1、在“跨维度转换”中发展学生空间观念宁波市江北中心小学 陈寒琼 【内容摘要】 “跨维度的转换”是指不同维度空间图形之间的相互转换。本文以这一块教学内容为载体，阐述跨维度转换的数学价值，尤其是在发展学生空间观念中发挥的作用。其次通过对人教版教材的相关内容的分析梳理，挖掘教材的数学思想方法，来指导知识点的教学。最后笔者还结合教学实际提出了有针对性的教学策略，发展学生空间观念。【关键词】跨维度转换 空间观念 想象课程标准（2011 年版）对空间观念有如下描述：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形
2、等。“新版课标”与“标准实验稿”对比，除了将“几何直观”单列外没有太大的变化，作为数学老师，我们关注变化的同时更应看到不变的本质，新老课标始终在教学中关注“不同图形之间的转换”。一对“跨维度转换”的认识图形转换是联结单个图形概念的枢纽，比起单个起始概念的学习更为复杂，有利于学生在概括、分类、比较中提炼概念的本质特征，梳理关系。图形的转换一般有两种类型：（1）同一维度图形之间的转换，如：平面图形面积公式推导，把平行四边形转换成长方形求面积；（2）跨维度的转换，就是一维、二维、三维空间图形的相互转换。如：几何体与其三视图、展开图之间的转换就属于三维与二维之间的转换。跨维度的转换在生活中经常可见，一
3、栋楼房是三维立体的，拍成照片就是二维平面图了，人们根据看到的几幅平面图就能想象出这栋楼房的样子，学生的生活经验为空间观念的发展奠定了基础。何况，教学过程中的跨维度转换常伴随着实际操作，这不仅仅是动手的过程，更需要把基本图形通过头脑的组合、加工后展开的思维活动，使得空间观念的发展从感知上升为可把握的能力，更接“地气”。二、对“跨维度转换”教学内容的整体建构教材为学生提供进行二维图形与三维图形之间转换的素材，专门安排了视图与投影（观察物体）、展开与折叠等内容。除此之外，小学阶段的几何知识以“图形的认识”、“图形的测量”、“图形与位置”和“图形与变换”四条线索展开教学，其实每个教学板块都蕴藏着丰富的
4、“跨维度转换”的教学素材。教师应以“联系”的观念，跳出一堂课的具体设计，从更大范围进行思考，明确其中蕴含的数学思想方法，以此来指导知识的教学，这样便于揭示概念的本质，建立起相关知识结构的整体性认识。下面是笔者根据人教版教材的编排对相关内容（部分）进行的梳理。1.循序渐进，凸显“两块专项内容”的层次性小学阶段，“观察物体”、“展开与折叠”两块教学内容是分年段循序渐进、逐渐深入的。教师应该进行相关教学内容的层次梳理，把握每一个学段的教学目标。（1） “观察物体”的教学编排为使学生更好掌握观察物体的知识，教材根据儿童已有经验和心理发展规律按从易到难螺旋上升的编排原则优化结构，分三个层次进行编排。年级
5、 单元 教学内容 教学建议二上观察物体（一）从不同角度观察实物和单个立体图形（积木）。（1）指导学生掌握正确的观察方法。（2）运用多种方式帮学生建立清晰表象，积累直观经验。如：闭眼想、动口说、手势比画、画简单的图等。（3）遵循具体到抽象的原则，所 观察的物体从玩具到较为抽象的长方体再到通过推理解决有关的图形问题。四下观察物体（二）从三个不同的位置观察同一个几何组合体，看到的形状可能不同；从同一位置观察三个不同的几何组合体，看到的形状可能相同，为后面根据从不同位置看到的形状图拼搭几何体做准备。（1）重视学生对几何组合体的整体观察，获得对组合体大小、形状的整体感知，建立完整的表象。（2）加强学生操
6、作活动中的比较、归纳，重视猜测、分析、推理等思维活动。五下观察物体（三）根据从一个方向看到的形状图拼搭几何组合体；根据从三个方向看到的形状图拼搭几何体。（1）注重引导学生有序观察，有条理地表述。如：让学生从“ 列”或“行” 的角度观察不同角度看到的形状。（2）在有序观察的基础上有序想象。如：可以让学生先抓住一个面的“基本图形”进行有序变化，再一个个面有序思考。（2） “图形展开与折叠”的教学编排教材将“长方体、正方体、圆柱” 的展开图与图形表面积教学相结合，目的是为了更好地落实对概念本质的理解。年级 单元 教学内容 教学建议一下认识图形（二）折一折，用 做一个，“4”的对面是（ ）可以让学生先
7、在脑子里对图形进行折叠想象，然后实际操作，形成“面围成体”的认识。五下长方体和正方体把长方体和正方体的 6 个面分别展开，如下图：请在上面的展开图中，分别用 “上、下、前、后、左、右”标出 6 个面。观察长方体展开图，回答下面问题：（1）哪些面面积相等？（2）每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？做一做：折叠后，哪些图形能围成左侧 的正方体？在括号中画“/”（1）长、正方体展开图与表面积 概念教学相结合，重在建立表面积 的意义，进一步理解长、正方体的特征。（2）根据长方体想象每个面的大小。（3）生在头脑中以某个正方形作底面进行折叠想象，再用学具操作 验证。分类思考，有序想象。六下圆柱与
8、圆锥（1）圆柱侧面展开后是什么形状？把罐头盒的商标如下图一样展开，再剪开。圆柱侧面展开后得到一个长方形。（2）这个长方形的长、宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么？我们发现，长方形的长等于圆 柱底面周长，宽等于圆柱的高。让学生自主探索侧面展开的长方形与圆柱相对应部分的关系。根据 圆柱想象侧面展开图的形状，也可以将 侧面展开图恢复成圆柱侧面，如：当 侧面展开是正方形时，想象形成的大致是“高是底面直径三倍多” 的表象。2.瞻前顾后，系统挖掘各板块教学内容（1）依托“图形的认识”，化静为动，认识图形本质特征对于几何图形的认识，教材一般是按照“点线面体”的逻辑顺序编排的，遵循由
9、低维到高维的顺序教学。可是教材往往呈现的是静态的、固定的、结果性的教学内容，而几何图形的教学不仅仅依托静态表象的建立，更需要老师以动态的视角沟通点、线、面、体的关系，实现一维、二维、三维空间的互通，认识图形的本质特征。年级 单元 教学内容 “跨维度转换”的教学建议二上 长度单位线段的认识（1）以现实生活中有形的线段为研究起点， 让学生在“ 小球直线运动”过程中找线段，将无形的“点动成线”引入课堂，沟通点线关系。（2）将“线段”定位于 “线”的一种：点运动后可以形成线，运动方向有变化就形成线段；如果一直运动下去，又会形成什么？这样的知识类教学易于学生对概念的整体建构。三下 面积 长方形面积计算（
10、1）课前导入，请学生“ 由面想线”：想要让长方形面积变大，可以让长或宽变长，初步感悟长方形面 积和长、 宽有关。（2）课后练习，请学生“ 由线想面”：只要给出长、宽两边长，就能确定长方形形状。这些活动看似不是教重要的概念，却积累了确定图形要素的经验。长方体和正方体认识（1）开展“面动成体” 想象活动：可以“ 长宽”的面沿着“高”平移；可以“长高”的面沿着“ 宽”平移；还可以“宽高”的面沿着 “长”平移。进一步感悟长方体“ 面”的特征。（2）沟通线和体的关系，选择合适的小棒拼 组长方体。 进一步感悟长方体“棱”的特征。五下长方体和正方体 长方体和正方体体积开展“由面想体” 的活动，根据提供的两个
11、面（158，158）想象长方体的形状及大小，学生列出：1588， 15158 后用学具拼搭，再引导学生想象两个长 方体的异同。圆柱的认识沟通面体关系：（1）在教学圆柱侧面的过程中， 让学生从“ 滚”一周画出侧面或量出底面周长和高来画；（2）用一张长方形纸作为侧面，通过“卷”的方法做出圆柱等。（ 3）通过“ 旋转”长方形纸的长边、短边或对称轴形成圆柱，发现长 方形纸与圆柱侧面、底面半径和高之间的关系。（4）练习中，在圆柱中找“截面”， 发现沿着高的截面是一个长方形，垂直于高的截面是和上下底面一样大小的 圆。六下圆柱与圆锥 圆锥的认识和圆柱的认识雷同。 教材中“图形的认识”中跨维度转换的（部分）内
12、容（2）借助“图形测量”，渗透思想，揭示度量的本质内涵小学有关“图形测量”的内容有：线段的度量、角的度量、面积和体积的度量和计算、平面图形周长和立体图形表面积计算等。虽属于不同空间维度的教学内容，但用联系的眼光来看，渗透了“类比”的思想。年级 单元 教学内容 “跨维度转换”的教学建议二上 长度单位 厘米的认识、线段的度量三下 面积 认识面积、长正方形面积四上 角的度量 认识量角器并量指定角五下 长方体和正方体认识体积、长正方体体积“长度、面积、角、体积” 的度量都表示所测量对象中单位的数量，为便于比 较都有统一单位的必要性。教师可以围绕本 质属性做系统规划，使得学生感悟“ 跨维度的思想转换类比
13、思想”，所不同的是 测量的维度。从而 积累方法经验。 教材中“图形测量”中跨维度转换的（部分）内容（3）立足“图形与变换”，分解元素，积累操作经验。年级 单元 教学内容 “跨维度转换”教学建议二下 图形的运动（一）直观认识轴轴对称、平移、旋转现象。进一步认识图形成轴对称特征：对应点到对称轴距离相等。能在方格纸上将 轴对称图形补完整。四下 图形的运动（二） 进一步认识平移特征：对应点之间的距离相等。能在方格纸上画出简单图形沿水平、垂直方向平移后的图形。五下 图形的运动（三）进一步认识旋转特征：对应边旋转角度相等。能在方格纸上画出简单图形旋转 90后的图形。比例图形放大与缩小特征：对应线段相等、
14、对应角相等。能在方格纸上画出按比例放大 缩小后的图形。六下整理和复习梳理对比几种图形变换的异同：轴对称、平移、旋转后平面图形的大小、形状不 变，位置 变了。放大缩小后图形形状不变、大小 变了。（1）虽然是简单图形的运动，但都转换成对应点、对应边的运动。（2）把画图的操作技能与图形变换的特性相结合，让图形的运动分解成对点、线的运动，逐步积累操作经验。 教材中“图形与变换”中跨维度转换的（部分）内容（4）结合“图形与位置”，对比整合，渗透空间维度概念“位置和方向”分四个年段编排：认识上下、左右、前后；认识东南西北等八个方向；用数对确定位置；用方向和距离来确定位置。如何让看似零碎的知识得以整合呢？我
15、们可以渗透维度概念，通过二维与三维的转化沟通，感悟位置和方向的本质规律。年级 单元 教学内容 “跨维度转换”的教学建议一上 位置 认识上下、前后、左右通过活动感悟“上下、左右、前后 ”是相对的。三下 位置和方向（一）认识东南西北等八个方向，画校园示意图。（1）我们生活的空间有“上下、左右、前后 ”三个维度，称为三维空间。对比感悟东西、南北和前后、左右一样是平面上两个维度。（2）把三维立体的校园用二维平面图来表示，方便携 带、便于表达交流。进行二维和三维 的互逆转换。五上 位置 用数对确定物体位置数对用到了两个数据（列，行）来确定位置，初步渗透直角坐标系思想。六上 位置和方向（二）用方向、距离确
16、定物体位置方向和距离也用两个数据确定位置，两者的本质都是在二维空间确定位置。拓展沟通至三 维空间中确定物体位置，需要几个数据？ 教材中“图形与位置”中跨维度转换的（部分）内容三、“跨维度转换”的教学策略基于以上对教材相关内容的挖掘和梳理，我们思考如何利用好这些“跨维度转换”的教学内容发展学生空间观念，有哪些普适性的教学策略呢？策略一：遵循“空间几何”认知规律，有序开展想象活动空间想象是对在人脑中构成的研究对象的表象进行改造和重新构造新的几何形象的过程。跨维度的空间转换必须借助学生的空间想象力和动手操作。学生在操作中不断尝试、调整、完善和发展空间观念。而空间想象力需要大量的几何直观支撑，为以后的
17、抽象推理做铺垫。所以，小学阶段的空间想象是形象思维和抽象思维的结合体，需要遵循空间几何的认知规律“动作、感知表象概念、符号”，有序开展想象活动。以四下观察物体（二）的教学片段为例展开说明。1“储备表象”是想象的基础从对具体事物的感知出发，通过观察和操作，储备清晰、正确的表象是想象的基础，它是知识结构向学生认知结构转化的中介。然而人脑中的表象不是拍的照片，如何进行检查反馈呢？“想象”与“观察”到底谁先谁后呢？ 片段一：1观察立体图，掌握想象、观察方法。（1）观察立体图（图 1），可以从哪几个方向观察？ 图 1学生在争论中发现上下观察到的情况一样，左右一样，前后也一样，只要 观察 3个面。（板书
18、3 个观察方向）（2）观察后记住整体图形，想象 3 个方向看到的是怎样的图形？板书:想（3）同桌一起摆一摆、看一看、对照想象结果边纠正说一说。（4）反馈。请学生上台示范观察教具， 说说观察注意点：蹲下来平视；看上面要站在前面俯看等，并用自己的语言描述看到的图形。小结：刚才同学们通过想一想、摆一摆、看一看、说 一说，从 3 个方向观察了这个物体，发现同一物体，从不同的方向观察到的情况是不一样的。2在练习中运用方法，形成能力。媒体变化立体图形（如图 2）想象从三个方向看到的又会是怎样的图形？想一想，画一画，摆一摆，观察验证。 板书： 想 画摆看画验 在观察实践活动中让“表象”可物化、可对照检查，对
19、小学生想象力的提高有积极作用。首先学生要掌握观察方法，尤其是学生“观察应从上、左、前三个方向观察一个物体”，还是“应该从 6 个面观察物体”有分歧时，让学生充分讨论，教师适当引导，让学生初步掌握观察物体基本技能，体会了从三个面观察的价值，渗透“维度”概念。接着要把握想象时机，在观察前先行想象，合理猜测，关注观察、想象的有序性。板书中“想-画-摆-看-画”，前后两“画”作用不同，前面的是把想象的结果物化成“画”，后面的是观察后验证想象结果的准确性。想象前后对比，就是学生想象的原点与观察结果的比较、修正,这种对头脑中建构的表象与观察结果自我回顾与梳理，自我修正与完善，正是想象能力培养和提高的过程。
20、所以，想象与观察并不是孤立开来的，也不是随意安排的，两者应该相辅相成、科学安排。想象更不是“胡思乱想”，它基于一定的观察技能和技巧，是有目标的思考过程。2、“对比抽象”是想象的核心在“平面图形”与“立体图形”转换的过程中，需要教师引导学生观察图形的转换结果并进行比较思考，发现规律，寻求方法。通过对比抽象，将表象内化，让学生体会不同的立体图形能抽象出相同平面图形，相同平面图形能摆出不同的立体图形，在互逆训练中发展空间想象力。片段二在上述片段一后，笔者继续安排了如下教学环节：图 21.根据平面图，猜想立体图形。（1）用 4 个正方体搭，要使前面看，左面看的不变（如图 3），这个立体图还可以怎么摆？
21、（2）投影反馈，师整理出 6 种摆法（图 4）。（3）质疑：那么多不同摆法，为什么从前面看到的不变？从左面看到也不变呢？（4）师生概括：无论后面一个小正方体怎么移动，不影响前面看到的平面图形的形状，始终是横着 1 排，有 3 块小正方体。从左面看同理。生 1 受启发，展示了他“错开摆”的作品（图 5）师：请每个同学再想象验证一下。对猜想的立体图进行有序地对比反思，将学生的想象关注点从“三个面”扩展到“整个几何体”，让学生获得对立体图形状、大小的整体感知，在头脑中形成完整的表象。当教师问：那么多不同摆法为什么从前面看到的不变？学生的回答已经模糊地透露出观察的本质规律：立体图的长和高不变（31），
22、从前面观察到的图就不变；立体图的宽和高不变（21），从左面观察到的图也不变。而生 1 的“错开摆”更是让我惊喜，从中学生的空间想象和推理能力自然得到培养。3、“沟通应用”是想象的深化当学生经过想象、比较建立清晰的空间观念后，教师应有意识地引导学生在解决实际问题的过程中，沟通知识间的联系，将抽象的“概念、符号、规律”具体化、生活化，灵活进行想象，体会内在价值。片段三思维拓展练习：1.出示靠墙的“ 合唱站台” 。（如下左图）2.思考：如果要在上面铺红毯，要铺多大面积？引导学生运用观察物体的方法，将原来多个面转化成 2 个面。（如下右图）这是一道五下长方体表面积常见的题，虽然学生还没有进行相关内容学
23、习，但通过本课观察物体的方法，打开了学生解决问题的思路，让生活问题图 3图 4图 5“数学化”解决，体会数学学习的价值。更广泛地说，无论是哪个活动步骤都应合理地处理“动手”和“动脑”的辩证关系，无所谓孰轻孰重，也没有谁先谁后，两者是相融的。而在这过程中，教师应关注学生的思维最近发展区，把握想象的形式和难度，激发学生想象的主动性。策略二：往来复去抓本质，实施跨维度互逆训练小学生对几何概念的理解是在反复的沟通、运用中，从具体到抽象、从模糊到清晰、从感性到理性的螺旋上升的过程。跨维度转换往往又是可逆的，因此更需要教师重视知识内在的分析，通过不同维度的互逆训练，培养抽象概括的能力和逻辑思考的能力。比如
24、认识东南西北中绘制校园示意图是“立体图形平面化”的典型素材，老师们困惑：学生在三维空间认识东南西北与平面图上认识的“上北下南左西右东”似乎是两回事？如何通过二维与三维的转化沟通，感悟本质规律？1.观察三维空间，制作校园平面示意图。（1）想象并介绍校园中四个典型建筑的方位，交流将立体的校园绘制成平面图的价值：方便携带、便于表达交流。（2）小组合作，制作出校园平面图并展示。（3）分析比较：这四幅图一样吗？引导学生发现面朝方向不同，则图上方的方向不同，但四个建筑所对应的方向永远不变。（4）转一转图，统一方向，引出制图标准。2.根据平面图想象三维空间图。（1）出示中国地图找浙江，出示浙江地图找宁波，出
25、示宁波地图找学校。（2）做小导游：根据学校附近旅游景点图，想象每个景点实际往哪个方向走？“观察三维空间绘制二维平面图，根据二维平面图想象三维空间”这种双向互逆的转换强化了空间表象，反复沟通生活实际和平面图的联系。在这个过程中，教师不断让学生进行对比、分析、想象，让学生深刻认识到无论在三维空间或二维平面图上，东南西北始终按顺时针排列，东西相对、南北相对等内在规律，从而应用规律解决实际问题。策略三：精心选择素材，科学运用直观手段跨维度转换的教学内容，光用语言讲解往往“说不清，理还乱”，所以教师会运用学生学具操作、教师教具演示、多媒体演示等手段，这些能为学生的想象扫除障碍，是不是一切直观素材对教学都
26、是有利的？比如老师们常常会在“观察物体”系列课中，使用照相机、摄像机代替人眼进行观察，或制作成多媒体课件。但在老师组织学生同一角度观察一个长方体，最能能看到几个面时，居然有学生说看到了 4 个面，教师不加追问用摄像机代替人眼验证，否定了那个孩子的回答。课后通过访谈和实验，发现孩子说的不无道理。当一个人双眼注视同一物体，物体分别在两眼视网膜成像，并在大脑中叠加成为一个具有立体感的单一物体，这叫双眼单视。四、五年级孩子瞳距大约 55mm 左右，而长方体学具长宽高都小于瞳距，左右眼能观察到上、前、左、右 4 个面，而摄像头只相当于人的一只眼睛，从顶点处自然只能观察到 3个面。看来教师应科学辩证地看待
27、直观手段的使用，多从学生角度分析实验，做到适度、适量、适时。切不可：媒体在动，教师在说，学生在做，但就是不“想”。总之，空间观念的培养是一个长期的任务，需要教师高屋建瓴地理解并沟通知识本质，挖掘教学素材，真正从学生认知发展规律出发，保证想象的时间和空间，科学有序地开展实施。更广泛地说，空间观念形成的过程就是“数学思维内化”的过程，而“跨维度转换”正是在“求联系”的过程中逐步引导学生想得更深、更清晰、更有条理。【参考文献】1数学新课程标准.人民教育出版社2张奠宙.浅而不错、分而不碎，着眼于数学素质的养成.小学教学（数学版）.2014（12）3唐彩斌.转换发展学生空间观念的基本策略（一）小学教学教师.2014（5）4张奠宙.深入浅出，平易近人.小学教学（数学版）.2014（9）5钱金铎.在“空间与图形”教学中实施“动态想象”有效性策略的思考.福建教育.2010（11）
