1、1微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限 23lim(1)ijkt t18ijk2设 ， ，求 0 f)sn2g()tte0lim()tfgt3已知 ， ， ，则42r(d=,3t， 64rd=,2,1a,1b.62)()a+bat,954已知 （ 为常向量） ，则 (rt()rtc5已知 ， （ 为常向量） ，则 )21ta6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和 密切平面_.7. 曲率恒等于零的曲线是_ 直线_ .8. 挠率恒等于零的曲线是_ 平面曲线_ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线 在 t = 2 处有 ，则曲线在
2、t = 2 处的曲率 k = 3 .()r311. 若在点 处 则 为曲面的_ 正常_点.0,uvv0ur， 0(,)uv12 已知 ， ， ，()ln)fttjtk(sin(cos)gtttj0则 40dgt4cos6213曲线 在任意点的切向量为 3(),trte2,3te14曲线 在 点的切向量为 cshin,ata0t0,a15曲线 在 点的切向量为 ()o,rttb b16设曲线 ，当 时的切线方程为 2:,ttCxeyz1t 21zeyx17设曲线 ，当 时的切线方程为 .ttt e,sin,co0zy18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _.19. u曲线
3、（v 曲线）的正交轨线的微分方程是 _ E du+Fdv0（F du+Gdv0）_.20. 在欧拉公式 中， 是 方向(d) 与 u曲线 的夹角.221csinkk21. 曲面的三个基本形式 、高斯曲率 、平均曲率 之间的关系是 .,2HK22已知 ，其中 ，r(,)uvvu 2,sintvt则 drt2cos,2costtt223已知 ，其中 ， ，则r(,)cos,cosin,siaaa t2tdr(,)tsinco2in2co,cosat ta24设 为曲面的参数表示，如果 ，则称参数曲面是正则的；如果(,)uv 0uvr是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面:rG25如果 曲线族和 曲线
4、族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 26平面 的第一基本形式为 ，面积微元为 (,),0v2dduv27悬链面 第一基本量是 rcosh,csin,uvuv 22cosh0,coshEFGu，28曲面 上坐标曲线 ， 的交角的余弦值是 .zaxy0x0y2200(1)()axy29正螺面 的第一基本形式是 (,)cos,in,ruvuvb 2ddubv30双曲抛物面 的第一基本形式是()(),2auv222 22(4)d4d(4)ababv31正螺面 的平均曲率为 0 ,cos,in,ruvuvb32方向 是渐近方向的充要条件是 (): 22()00nkLduMvNd或33. 方向
5、和 共轭的充要条件是d():(,)0)rLuMdvuNdvI或34. 是主曲率的充要条件是 0ELFG35. 是主方向的充要条件是 (d):uv 22dd00vduuvLMEFGuNLN或36. 根据罗德里格斯定理，如果方向 是主方向，则():)nndkr， 其 中 是 沿 方 向 d的 法 曲 率37旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面 S 上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于 (C)在 P 点的切平面上的正投影曲线 (C*)的曲率39 之间的关系是 ,gnk22gnk40如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为3cossin2
6、2sinvuEGd=sEudv42曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .二、单项选择题1已知 ，则 为（ A ） (),ttrer(0)A. ； B. ； C. ； D. .,01,0,11,02已知 ， 为常数，则 为（ C ） ()rtt ()rtA. ； B. ； C. ； D. .aateaea其中 为常向量3. 曲线(C) 是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ） A切线与固定方向成固定角； B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直； D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A至少有两个； B只有一个； C只有两个； D
7、可能没有.5球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A测地线； B曲率线； C法截线； D渐近线.6. 已知 ，求 为（ D ） r(,),xyx(1,2)drA. ； B. ； d2d,0xyC. ； D. .-,+,0 27圆柱螺线 的切线与 轴（ C ）.cosinrtzA. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角 ； D. 有固定夹角 .438设平面曲线 ，s 为自然参数， 是曲线的基本向量叙述错误的是（ C ） :()Cr,A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .kk9直线的曲率为（ B ） A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.10关于平面曲线的曲率 不正确的是（
8、D ） :()CrsA. ； B. ， 为 的旋转角； ()ks ()ks()sC. ； D. . |r11对于曲线， “曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（ D ） 4A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件.12下列论述不正确的是（ D ） A. 均为单位向量； B. ； C. ； D. .,A13对于空间曲线 ， “挠率为零”是“曲线是直线”的（B ） CA. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件.14 在点 的切线与 轴关系为（ D ） 2sin4),cos1(),sin( taztay
9、tax zA. 垂直； B. 平行； C. 成 的角； D. 成 的角.3415椭球面 的参数表示为（ C ） 221xyzabcA. ； ,os,sin,B. ；osixyzbC. ；,c,c,aD. .ssini216曲面 在点 的切平面方程为（ B ） 23(,),ruvuv (3,57)MA. ； B. ；21350xyz18410xyzC. ； D. .768 617球面 的第一基本形式为（ D ） (,)cos,csin,ruvRvuvRA. ； B. ；22din)22(dcosh)uvC. ； D. .(h18正圆柱面 的第一基本形式为（ C ） ,)cos,in,ruvvuA
10、. ； B. ； C ； D. .2d2d22duRv22duRv19在第一基本形式为 的曲面上，方程为 的曲线段2(,)sihvI 1()v的弧长为（ B ） A ； B ；21coshv 21sinhiC ； D 12 12v20设 为正则曲面，则 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ） MA ； B ； C ； D 0E0F0G0M21高斯曲率为零的的曲面称为（ A ） A极小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面22曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ） 5A ； B ； C ； D 301223当参数曲线构成正交网时，参数曲线 u-曲线的测地曲率为（ B ） A
11、 ； B ； 1ln2Euln2EvGC ； D lGv1lu24如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ） A 直线； B 平面曲线； C 抛物线； D 圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打）1. 向量函数 具有固定长度，则 . ()rt()rt2. 向量函数 具有固定方向，则 . A3. 向量函数 关于 t 的旋转速度等于其微商的模 . ()t ()rt4. 曲线 的曲率、挠率都为常数，则曲线 是圆柱螺线. 5. 若曲线 的曲率、挠率都为非零常数，则曲线 是圆柱螺线. 6. 圆柱面 线是渐近线. cos,in,rRz7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 8. 两个
12、曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 9. 等距变换一定是保角变换. 10. 保角变换一定是等距变换. 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 16. 曲面上的直线一定是测地线 17. 微分方程 表示曲面上曲线族. A(,)B(,)0uvdv18. 二阶微分方程 总表示曲面上两族曲线. 2 2(,)0udvCud19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是 ，这里 是第一基本
13、量. F20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. 22. 球面上的圆一定是测地线. 23. 球面上经线一定是测地线. 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. 四、计算题61求旋轮线 的 一段的弧长)cos1(),sin(taytax20t解 旋轮线 的切向量为 ，则在)rt ()cos,inrat一段的弧长为： 20t2200()d1cosd8srtat2求曲线 在原点的切向量、主法向量、副法向量teztytx,co,sin解 由题意知 ，()si,cosin,ttr e，2i2cs2tttt在原点，有 ，(0),1(0),)r又 ， ，
14、, rr r所以有 .263(0,),(,),(,)33圆柱螺线为 ，)cosinrtatbt求基本向量 ； 求曲率 k 和挠率 .,解 ， ，()in,tt()cos,in,0rtatt又由公式 , rrr 2 21 1sin,co,cos,in0,sin,co,atbt bttab a 由一般参数的曲率公式 及挠率公式3()rkt2(,)rt有 ， .2akb2b4求正螺面 的切平面和法线方程(,)cos,in,ruvuv解 ， ，切平面方程为cosin0u cos,vrb，icsn0icsxyzvuvsino,bvzb法线方程为 csiiosxyzvu5求球面 上任一点处的切平面与法线方
15、程 (,),cin,sraa解 ， ，sinc,in cosin,cso,0ra312iosicoscsc0eeraa72coscos,sin,a球面上任意点的切平面方程为2,i,icoscs,oin,s0,xyaza 即 ，coscosns0xy法线方程为 2(,i,i)cos(cs,oin,s),xayaza 即 cscsinooin6求圆柱螺线 在点 处的密切平面.,xtytz(,0)解 ()sinc1rta()cosin,ratt所以曲线在原点的密切平面的方程为0sincos1ixyzatt=或即 .i)()sin0txtyazt(7求旋转抛物面 的第一基本形式2)解 参数表示为 ，
16、， ，2(,()rxy1,02xra0,12yra， ， ，214xEra4yFra 24yG22(d,)()d8d()dyI8求正螺面 的第一基本形式,cos,in,uvuvb解 ， ，cosin0urcos,vr， ， ， 1EuF 2vrub22(d,)()duvubvI9计算正螺面 的第一、第二基本量(,)cs,in,解 ， ，cosin0urv cosvr， ， ，, i,0us,in,0vruv，cosinsin,co,iuvijkrvb，2,co,uvbunr， ， ，1E 0uvFr2vGrub， ， 0uL2bMn0vNrn10计算抛物面 的高斯曲率和平2zxy均曲率8解 设
17、抛物面的参数表示为 ，则2(,),rxyxy， ， ， ， ，1,02xr012y 00,xyr02yr， ，,xyijkxy，2,1|4xyrny， ， ，1xE 4xyFr214yGr， ， ，21Lr 0xyMn 241yNnxy，22 2244()(4)(1)NxKEGFyxy32211LH11. 计算正螺面 的高斯曲率.(,)cos,in,ruvuva解 直接计算知， ， ， ， ， ，1E0F2G0L2Mua0N22()LNMaKu12. 求曲面 的渐近线.zxy解 ，则 ， ， ， ， 22zpzqxy20zr2zsyx2ztxy所以，L=0， ，421y421Ny渐近线微分方程
18、为 ，42420xdxyd化简得 ， (2)0dyxy0y或渐近线为 y=C1，x 2y=C2 13. 求螺旋面 上的曲率线.cos,in,ruvb9解 uvrcos,in0,rusin,cov,bv2 22uE1FrGuv 2bsi,cos,si,s,urnnvub， uuvvr=0,rsi,0,rcos,inv,0 2bL,M,N0u曲率线的微分方程为:或222dd10ub=0dubv21积分得两族曲率线方程: 221 2vln(ub)cvln(ub)c.和14. 求马鞍面 在原点处沿任意方向的法曲率.2,r解 ， 1,0,uv22 24,4,1AuvErFrGv2()8()dd，uv2,
19、1rn4uLr,AuvMnr0,Av2Nnr4uv1A， .22221414dudvv 22n 2duv)4k=()8(或15. 求抛物面 在(0,0)点的主曲率.()zaxy解 曲面方程即 2,r1,02,0,1,xyr E(0)F(,)G(0,)=1=1，,2xyarraLaMN(0,)2a代入主曲率公式， ，所以两主曲率分别为 . Nk01k16. 求曲面 在点(1,1)的主方向.2,ruv10解 ur=,102,vr12214,14EuFvG(,)5(,)4(,)5;EFG=2 2,0, ,LMN+u+v1代入主方向方程，得 ,21,10,3LNM()()0dvd即在点(1,1)主方向
20、 .:;1:duvuv17. 求曲面 上的椭圆点，双曲点和抛物点23(,),rv解 由 得 23uur=,02,vr,3uvvr=,r,0624 246,0, ,9191vLMNu+vu+241LNM.+9v0时，是椭圆点；v0时，是双曲点；v =0时，是抛物点.18. 求曲面 上的抛物点的轨迹方程32(,),ruvu解 由 得 ur,212,vr31uuvvr=,r,020602 261,0,uvLMNEG-FEG-F令 得 u=0 或 v=0 327LNM=.EG-F所以抛物点的轨迹方程为 或 .r,30r=,u219.求圆柱螺线 自然参数表示.()cos,inrtattb解 由 得 (),itsi,co,ratb-， 2()+,rtab弧长 220+=,tsbdtt2+曲线的自然参数表示为 222()cos,sin,.+sraabba20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为 则主法线曲面为：as=(),r=sv,()则 ,b-kabk,A2所以腰曲线是 22rsss()()+()21求位于正螺面 上的圆柱螺线co,in,xuvyzav（ =常数）的测地曲率00cos,in,xuvyza0
