考虑附加质量的旋转柔性梁的随机动力学分析.DOC

1、收稿日期：2014-07-03；修订日期：基金项目：国家自然科学基金项目（51375401） ；中央高校基本科研业务费专项基金项目（2452015058）考虑附加质量的旋转柔性梁的随机动力学分析靳红玲 1,2，陈建军 2，郭康权 1(1. 西北农林科技大学机电工程学院，陕西 杨凌 712100；2. 西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，陕西 西安 710071)摘要：研究了带有附加质量的旋转柔性梁系统在参数具有随机性时的动力响应问题。基于假设模态法和Lagrange 方程建立了带有附加质量的柔性悬臂梁系统的一次近似耦合随机动力学方程，利用混沌多项式结合高效回归法将其转化为完全隐式

2、纯微分方程，求解方程得到柔性悬臂梁变形响应的数字特征。最后，通过数值仿真对物理参数和几何参数具有随机性的系统进行动力特性研究。仿真结果表明：利用随机参数的动力学模型能客观地反映出系统的动力学行为；部分随机参数的分散性对柔性体动力响应的影响不可忽视。关键词：柔性悬臂梁；随机参数；混沌多项式；动力响应；附加质量中图分类号：O326 文献识别码：A引言随着航天器、机器人、机械系统等向高速化、轻质化、大型化和高精度方向发展，许多学者对进行大范围运动柔性悬臂梁的动力学问题进行了深入研究 1-4。文献5考虑刚体作大范围平面运动时柔性梁的横向弯曲引起的纵向缩短，运用 Lagrange 方程推导出系统的刚柔耦

3、合动力学方程，建立了较零次近似模型更精确的一次近似模型。文献6通过全物理仿真实验验证了动力刚化现象的存在以及一次近似耦合模型的合理性和正确性。在传统的柔体动力学研究中，通常认为研究对象的所有物理参数和几何参数均是确定的或可精确测量的。事实上，由于多种随机因素的存在，使得基于确定性参数的动力学建模和分析结果无法反映出随机因素对系统动力特性的影响。因此，研究随机参数柔体动力学问题将具有重要的理论意义和现实的工程背景。目前，关于含有不确定性参数的柔性悬臂梁系统，尤其对末端附有集中质量的柔性悬臂梁系统的研究鲜有报道。文献7利用蒙特卡洛模拟法(Monte Carlo Simulation, MCS)，对

4、计及参数不确定性的柔性空间梁的动力学建模问题进行了研究，但该法需要样本量大，计算效率较低。文献8采用摄动法分析不确定的多体系统，该方法仅适合于小参数的情况。混沌多项式(polynomial chaos，PC) 是一种非常严密的不确定分析方法，具有很强的数学基础，该方法采用正交多项式对不确定变量进行展开，通过正交多项式的特性，将随机变量的随机特性转移到多项式系数上。近年来，PC方法逐渐在复杂问题分析中取得了广泛的应用 9-11，该方法与 MCS 相比，在保证计算精度的前提下，可以显著减少模拟次数，提高计算效率。在 PC 的应用过程中，首要的工作是如何选取配点以求解混沌多项式展开式中的待定系数。现

5、在常用的配点法是 Isukapalli 提出的高效回归法(Regression Method with Improved Sampling, RIS)12，RIS 建议配点数目取为待定系数的 2 倍以获得比其它配点法更为稳健和准确的解。本文在文献13建立的考虑附加质量的柔性悬臂梁系统的一次近似刚柔耦合模型的基础上，利用高效回归法作为混沌多项式的配点求解展开式的待定系数，在系统大范围运动已知的条件下，对参数具有随机性的、考虑附加质量的柔性悬臂梁系统的动力特性进行了研究，重点通过仿真计算揭示系统参数的随机性及其分散性对动力特性的影响。1 一次近似耦合动力学模型文献13采用假设模态法和第二类 Lag

6、range方程建立了带有附加质量的柔性悬臂梁的一次近似刚柔耦合动力学方程 12132331300SSSSSMGAABB* ME2130SSQKRGEFORMAT (1)本文在文献13给出的一次近似刚柔耦合动力学方程的基础上，建立了大范围运动规律为已知的系统动力学方程 2 233S SM00GAABB* MER2132SSKQGEFORMAT (2)与式* MERGEFORMAT (1)相比，式* MERGEFORMAT (2)中增加了变量 ， 和23SK，其均为角加速度 的函数，表达式分别为2SQ* MERGEFOR3=()MxyKMAT (3)* MERGEFOR2STTxyxyMAT (4

7、)* MERGE2=()()MTyQKFORMAT (5)除 ， 和 外，其余各参数的具体含义详23SK2S见文献13。为后续表述方便，式* MERGEFORMAT (2)可表示为* qGKQMERGEFORMAT (6)由文献13可知，公式(6) 中各变量均是系统几何参数和物理参数的函数，,MGKQ若假设系统中的几何参数和物理参数构成了变量矢量，并用 表示，其中 表示系1(,)nx n统中参数的个数，则式(6)可表示为* MERG()(xqqQEFORMAT (7)式中 分别为广义质量()GKx ，阵，广义陀螺阵，广义刚度阵和广义力阵。2 随机动力学模型2.1 混沌多项式混沌多项式的基本思想

8、是用含独立随机变量的正交混沌多项式之和近似表示随机过程。考虑一个随机过程 ，其中 为随机事件，为了()Y进行数值计算，取有限项来近似表示输出响应量。精度达到 阶的 PC 可简化表示为：p* MERGEFORM10NkYyHAT (8)式中， 是服从标准正态分布的随1(,)n机变量矢量， 为随机变量个数；是 Hermite 多项式；01(),(N 是混沌多项式展开式的待定系1=,y数矢量，待定系数个数 的表达式为* MERGEFORMA()npNT (9)研究显示 12，混沌多项式展开的阶数越高，作为替代模型的 PC 将越接近原模型，但求解系数所需的方程个数也将随之快速增加，计算成本显著增加。通

9、常情况下，取 2 阶的 PC 即可获得对 较理想的近似，只有当 2 阶的 PC 不能满Y足精度要求时才考虑更高阶的混沌多项式展开。2.2 随机参数动力响应分析在确定性柔性悬臂梁问题中，系统中变量矢量 是已知确定量，微分方程* 1(,)nxMERGEFORMAT (7)为常系数微分方程组。而在不确定性问题中，假设系统中的所有几何参数和物理参数均为随机变量，则变量矢量变为随机变量矢量，用1(,)nx表示，其中每一变量均服从均值和均方差分别为 、j, jx的正态分布。对于非正态变量，则可利用Isukapalli12给出的一些常用随机变量转换成正态分布的关系式将其当量正态化。如此方程式* MERGEF

10、ORMAT (6)成为完全隐式的随机微分方程组，其等价的一阶微分方程组可表示为* ME()(,)(,)(,)tttquMxGKxQRGEFORMAT (10)式中 分别为随机广义 ，质量阵，随机广义陀螺阵，随机广义刚度阵和随机广义力阵。按照* MERGEFORMAT (8) 式分别对输入随机变量 和输出随机变量 、 进行混沌多jxiqiu项式展开，则有* 10()(),1,)NkjjjjHn MERGEFORMAT (11)* MERGEFO10(),1,)kiiqisRMAT (12)* MERGEFO10(),)NkiiuHiRMAT (13)式中 是随机解的维数。s将式* MERGEFO

11、RMAT (11)* MERGEFORMAT (13)代入方程* MERGEFORMAT (10)中，则有111000()(,)(,)kiiNNNj j ji i ijquuHttqHMGKQ* MERGEFOR(1,1)isk MAT (14)由于 已知，式* MERGEFORMAT (14)中， ， ， 为确定性矩阵。()H()G()K()H 利用 Galerkin 法对式* MERGEFORMAT (14)映射得否是否是令 1,ij求解对应于 的jjY结束j:=j+1输入 ,2jN求解待定系数 ityi=k ?求解 和()iqt2()iti:=i+1开始 j=2N ?图 1 柔性梁动力响

12、应的求解流程图Fig. 1 Flowchart of solving the dynamic response of flexible beam图 2 考虑附加质量的柔性悬臂梁系统Fig.2 Flexible beam with tip mass1100(),(,),NNjkjki iqHtqHMG* MER,jkkijtKQGEFORMAT (15)式中， 为待求的系数，jiq(1,)sjn和 分别为对应于 的一阶和二阶导数。jijiq采用 2 倍待定系数个数的 RIS 所确定的配点 代入式* 1(,),2njjj N MERGEFORMAT (15)中，得到一组对应于不同时刻的以待定系数

13、为未知数的完全隐式纯微t jiq分方程组，利用可变秩法进行数值解算得到 时t刻 个变形响应的仿真结果 ，最后，通过线2NjY性回归法即可得到 时刻的待定系数 。tty在得到混沌多项式系数 之后，根据tHermite 多项式的正交性，随机变量响应 的均q值可通过下式求得 9 * MERGEFORMAT (0()tqy 16) * ME1222)(),NkkttEHqyRGEFORMAT (17)由式* MERGEFORMAT (16)可以看出，响应函数 的均值为其多项式混沌展开式的 0 阶项。归纳以上求解过程，给出求解随机参数空间柔性梁动力响应的流程如图 1，其中 k 为时间节点总数。3 动力学

14、仿真对于带有附加质量的柔性悬臂梁结构进行研究，如图 2 所示 14，取中心刚体半径 ，梁0Ar长 。梁的横截面宽度 、高度 、体积密8mLyz度 、弹性模量 和附加质量 均为服从正态分Em布的随机变量，它们的均值分别为， ，23.610my32.01mz，37kg/， 。.895NE.85kg柔性悬臂梁由静止开始作大范围旋转运动，角速度规律为 02sin()rad/s,0rad/,tttTT为达到恒定转速之前的加速时间，取 ，15s为 时的恒定转速，分别取 、0t02rad/和 。4r/s01r/s文中分别采用循环 42 次的二阶 PC(简写为PC-2nd)和循环 112 次的三阶 PC(简写

15、为 PC-3rd)求解该柔性悬臂梁末端的变形响应。图 3 给出了角速度 ，所有变异系数 时，04rad/s=0.5al通过 Matlab 编程分别模拟 42 次 PC-2nd 和 112 次PC-3rd 与模拟 次的 MCS 获得梁端变形位移响51应的均值和标准差随时间变化的时程曲线。图 4给出了 ，变异系数分别为 和04rad/s0.5al时 PC-3rd 获得梁端变形位移响应的均值=.al和标准差随时间变化的时程曲线。图 5 给出了，角速度分别为 、=0.5al02rad/s和 时 PC-3rd 获得梁端变4rd/s01ra/s形位移响应的均值和标准差随时间变化的时程曲线。图 6 给出了

16、，角速度分别为=.5al、 和 时 PC-3rd02ra/s04rd/s01rad/s获得梁端变形速度响应的均值和标准差随时间变化的时程曲线。图 7(a)给出了 时，变/异系数 分别为 0.05 时梁端变,alyzEm形位移响应标准差的时程曲线，其中图 7(b)为图7(a)在 附近位移响应的局部放大图。同时，14ts表 1 给出了前 20 内，不同随机参数组合和不同角速度 时的随机模型梁端变形位移响应的绝对0值的最大值。由图 3-7 和表 1 可见：(1) 角速度和变异系数 相同的前提下，本文 PC-2nd0al和 PC-3rd 与 MCS 得到位移响应的均值和标准差高度一致，说明本文方法的正

17、确性和有效性；(2)角速度 相同的前提下，变异系数 越大，响0al应的标准差越大，但响应的均值基本不变；(3)变异系数 相同的前提下，角速度 越大，柔性al0悬臂梁的变形位移响应的均值的绝对值越大，位移响应的标准差也越大；(4)变异系数 相同的al前提下，角速度 越大，柔性悬臂梁的变形速度0响应的均值的绝对值越大，速度响应的标准差也越大；(5)几何参数 的分散性对柔性梁变形位移响y应的分散性影响较大，而体积密度 和附加质量的分散性对变形位移响应的分散性影响很小，m可以忽略不计。表1 不同随机变量对柔性梁位移响应数字特征的影响Table 1 Different random variable i

18、mpact on numerical characteristics of flexible beam计算模型 max max, 02rad/s=0.5l(PC-3rd) 0.3428 0.0095, 4l(MCS) 0.6726 0.0332, 0ra/s.l(PC -2nd) 0.6878 0.0330, d=05l(PC-3rd) 0.6872 0.0315, 04ra/s.1l(PC -3rd) 0.6822 0.0536, 1l(PC-3rd) 1.7096 0.15864 结论本文对大范围运动规律为已知和参数具有随机性时的考虑附加质量的柔性悬臂梁系统的动力学问题进行了分析研究，获得

19、了较好的效果，并得到以下结论：(1)混沌多项式可以应用于含有多个随机参数的带有附加质量的柔性悬臂梁系统动力响应分析，与 MCS 相比，在随机参数比较多时0 5 10 15 20-0.4-0.200.20.40.60.8值值 / s 值值/ m0 5 10 15 2000.050.10.15值值 / s 值值值 / mPC-3rd (w0=2)PC-3rd (w0=4)PC-3rd (w0=10)PC-3rd (w0=2)PC-3rd (w0=4)PC-3rd (w0=10)(a)0 5 10 15 20-0.4-0.200.20.40.60.8值值 / s 值 / m0 5 10 15 200

20、0.050.10.15值值 / s 值值/ mPC-3rd (w0=2)PC-3rd (w0=4)PC-3rd (w0=10)PC-3rd (w0=2)410)(b) 图 6 不同 下梁末端的速度响应0( )=.alFig.6 Tip velocity response of flexible beam with different ( )05l0 5 10 15 20-0.8-0.20.4值值 / s 值值/ m0 5 10 15 20-0.0100.010.020.030.040.050.060.07值值 / s 值值值 / mPC-3nd (all=0.05)PC-3rd (all=0.

21、1)PC-3nd (all=0.05)PC-3rd (all=0.1)(a) 0 5 10 15 20-0.8-0.20.4值值 / s 值 / m0 5 10 15 20-0.0100.010.020.030.040.050.060.07值值 / s 值 / mPC-3nd (all=0.05)PC-3rd (all=0.1)PC-3nd (all=0.05)PC-3rd (all=0.1)(b) 图 4 不同变异系数下梁末端的位移响应( )04rad/Fig.4 Tip displacement response of flexible beam with different coeffi

22、cient of variation ( )04rad/s0 5 10 15 20-1.5-1-0.50值值 / s 值值/ m0 5 10 15 2000.050.10.15值值 / s 值值值 / mPC-3rd (w0=2)PC-3rd (w0=4)PC-3rd (w0=10)PC-3rd (w0=2)PC-3rd (w0=4)PC-3rd (w0=10)(a)0 5 10 15 20-1.5-1-0.50/ s / 0 5 10 15 2000.050.10.15值值 / s 值值值 / PC-3rd (w0=2)PC-3rd (w0=4)PC-3rd (w0=10)P-3rd ( 0

23、=2)P-3rd (0=4)P-3rd (0=10)(b) 图 5 不同 下梁末端的位移响应0( )=.alFig.5 Tip displacement response of flexible beam with different ( )05l0 5 10 15 20-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4值值 / s 值值/ m0 5 10 15 20-0.0100.010.020.030.040.05值值 / s值值值 / mMCS (105 runs)PC-2nd (42 runs)PC-3rd (112 runs)MCS (105 runs)PC-2nd (42 runs)P

24、C-3rd (112 runs)(a)0 5 10 15 20-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4值值 / s 值 / m0 5 10 15 20-0.0100.010.020.030.040.05值值 / s值 / mMCS (105 runs)P-2nd (42 runs)-3r (11 r )MCS (105 runs)P-2nd (42 runs)-3r (11 r s)(b) 图 3 梁末端的位移响应( ， )04rad/al.Fig.3 Tip displacement response of flexible beam( , )sl050 5 10 15 2000.02

25、0.040.060.080.10.120.140.16值值 / s值值值 / mPC-3rd (all=0.05)PC-3rd (y=0.05)PC-3rd (z=0.05)PC-3rd (=0.05)PC-3rd (E=0.05)PC-3rd (m=0.05)(a) 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.500.010.020.030.04值值 / s值值值 / mPC-3rd (all=0.05)PC-3rd (y=0.05)PC-3rd (z=0.05)PC-3rd (=0.05)PC-3rd (E=0.05)PC-3rd (m=0.05)(b)图 7 不同随机参数

26、时位移响应的标准差( )0=rad/sFig.7 Tip standard deviation of displacement with different probabilistic parameters ( )0=1rad/s只需要很少次数的分析即可获得系统变形响应的主要数字特征，计算效率明显提高；(2)在相同角速度 前提下，不同的变异系数 仅对位移响0al应的标准差有影响；在相同变异系数 的前提下，l不同的角速度 则对位移响应和速度响应的均值0和标准差均有影响；(3)各参数的随机性对末端具有附加质量的柔性悬臂梁系统的动力响应的影响不可忽略，故欲增强系统动力响应的平稳性，应首先降低对系统动

27、力响应影响较大参数的分散性；(4)通过 MCS 的验证表明，在考虑参数随机性时，文中建立的带有附加质量的柔性悬臂梁系统模型是合理的，且该模型能客观反映出实际工程中刚柔耦合体的动力学行为。参考文献1 Schiehlen W. Research trends in multibody system dynamics J. Multibody System Dynamics, 2007, 18(1): 3-13.2 刘锦阳, 崔麟. 热载荷作用下大变形柔性梁刚柔耦合动力学分析 J. 振动工程学报, 2009, 22(1): 48-53.LIU Jinyang , CUI Lin. Rigid-fle

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