1、相对论四维时空下的守恒量PB06203015 谢家荣一 在相对论三维空间中的守恒量在相对论三维空间推算质量公式时以用到了动量守恒，而质量守恒又与能量守恒相联系。我们知道，牛顿力学里还有一个守恒量，角动量守恒还未出项。在下文中，我将尝试考虑角动量守恒。角动量定义为：L= iiixyzjkp如果从另一个参考系来看，不能直接用洛仑兹变换，因为守恒量是对时间而言的，是量在相同的时间内相加。但同时形式相对的，在 k 系看来是同时的在 k看来并不一定同时，如果直接用洛仑兹变换再相加的话，那么从 k看来就是在不同时间的相加，也就没什么意义。如果要考虑 k系的角动量，必须先找到从 k来看同时发生的事件。L=
2、iiixyzjp这里的 i,j,k 是不变的，因为 k用他那个坐标下的基矢来算。但要找这样的， ixyiz很复杂，还与具体的轨迹有关，而动量的三个分量就更复杂了。在相对论四维时空中，四维动量以包含了三维空间中的的动和能量守恒，角动量也未出现。二 引入三目运算符在以往的三维空间中，角动量定义为：L=r p这个是不能直接引入到四维时空的，因为矢量的外积使用行列式定义的，若 r p 为四维矢量，还没有定义 r p 的运算。既然是讨论四维时空，数学就不应限于三维。若要引入守恒量，要先解决外积的问题。有如下方法：1推广行列式的运算，不要求行列式行数与列数相等。但这样会出现 x y z 之间的不等价，有的
3、坐标含有 t，有的没有。这是我不希望的。2外积是双目运算符，可以定义一三木运算符从而使行列式的运算可以进行。定义： j klxayzw(,)b ciY则 Y(a,b,c)是一四维矢量。三 三目运算符的性质三目运算符有如下性质，都可用行列式的性质证明：1Y(i,j,k)-lY(j,k,l)=iY(a,l,i)=-jY(l,i,j)=k这样的结果不太令人满意，如果先前定义 -j lxayzw(,)b ciY则上四式的结果为 l i j k但下面某个性质就没有了。2Y(a,b,c)Y(b,c,a)Y(c,a,b)Y(a,c,b)Y(c,b,a)Y(b,c,a)3Y(u1*a1+u2*a2,b,c)=
4、u1*Y(a1,b,c)+u2*Y(a2,b,c)4aY(a,b,c)=0这个性质在 下是没有的-j klxayzw(,)b ciY5若 a 平行于 b Y(a,b,c)=0.6若 ()sinos1,cos2,cos3,aab则 222i1c3*12*这个性质证起来很麻烦，可以这样去想。对 Y(a,b,c)进行正交变换，使 a=xa*i;然后算起来少了很多项，就可以验证。四 更改四维坐标时空间隔定义为： 2*2sctxyz为了满足矢量运算，定义：r=cti+ix j+iyk+izl设 t(4) x(4) y(4) z(4)为事件 A 在四维时空中的坐标x(3) y(3) z(3)为地点 B 在
5、三维空间中的坐标则 x(4)=ix(3) x(3)=x y(4)=iy(3) y(3)=y z(4)=iz(3) z(3)=zA 与 B 的关系是事件 A 发生在地点 BLY(r1,2p)(,)ctixyz(,)ucivi(,)Epixyipzc这样对原来的守恒量不改变，并且按内积： *22rtxyz这样定义对数学运算会符合些。五 该找哪三个量该找哪三个量，我遇到了很大的困难，到现在也不知道找哪三个才合适，但还是试着找了一些，尽管我找的什么意义。在三维空间中 L=r p而 p drmt如果类推下去，找三个量，应找 r p a,但 a 很奇特 a (0,)ixyiz并不是洛仑兹不变量。而且，既然
6、相对论抛弃了力，也不应用加速度。回过头来，再看看三维空间中的角动量，表示质点绕一定点运动。而在四维时空中，所谓的点就是事件，角动量也应表示质点绕事件运动。质点的运动在四维时空中为一轨迹，角动量可表示轨迹上各事件的四维速度与事件的关系。但也只有两个量，我的想法是，质点绕两事件运动，即 L= Y(r1,r2,p)r1 r2 表示事件 A1 A2 到质点轨迹上某点的矢量, p 表示质点在轨迹上该点的四维速度A1 A2 为固定事件六 在 L= Y(r1,r2,p)下1L是洛仑兹不变量 222*sin21cosco3*cs1o2*cs3rp是洛仑兹不变量rpr1r2, r1p, r2p 都是洛仑兹不变量
7、是洛仑兹不变量cos1,2,cos3L是洛仑兹不变量2在质点系不受外界作用时，四维时空中 L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守 恒在三维空间中，守恒量为质点在相同时间下的相加，而对于四维时空，每个质点都有一轨迹，该把各轨迹上的哪些点相加呢？在四维时空中，时间不是那么重要，重要的是实空间隔，因此，应当找各轨迹上与某一事件有相同的是空间隔的事件相加，即 L= Li（ ） 。但这样会出现一些问题：1.这一事件很特殊，不过可以与质点绕的两事件联系起来，其中一事件就是四维球心，这样 L会有意义一些。2.有些轨迹上并没有该时空间隔的事件，甚至有的质点到该点的时空间隔没有相等的事件。3.没有发现什么守
8、恒关系，这是关键。不过，尽管时空间隔比时间更重要，但守恒律是对于什么而言的呢？我也不知道，似乎是时间。最后，我还是找了把各轨迹上按时间相同相加，即 L= Li(t).(1)从三维空间中能量，动量，角动量守恒推四维时空中 L守恒设 j k l 为四维时空的 x y z 三个方向的基矢，也是三维空间的三个基矢。L= Y(r1i,r2i,p)= Y(r1i-r2i,r2i,p)+ Y(r2i,r2i,p)= Y(r0,r2i,p)120(,0,)rirctiz设 (,)ctixyiz *pz-E/= (ct*pi-mczi)(*)(*)() cctpzimictpzimidtimiddt jk lj
9、 k li k lct0ixyzL=0*ixyiz0*tyzipE/cpE,ctpii j li j k0*txzi0*ctxyiE/cpE/p右式中有四项，第一项由角动量守恒推得为守恒量。由角动量守恒L= iiixyzjkp分别守恒,iziixp所以第二项为：-ix0*i +x0*k* (ct*pzi-Ei/c*zi)-x0*l (ct*pyi-yi*Ei/c),yiz第一小项由角动量守恒推得守恒，第二小项：(ct*pzi-E/i)= (ct*pzi0-mci)(*)(*)( cctpzimictpzimiddzdt t因为 pzi 与 mi 守恒，所以上式等于 0，即第二小项守恒，同理第三
10、小项守恒。同理 L的第三，第四项守恒。所以 L守恒。但守恒是有一定条件的，例如，角动量守恒的条件视为对该给定的总力矩之和为 0，而 L守恒的条件应当是三个守恒量的条件之和，起码这是个充分条件。特别地，质点系不受外界作用满足所有条件。(2)从四维时空中 L守恒推三维空间中能量，动量，角动量守恒L对任意事件 A1,A2 成立取 r0=(ct0,0,0,0)=ij klct0= ixy izE,pj k l0*ixyizp ctj k l0*xiyzip ct推得角动量守恒取 r0=(0,ix0,0,0)-x0*k(zi/c-t*pzi)0*(*)cxkzmitpzi lyi L=tiy-x0k(i
11、E/c-ti)+x0*l(ctpzi-y*E/c)pE/c pzii第一项守恒，第二项也守恒：-x0*k(zi/-t*i)0*(*)cxkzmitpzi第二项对时间求导：=0()cdmipzzt与 A2 选择有关，可选择另一 A1,A2，使 r0 不变，但 改变，而质量，动量只与速率c cz有关与 A1,A2,无关， 不变，所以得质量守恒与 pz 守恒，同理得 px,py 守,dipz恒。所以，当质点不受外界作用时，四维时空中 L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守恒从上面推出，从 k 系看四维时空中 L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守恒。如果从 k系来看，同样推出 k系的 L守恒
12、等价于三维空间中能量，动量，角动量守恒。而如果从各个惯性系来看，能量，动量，角动量守恒，则各个惯性系的 L都守恒。注意，并不能从 k 系来看 L守恒与 L是洛仑兹不变量来推导各个惯性系的 L都守恒，因为 L的方向从k来看可能在变，而且直接用洛仑兹变换的话 k把在 k来看不同的事件下的各量相加，没有什么意义。七 并没有什么意义四维时空比三维空间多一维，应有更丰富的内涵，虽然我的这个量找得不怎么好，但包含了三维空间的守恒量。我也相信，有一个更好的四维时空的量，它能更好地解释某些东西，而三维空间的守恒量只是这个量的不同方式的不同投影。其实要找这样一个量应该不太困难，三维空间的三个守恒量可用 7 个标
13、量表示，但对任意点的角动量守恒就包含了动量守恒。设对 A 点 L= ri pi,对 B Lb= ri pi=0ripiL Lb 守恒， r0 为定值，所以动量守恒。而四维时空有四个分量，应能包含。但我找的这个量，是硬着凑出来的，有什么实质的物理意义，我不知道，也不知道该取个什么名称，也无法理解质点绕二事件运动是什么意思，这是最失败的地方。不过，记得初学角动量时，我也不理解绕一点运动是什么意思，只是后来想得多了才有点明白。我的这个量还有另一个大缺点，就是没能完全抛弃三维空间，L取了 t 的函数。我的这个量没有什么意义是可以理解的，因为“同时”已经意义不太大了，既然考虑四维时空，就不应拘泥于时间。如果想找一个有意义一点的量，我觉得还是应考虑与某一事件有相同的时空将阁下向加，不过这个工作量太大。我觉得选择三目运算符是没有错的，就是具体的三个量找得不好。写这篇论文，我想有一些原创的东西，但做了很多工作，还是做不出什么有价值的东西，但还是把一直来的工作记叙下来，写成了这篇论文。还有就是这篇论文写得很不规范，数学符号没有整理好，望老师能原谅，我写的时间实在不充足。
