1、1.3 二项式定理学习目标：1 奎 屯王 新 敞新 疆 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 奎 屯王 新 敞新 疆学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1） 01(
2、) ()nnrnnabCabCbN ，（2） rnnxx .2二项展开式的通项公式： 1rrT 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当 n依次取 1,23时，二 项 式 系数 表 ， 表 中 每 行 两 端 都 是 1， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两个 数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆2二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系
3、数是 0nC， 1， 2n， nC r可以看成以 r为自变量的函数 ()fr定义域是 0,12, ，例当 6时，其图象是 7个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ mnC） 直线 2nr是图象的对称轴（2）增减性与最大值 1(1)2()!k kn nCk ， knC相对于 1kn的增减情况由 决定， 2n，当 2时 ， 二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 由 对 称 性 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ， 且 在 中 间取 得 最 大 值 ；当 n是偶数时，中间一项 2nC取得最大值；当 n是奇数时，中间两项12nC，取得最大值（3）各二项
4、式系数和： 1(1)nrnnnxx ，令 ，则 022rnnCC 奎 屯王 新 敞新 疆三、讲解范例：例 1在 ()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 奎 屯王 新 敞新 疆证明：在展开式 01 ()nrnnCabCabN 中，令,，则 23(1) (1)nnn ，即 023( )nC ， 1n ，即在 ()ab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例 1 知 021312nnnCC 例 2已知 72701()xaxax ，求：（1） 27a ； （2） 357； （3） 017|aa .解：（1）当 1x时， 77(2
5、)(1)x，展开式右边为07aa 12 ，当 x时， 0， 12712 ，（2）令 ， aa 令 1x， 701234563 得： 71357()1a， 1357a7132.（3）由展开式知： 1357,a均为负， 0248,均为正，由（2）中+ 得： 70246()13， 70246aa， 017| 01234567aa724635()()aa奎 屯王 新 敞新 疆例 3.求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： )1(1)x(1 100）（= x1，原式中 3实为这分子中的 4x，则所求系数为 71C 奎 屯王 新 敞新 疆例 4.在(x
6、 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： 55)2(1)x(在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 xC15，在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 8024 展开式中含 x 的项为 0)3()80( ，此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆例 5.已知 n2)(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数项 奎 屯王 新 敞新 疆解：依题意 2n4n2n4 C13:1C:3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10 奎 屯王 新 敞新 疆设第 r+1
7、 项为常数项，又 2r510rr2r10r1r xC)(x()T令 2r0251， .18)(CT1此所求常数项为 180 奎 屯王 新 敞新 疆四、课堂练习：（1） 205xy的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；（2） ()nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 （3） 0nC+ 1+ 24n+ nC729，则 123nnnC （ ）A 6 B. 6 C.3 D.（4）已知： 502501(3)xaxax ，求： 20250349()a 的值 奎 屯王 新 敞新 疆答案：（1） ， ， ；（2） 展开式中只有第六项的二项式系数最大， 10
8、n， 373410()120TCxx；（3）A五、小结 ：1性质 是组合数公式 rnrC的再现，性质 2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质 3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 六、课后作业： 奎 屯王 新 敞新 疆七、板书设计（略） 奎 屯王 新 敞新 疆八、课后记： 奎 屯王 新 敞新 疆求 60.98的近似值，使误差小于 0.1解： 61666(10.2)(2)(0.2)CC ，展开式中第三项为 6.，
9、小于 .，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， 0116.98(.)()98，一般地当 a较小时 1na 奎 屯王 新 敞新 疆1.3 二项式定理学习目标：1 奎 屯王 新 敞新 疆 掌握二项式定理和二项式系数的性质。2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 奎 屯王 新 敞新 疆学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程
10、：一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1） 01() ()nnrnnabCabCbN ，（2） rnnxx .2二项展开式的通项公式： 1rrT 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 4 奎 屯王 新 敞新 疆 二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当 n依次取 1,23时，二 项 式 系 数 表 ， 表 中 每 行 两 端 都 是1， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个 数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆5二项
11、式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是 0nC， 1， 2n， nC r可以看成以 r为自变量的函数 fr，定义域是 ,12, ，例当 6时，其图象是 7个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ mn） 直线 2nr是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当 n是偶数时，中间一项 2nC取得最大值；当 n是奇数时，中间两项1nC， 2取得最大值（3）各二项式系数和： 1(1)nrnnnxCx ，令 ，则 022rnnC 奎 屯王 新 敞新 疆二、讲解范例：例 1 设 2311nxxx 201naxa ，当 0254naa 时，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆解
12、：令 x得： 23012 nn 2(1)54， 8,7n，点评：对于 101()()nnnfxaxa ，令 1,xa即 可得各项系数的和 012n 的值；令 ,即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 奎 屯王 新 敞新 疆例 2求证： 12312nnnCC 证（法一）倒序相加：设 S13nn 又 S1221()()nnnnCC rrn， 01,nn ， 由+得： 22n ， 11nS，即 312nnnCC （法二）：左边各组合数的通项为 rnC1!()!()1rnr ， 1230121n nnn nCC 12n例 3已知： 23()x的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 9（1）求展开式
13、中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆解：令 ，则展开式中各项系数和为 2(13)n，又展开式中二项式系数和为 2n， 29n， 5（1） ，展开式共 6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，23235()0TCxx，2233345()70TCxx，（2）设展开式中第 1r项系数最大，则21045231 5()rrrrr C，1557923rr， ，即展开式中第 项系数最大，22644335()05TCxx例 4已知 )(11 NnSnnnn ，求证：当 为偶数时， n能被 6整除 奎 屯王 新 敞新 疆分析：由二项式定理的逆用化简 nS，再把 4n变形，化
14、为含有因数 64的多项式 奎 屯王 新 敞新 疆 12122()n nnSCC 3， 4n3， 为偶数，设 k（ *N） ， 14nS2381k()81k0kkkCC128() （ ） ，当 k=1时， 40nS显然能被 64整除，当 2时， （ ）式能被 整除，所以，当 为偶数时， 1n能被 整除 奎 屯王 新 敞新 疆三、课堂练习：1 451x展开式中 4x的系数为 ，各项系数之和为 2多项式 23()(1)()(1)nnnnfCCxx （ 6）的展开式中， 6x的系数为 3若二项式 231()nx（ N）的展开式中含有常数项，则 n的最小值为（ ）A.4 B.5 C.6 D.84某企业欲
15、实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于 5 B.在 56之间 C.在 68之间 D.在 8以上5在 (1)nx的展开式中，奇数项之和为 p，偶数项之和为 q，则 2(1)nx等于（ ）A.0 B. pq C. 2q D. 26求和： 341012311 nnnnnaaaCCC7求证：当 N且 时， 18求 102x的展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆答案：1. 45, 0 2. 0 提示： 16nfx 奎 屯王 新 敞新 疆3. B 4. C 5. D 6. 1na7. (略) 8. 331560Tx四、小结 ：二项式定理体现了
16、二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 五、课后作业：1已知 2()na展开式中的各项系数的和等于5216x的展开式的常数项，而2n展开式的系数的最大的项等于 54，求 a的值 ()R 奎 屯王 新 敞新 疆答案： 3a2设 5914130 131412xaxxxa求： 014 1313a 答案： 9368； 9562 奎 屯王 新 敞新 疆3求值：
17、 01234578999992 2CCC答案： 856 奎 屯王 新 敞新 疆4设 296()1)(fxx，试求 ()fx的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 奎 屯王 新 敞新 疆答案：（1） 63729； （2）所有偶次项的系数和为63142；所有奇次项的系数和为65 奎 屯王 新 敞新 疆六、板书设计（略） 奎 屯王 新 敞新 疆七、课后记： 奎 屯王 新 敞新 疆高中数学二项式定理教学设计【教学设计思想】教学设计思想现代教学的核心是“以学生的发展为本” ，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学
18、生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心我采用启发探究式教学方式：一是从实际应用问题引入课题。这里体现了新课程的数学应用意识的理念，使学生体会到数学不仅是为了学数学，还可以学以致用，用来解决现实生活的问题二是从特殊到一般。面对一般问题，学生会想到从特殊情况入手，让学生自己探究=1，2，3 ，4，时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容n三是采用小组合作、探究的方式。小组内的同学共同归纳二项式定理的内容，由特殊推广到一般四是教师的启发与学生的探究恰
19、当结合。本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项的二项式系数，对于平行班的学生，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的引导启发，就显得尤为重要本节课，学生通过对 =1，2，3，4 ，时二项展开式的观察，归纳、猜想到 为任意n n正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程，提高数学修养本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美学生情况分析学生为平行班学生，有一定的数学基础学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容学生有过探究、交流的课堂教学的尝试教学流程框图
