第十二讲函数列与函数项级数(共8页).doc

第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛 1 逐点收敛函数列，若对，数列都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ，称为的极限函数简记为2 逐点收敛的定义对 ，及 ， ，当 时，恒有3 一致收敛若函数列与函数都定义在区间 I 上，对 ，当 时，对一切恒有，则称函数列在区间 I 上一致收敛于记为 . 4 非一致收敛，对，及，使得 例 12 . 1 证明在逐点收敛，但不一致收敛证明：当时， ，当 时，即极限函数为但 非一致收敛，事实上，取。对，取 ，取 此时，即 5 一致收敛的柯西准则函数列在 I 上一致收敛对 ，当 n , m N 时，对一切，恒有6 非一致收敛的柯西准则函数列在 I 上非一致收敛，对，及，使得例12 . 2 用柯西准则证明：在上一致收敛； ( 2 )在上非一致收敛证明： ( 1 ）对，取，当 时 对一切 有 即在上一致收敛 ( 2 ）取，对