1、函 数【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合ABfAx中都有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则()fx B）叫做集合 到 的一个函数，记作 f :fAB函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足,ababxbx,ab的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集合叫xx(,)abxx做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实
2、数 的集合分别记做,),xx,)(,(ab注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 |xa(,)abbab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 是整式时，定义域是全体实数()fx 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合()fx对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 中， tany()2kZ零（负）指数幂的底数不能为零若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数()fx的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的
3、定义域为 ，其复合函数 的()fx,ab()fgx定义域应由不等式 解出()agxb对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：利用常见函数的值域来求一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|
4、y 0；)0(kxy二次函数 的定义域为 R，当 a0 时，值域为 ；)2acbf abcy4)(|2当 af(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为()yfgx()ugx()yfu()gx()fgx增；若 为减， 为减，则 为增；若 为()fuyfu增， 为u减，则
5、为减；若 为减，yx()yf为增，则 为减()gfg（2）打“”函数 的图象与性质()(0)afx分别在 、 上为增函数，分别在()fx,、 上为减函数0a(（3）最大（小）值定义一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对()yfxIM于任意的 ，xI都有 ；（2）存在 ，使得 那么，我们称 是()fxM00()fx函数 的最大()f值，记作 max()fM一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有()yfxImxI；（ 2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最小值，记作()fx0I0()f()fx 1 头htp:/w.xjkygcom126
6、t:/.j ma（4）证明函数单调性的一般方法: 定义法：设 ；作差 ，判断正负号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2121,xA且 )(21xff用导数证明： 若 在某个区间 A 内有导数，则)(f 0， )A（在 A 内为增函数； 在 A 内为减函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(xf )0x， （(xf（5）求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（6）复合函数 在公共定义域上的单调性：)(xgfy若 f 与 g 的单调性相同，则 为增函数；若 f 与 g 的单调性相反，则 为减函数 头htp:/w.
7、xjkygcom126t:/.j)(f )(xgf注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（7）一些有用的结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；)(xf)(xg)(xf)(xg增函数 减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j函数 在 上单调递增；在)0,(baxy,ba或上是单调递减 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,0ba或 ，【1.3.2】奇偶性定义及判定方法函数的性 质
8、 定义 图象 判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若奇函数 的定义域包含 ，则 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 为偶函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ()fx0()0f()f()|)f奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性
9、相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反y在公共定义域内，奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j()0fx()f函数周期性定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒成立，则 f(x)叫做周期函数，T)(xfTf叫做这个函数的一个周期 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域； 化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ； 画出函数的图象利
10、用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换 0,|() ()hyfxyfxh 左 移 个 单 位右 移 个 单 位 0,|() ()kyfxyfxk 上 移 个 单 位下 移 个 单 位伸缩变换1,()()ff 伸缩 1,()()Af f 缩伸对称变换()()xyfyfx 轴 ()()yfxfx 轴 原 点 1 直 线() (|)yyyyfx yfx 去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并 作 其 关 于 轴 对 称 图 象|()|fx 保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方
11、图 象 翻 折 上 去y=f(x) y= f(x); y=f(x) y=f(x);y=f(x) y=f(2ax); y=f(x) y=f1(x); 轴x轴y ax直 线 xy直 线y=f(x) y= f(x) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j原 点（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章 基本初等函数( )2.
12、1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是奇数时， 的,1nxaRxnNxana次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符an号 表示； 0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根nn式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时， 为任意实数；当anna为偶数时， 根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ()nana 0|() na（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是： 且 0 的正分数指数幂等于 0(0,mnanN1)正数的负分数指数幂的意义是： 且 0 的
13、负分数指数幂 1)(,mna )n没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 (0,)rsrsaR()(0,)rsrasR ()rrbbr【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数，(0,1)xaNa且 xaNlogaxN叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xaxa（2）几个重要的对数恒等式， ， log10al1alba（3）常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） lN10loglnNloge2.
14、718（4）对数的运算性质 如果 ，那么,0,aM函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时， ,1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况1(0)()xxa(0)1()xxa变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低aa01xyx(,)O101xyx(,)Oy加法： 减法：logllog()aaaMNlogllogaaaMN数乘： nnRlaN 换底公式：loglog(0,)baabllog(0,1)ba且【2.2.2】对数函数及其性质
15、（5）对数函数函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， (1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log1()l0aaxlog01()laax变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 如果()yfxAC()yfx()xy对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子C()xA表示 是 的函数，函数
16、叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上()xyxy()yfx1()xfy01 xyO(,)xlogayx01 xyO(,)xla改写成 1()yfx（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；()yfx1()fy将 改写成 ，并注明反函数的定义域1()xfy1()fx（8）反函数的性质原函数 与反函数 的图象关于直线 对称()f1()yfyx函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域yx 1()f若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上(,)Pab()yfx,Pba1()yfx一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义一
17、般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇y非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 0,(1,)单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果 ，则幂函数的0,0图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴(0,)xy奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 （其中 互
18、qp,质， 和 ） ，若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是pqZpqqpyxpqpyx偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数qp图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，,(0)yx101xyx1其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线1xy1下方yx补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式： 顶点式： 两根式：2()(0)fxabc2()(0)fxahka（2）求二次函数解析式的方法12()f已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便x ()fx（3）二次函数图象的性质二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是2()(0)fxabc ,2ba4(,2bca当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时，0(,2ba,)2ba2bxa；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，2min4()cbfxa0(,)当 时， 22max4()cbf二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点2(0)f240acx1212(,0),|Mxxa
