1、讨论函数单调性的教学案例欧阳志文摘要: 在各地高考试题中涉及 “分类讨论”的问题必不能少，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。本文主要以高考热点和难点“函数单调性的讨论”为例，展示分类讨论思想在解题中的顺其自然。需要分类讨论的题型通常是因为题设少了条件致使解答无法继续进行，所以只能增加条件满足解题的内在需求，使解题可以继续。关键词:分类讨论, 参数, 函数单调性,二次不等式每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的
2、已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。 当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。分类讨论解题的实质就是解题时因为缺少某些条件而无法进行下去, 只能以增加题设条
3、件来将整体问题化为一个个小问题来解决, 所以分类讨论需要全面考虑问题的能力和周密严谨的数学教养。在各地高考试题中涉及“分类讨论 ”的问题必不能少，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在高考复习时，对“分类讨论” 的数学思想渗透不够。下面就以高考热点和难点“函数单调性的讨论”为例，展示分类讨论思想的顺其自然。基础 1：解二次不等式 。230x（必修 5 中详细了这类问题的解题步骤）第一步：解方程 ，得到两解2123,x第二步：画函数 的草图。3yx第三步：由函数图像写出不等式解集
4、 |x或基础 2：解二次不等式 。2(1)0xa解题步骤：第一步：解方程 ，得到两解2()12,xa第二步：画函数 的草图。在这个步骤中遇到了一个麻烦，在把1yxa标注在图形时不能确定谁左谁右，如果要继续解题，很自然的需要我们自己12,xa增加三种不同的条件：； ； 1 2 1a 3 1a在我们添加了这些不同的条件后， 的图形也就分别确定下来。2()yx第三步：根据 三种不同的图形，可以写出不等式2()yx的解集：2(1)0xa（1）当 时，不等式解集为|1xa或（2）当 时，不等式解集为|或（3）当 时，不等式解集为=aR基础 2 的引申 1：讨论函数 的单调性。321()()3fxax解题
5、步骤：第一步：求导 ，解不等式 可得增区间；2()()fa2(1)0xa解不等式 可得减区间；210xa接下来的解答就完全可以建立在基础 2 上，基础 2 实际上就是求得增区间的过程。在次基础上可以得到如下答案：（1）当 时，增区间为 ，减区间为a,1,a和 （ ） a（ 1， ）（2）当 时，增区间为 ，减区间为和 （ ） （ ， ）（3）当 时，增区间为=（ ， ）基础 2 的引申 2：讨论函数 的单调性。21()()ln3fxax解题步骤：第一步：求导 ，解不等式2 ()()(0)fxx2(1)0xa可得增区间；解不等式 可得减区间；(x0)2(1)0xa(x)接下来的解答就可以建立在基
6、础 2 的引申 1 上，在兼顾定义域的基础上就可以得到如下答案：（1）当 时，增区间为 ，减区间为a0,a和 （ ） a（ 1， ）（2）当 时，增区间为 ，减区间为011和 （ ） （ ， ）（3）当 时，增区间为 ，减区间为,（ ） 0（ ， ）（4）当 时，增区间为=a0（ ， ）基础 3：解不等式 。2(1)x解题步骤：第一步：因为不能确定不等式是一次不等式还是二次不等式，所以首先需要确定形式，分两类：（1） ；（2 ）0a0a第二步：若 ，解二次方程 ，得到两解2(1)0x12,xa第三步：画函数 的草图。在这个步骤中首先遇到了一个基础()fx2 没有遇到的麻烦，图像开口方向不确定，
7、所以我们接下来需要自行增加条件（2.1）和（2.2 ） 使开口方向落实下来，接着在（2.1） 的情景下又遇到与基础0a0a0a2 相同的问题： 到底谁大谁小。在标注图形的零点时不能确定谁左谁右，如12,x果要继续解题，很自然的需要我们自己增加三种不同的条件：2.1.1 ； 2.1.2 ； 2.1.3 a01a1a在我们添加了这些不同的条件后， 的图形也就分别确定下来。2()yx第四步：根据 在（1）,（2.2）,(2.1.1),(2.1.2),(2.1.3)五种不同2()yx情况下的图形，可以写出不等式 的解集：2()0ax（1）当 时，不等式解集为0a|（2. 2）当 时，不等式解集为1|x
8、a（2.1.1）当 时，不等式解集为1|或（2.1.2）当 时，不等式解集为0a1|xa或（2.1.3）当 时，不等式解集为=R基础 3 的引申 1：讨论函数 的单调性。321()()3fax解题步骤：第一步：求导 ，解不等式 可得增区间；2()(1)fxax2(1)0ax解不等式 可得减区间；210a接下来的解答就完全可以建立在基础 3 上，基础 3 实际上就是求得增区间的过程。在次基础上可以得到如下答案：（1）当 时，增区间为 ，减区间为0a,1(1,）（2. 2）当 时，增区间为 ，减区间为,a,)(,a和 ）（2.1.1）当 时，增区间为 ，减区间为 1a1(,)(,和 ） 1,（2.
9、1.2）当 时，增区间为 ，减区间为0(,)(,a和 ） ,a（2.1.3）当 时，增区间为=1a（ ， ）基础 3 的引申 2：讨论函数 的单调性。21()()ln3fxx解题步骤：第一步：求导 ，解不等式2 ()()(0)afxx2(1)0ax可得增区间；解不等式 可得减区间；(x0)21)接下来的解答就可以建立在基础 3 的引申 1 上，在兼顾定义域的基础上就可以得到如下答案：（1）当 时，增区间为 ，减区间为0a0,(,）（2. 2）当 时，增区间为 ，减区间为11）（2.1.1）当 时，增区间为 ，减区间为 1a(0,),a和 ） ,1a（2.1.2）当 时，增区间为 ，减区间为01(,),和 ） ,（2.1.3）当 时，增区间为=1a0（ ， ）这里我虽然主要以二次函数为载体解析函数单调性的分类讨论，但分类讨论的本质是一样的：因为题设少了条件致使解答无法继续进行，所以只能增加条件满足解题的内在需求，使解题可以继续。
