第二章 代 数第四节 二项式定理、概率、数学归纳法 B4-001 求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）n+2展开式里的x2的系数【题说】1963年北京市赛高三一试题3【解】因为（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+（1+x）n+2所以展开式中x2的系数为【别解】x2的系数为B4-002 设f是具有下列性质的函数：（1）f（n）对每个正整数n有定义；（2）f（n）是正整数；（3）f（2）=2；（4）f（mn）=f（m）f（n），对一切m，n成立；（5）f（m）f（n），当mn时试证：f（n）=n【题说】第一届（1969年）加拿大数学奥林匹克题8【证】先用数学归纳法证明f（2k）=2k（k=1，2，）事实上，由（3），k=1时，f（2）=2成立假设k=j成立，则由（4）f（2j+1）=f（22j）=f（2）f（2j）=22j=2j+1故对所有自然数k，f（2k）=2k现考虑自然数n=1由（5）函数f的严格递增性知：f（2）=2f（1）
