x3 x2+1 0”的否定是 “ x R， x3 x2+1 0” C命题 “若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0”的逆否命题是 “若 a， b 全不为 0，则 a2+b2 0” D若命题 “ p”与 “p 或 q”都是真命题，则命题 q 一定是真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据四种命题真假关系进行判断， B根据全称
14、命题的否定是特称命题进行判断， C根据逆否命题的定义进行判断， D根据复合命题真假关系进行判断 【解答】 解： A 逆命题和否命题互为逆否命题，逆否命题的真假性相同，则 一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，但逆否命题不一定为真，故 A 错误 B “ x R， x3 x2+1 0”的否定是 “ x R， x3 x2+1 0”，故 B 错误， C命题 “若 a2+b2=0，则 a， b 全为 0”的逆否命题是 “若 a， b 不全为 0，则 a2+b2 0”，故 C错误， D若 p 为真命题，则 p 是假命题，若 p 或 q 为真命题，则 q 一定是真命题，故 D 正确 故选： D 6一个
15、几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 ，则 h=（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高 h即可 【解答】 解：三视图复原的几何体是底面为边长 5， 6 的矩形，一条侧棱垂直底面高为 h， 所以四棱锥的体积为： ，所以 h= 故选 B 7 “x 2”是 “ln（ x 1） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可 【解答】 解：由 ln（ x 1）
16、 0，得： 0 x 1 1，解得： 1 x 2， 故 x 2 是 1 x 2 的必要不充分条件， 故选： B 8将 4 名教 师（含 2 名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且 2 名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（ ） A 48 B 36 C 30 D 60 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 首先分析题目 4 个老师分到 3 个学校，每个学校至少分到一人，求 2 名女教师不能分配到同一个学校的种数，考虑到应用反面的思想求解，先求出 2 名女教师在一个学校的种数，然后用总的种数减去 2 名女教师在一个学校的种数，即可得到答案 【解答】 解：考虑用间接法，
17、因为 2 名女教师分配到同一个学校有 3 2=6 种排法； 将四名老师分配 到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有 C42A33=36 种排法； 故 2 名女教师不能分配到同一个学校有 36 6=30 种排法； 故选： C 9已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 =1（ a 0， b 0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为 y= 2x，则双曲线离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出抛物线的准线方程，利用准线和双曲线左顶点的关系求出 a，结合双曲线的渐近线求出， b， c 即可求双曲线的离心率 【解答】 解：抛物线的准线方程为 x= 2， 抛物线 y
18、2=8x 的准线过双曲线 =1（ a 0， b 0）的左顶点（ a， 0）， a= 2，则 a=2， 双曲线的两条渐近线方程为 y= 2x= x= x， =2，则 b=4， 则 c= = =2 ， 则双曲线的离心率 e= = ， 故选： D 10设 a， b， c 是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（ ） A a2+b2+c2 ab+bc+ca B a b+ 2 C |a b|+|b c| |a c| D 【考点】 基本不等式；不等式的基本性质 【分析】 A a， b， c 是互不相等的正数，可得（ a b） 2+（ b c） 2+（ a c） 2 0，展开化简即可判断出结论； B a
19、b 时，（ a b） + = 2，即可判断出正误； C由绝对值的不等式的性质即可判断出结论； D平方作差 =2 2 0，即可判断出结论 【解答】 解： A a， b， c 是互不相等的正数， （ a b） 2+（ b c） 2+（ a c） 2 0，展开化为 a2+b2+c2 ab+bc+ca，因此恒成立； B a b 时，（ a b） + = 2，因此不恒成立； C由绝对值的不等式的性质可 得： |a b|+|b c| |a b+b c|=|a c|，因此恒成立； D =2 2 0， + + ，因此 ，因此恒成立 综上可得：只有 B 不恒成立 故选： B 11 ABC 中，若 D 是 BC
20、的中点，则 = （ + ）是真命题，类比该命题，将下面命题补充完整，使它也是真命题：在四面体 A BCD 中，若 G 为 BCD 的 ，则 = （+ + ），则 处应该填（ ） A中心 B重心 C外心 D垂线 【考点】 三角形五心；向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 在 ABC 中， D 为 BC 的中点，则有 = （ + ），平面可类比到空间就是 “ABC”类比 “四面体 A BCD”， “中点 ”类比 “重心 ”得结论 【解答】 解：由 “ ABC”类比 “四面体 A BCD”， “中点 ”类比 “重心 ”，有： 在四面体 A BCD 中，若 G 为 BCD 的重心，则 = （ + +
21、 ） 事实上，如图： 若 G 为 BCD 的重心，连接 BG 并延长交 CD 于 E， 连接 AE，则 = = 故选： B 12设函数 f（ x） =x2+bln（ x+1），如果 f（ x）在定义域内既有极大值又有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， 0） （ 0， ） C（ 0， ） D 0， 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 由于函数 f（ x）在定义域内既有极大值又有极小值 f（ x） = =0 在（1， +）有两个不等实根 g（ x） =2x2+2x+b=0 在（ 1， +）有两个不等实根 0 且 g（ 1） 0，解出即可 【解答】 解： 函数 f（
22、 x）在定义域内既有极大值又有极小值， f（ x） = =0 在 （ 1， +）有两个不等实根， 即 2x2+2x+b=0 在（ 1， +）有两个不等实根， 设 g（ x） =2x2+2x+b， 则 =4 8b 0 且 g（ 1） 0， 0 b 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设（ 2 x） 5 的展开式中 x3 的系数为 A，则 A= 40 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案 【解答】 解：设（ 2 x） 5 的展开式的通项公式为 Tr+1，则 Tr+1= 25 r（ 1） rxr， 令 r=3，
23、则 A=（ 1） 325 3 = 40 故答案为： 40 14如图，用 4 种不同颜色给图中的 A、 B、 C、 D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有 84 种（用数字作答） 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 本题是一个分类问题， B， C 同色，有 4 种选择， A 有 3 种选择， D 有 3 种选择，当 B， C 不同色时， A 有 4 种选择， B 有 3 种选择， C 有 2 种选择， D 有 2 种选择，根据分类计数原理得到结果 【解答】 解：分类讨论： B， C 同色，有 4 种选择， A 有 3 种选择， D 有
24、3 种选择，共有 4 3 3=36 种不同的涂色方案； B， C 不同色，共有 4 3 2 2=48 种不同的涂色方案； 共有 36+48=84 种不同的涂色方案 故答案为： 84 15已知抛物线 C： y2=4x，直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点坐标为（ ， 1），则直线 l 的方程为 y= 2x 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设出 A， B 的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求得直线 l 的斜率利用点斜式方程即可得到结论 【解答】 解解：设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， A， B 在抛物线， y12=4x1， y2
25、2=4x2， 两式作差可得： y12 y22=4（ x1 x2）， 即 4（ x1 x2） =（ y1 y2）（ y1+y2）， 即 AB 的斜率 k= = ， 线段 AB 的中点为（ ， 1）， = 1， 则 y1+y2= 2， k= = = = 2 即直线 l 的斜率为 2 则对应的方程为 y+1= 2（ x ） ， 即 y= 2x， 故答案为： y= 2x 16已知函数 f（ x） =ex x2 在点（ x0， f（ x0）处的切线与直线 x+y 6=0 垂直，则切点坐标为 （ 0， 1） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的
26、条件：斜率之积为 1，可得e x0=1，设 g（ x） =ex x 1，求得导数和单调区间，和最值，即可得到切点坐标 【解答】 解： f（ x） =ex x2 的导数为 f（ x） =ex x， 可得在点（ x0， f（ x0）处的切线斜率为 k=e x0， 由切线与直线 x+y 6=0 垂直，可得 e x0=1， 设 g（ x） =ex x 1，导数为 g（ x） =ex 1， 当 x 0 时， g（ x） 0， g（ x）递增； 当 x 0 时， g（ x） 0， g（ x）递减 则 g（ x）在 x=0 处取得极小值，且为最小值 0 即有 e x0=1 的解为 x0=0， f（ x0） =e0 0=1 则切点坐标为（ 0， 1） 故答案为：（ 0， 1） 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知数列 an满足 a1=1， an+1=2an+1（ n N+）
