1、高中数学函数知识点梳理1. .函数的单调性(1)设 那么2121,xbax上是增函数；()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果)(fy)(f)(xf，则 为减函数.0)(f注：如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是xg )(xg减函数;如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(uf)(x是增函数.)(gfy2. 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
2、 y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶)(xfy)()(axfxf)(axf函数，则 .(af注：对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴Rba是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.2bax)xfy)(xfy2bx注：若 ,则函数 的图象关于点 对称;若)()(aff)0,2(a,则函数 为周期为 的周期函数.)(xf(xfya23. 多项式函数 的奇偶性10()nnP多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.xx23.函数 的图象的对称性()yf(1)函数 的图象关于直线
3、对称a()()fxfa.(2fa(2)函数 的图象关于直线 对称()yfx2bxfmfbx.)fbmf4. 两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yfx(yfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.a)b2abm(3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称.)(f)(1f25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图)(xfyabbaxfy)(象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的0, 0,图象.5. 互为反函数的两个函数的关系.abfaf)()(127.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是kxy )(1bxfk
4、y,而函数 是 的反函数.)(1fy )(1bkxf )(xf6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数 , .()fxc()(),(1fyfyfc(2)指数函数 , .a0xa(3)对数函数 , .log,1)(4)幂函数 , .()f()(),fff(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，csxsing()()fxyfgxy. 0()1,limxf7. 几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(xf（2） ，0x或 ，)(1(ff或 ,xaf)x或 ,则 的周期 T=2a；21()(,()012fafx)(xf(3) ，则 的周期 T=3a；)1xff(4) 且
5、，则()(2121f1212()(),0|)ffxxa的周期 T=4a；)xf(5) ()3(4)fxaxaf,则 的周期 T=5a；(ffx(6) ，则 的周期 T=6a.(8. 分数指数幂 (1) （ ，且 ）.1mna0,anN1(2) （ ，且 ）.n,9. 根式的性质（1） .()na（2）当 为奇数时， ；nna当 为偶数时， .,0|10. 有理指数幂的运算性质(1) .(0,)rsrsaQ(2) .()(3) .,rrbbr注：若 a0 ，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.logbaN(0
6、,1)N34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llmaa0m10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).oglmnban1n011. 对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;l()llogaaN(2) ;oga(3) .ll()naR注：设函数 ,记 .若 的定义域为)0(og)(2acbxxfm acb42)(xf,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要R0f0单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若 , , , ,则函数ab0x1alog()axyb(1)当 时,在 和 上 为增函数.(,),)(2)(2)当 时,在 和 上 为减函数.(l()axy推论:设 ， ， ，且 ，则1nm0pa1（1） .log()logpmn（2） .2aa
