1、1海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数 2iA.B.C.D. ii2i2i（2）在极坐标系中 ，方程 表示的圆为OxsinA. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为kA.4 B.5 C.6 D.72（4）设 是不为零的实数，则“ ”是“方程 表示m0m21xym的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（5）已知直线 与圆 相交于 两点，且 为正三角形，
2、0xym2:1Oxy,ABAOB则实数 的值为A.B.C.或D.或32623262（6）从编号分别为 1,2,3,4,5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A.B.C.D.152354（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：三棱锥的体积为 16三棱锥的四个面全是直角三角形三棱锥的四个面的面积最大的是 32所有正确的说法是A. B. C. D. 3（8）已知点 为抛物线 的焦点，点 为点 关于原点的对称点，点F2:(0)CypxKF在抛物线 上，则下列说法错误的是MA.使得 为等腰三角形的点 有且仅有 4 个KMB.使得 为直角三角形的点 有且
3、仅有 4 个FC. 使得 的点 有且仅有 4 个4D. 使得 的点 有且仅有 4 个6MK第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）点 到双曲线 的渐近线的距离是 .(2,0)214xy（10）已知公差为 1 的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则 的前 100 项na12a4na和为 .（11）设抛物线 的顶点为 ，经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛2:4CyxOCx物线 交于 两点，则 .,ABAB（12）已知 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64:1，则(51)nx.n4（13）已知正方体 的棱长为 ，点
4、是棱 的中点，点 在底面1ABCD42MBCP内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为 .ABCDQ1PQ（14）对任意实数 ，定义集合 .k20(,),kxyxyRk若集合 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是 ；kDk当 时，若对任意的 ，有 恒成立，且存在0(,)kxyD(3)1yax，使得 成立，则实数 的取值范围为 .(,)kxyxya三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）如图，在 中，点 在 边上，且 .ABCDA3,7,36DBCADBC（）求 的值；（）求 的值.tan（16） （本小题 13
5、 分）据中国日报报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使5用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是 MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21（）从品牌 A 的 12 次测试中，随机抽取一次，求测试
6、结果小于 7 的概率；（）从 12 次测试中，随机抽取三次，记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望 E（ X） ；（）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（17） （本小题 14 分）如题 1，梯形 中， 为 中点.将ABCD/,1,2,BCDADE沿 翻折到 的位置，如图 2.E1E6（）求证：平面 平面 ；1ADEBC（）求直线 与平面 所成角的正弦值；1B1（）设 分别为 和 的中点，试比较三棱锥
7、和三棱锥,MN1AE1MACD（图中未画出）的体积大小，并说明理由.1ACD（18） （本小题 13 分）已知椭圆 ，点2:9Cxy(2,0)P（）求椭圆 的短轴长和离心率；（）过 的直线 与椭圆 相交于两点 ，设 的中点为 ，判断 与(1,0)lC,MNTP的大小，并证明你的结论.TM7（19） （本小题 14 分）已知函数 .2()xfea（）求曲线 在点处的切线方程；()yf（）当 时，求证：函数 有且仅有一个零点；0a()fx（）当 时，写出函数 的零点的个数.（只需写出结论）f（20） （本小题 13 分）无穷数列 满足： 为正整数，且对任意正整数 ， 为前 项 ， ， ， 中等于n
8、a1 n1an1a2n的项的个数. n8（）若 ，请写出数列 的前 7 项；12ana（）求证：对于任意正整数 ，必存在 ，使得 ；M*kNkaM（）求证:“ ”是“存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件。1a*mn2n9海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 2018.1数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号1 2 3 4 5 6 7 8选项A D B A D C D C二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.(有
9、两空的小题第一空 3 分)（9） （10）5050 （11）2 （12）6 （13）25（14） 3(1,)1,5三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.15.（本小题 13 分）解：（）如图所示， ，.1 分36DBCA故 ， .2 分10设 ，则 ， .DCxBx3DA在 中，由余弦定理A.3 分22cosBAD即 ， .4 分217(3)37xx解得 ，即 .5 分1C（）方法一.在 中，由 ，得 ，故ADBAB60DAB.6 分362CC在 中，由正弦定理.7 分sinsiAB即 ，故 ，.9 分471sin2ABC2sin7ABC由 ，得 ，.11 分(,)3cos713 分2tan3ABC
