71解析函数的特性教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论.重点：保角映射的概念与性质.难点：解析变换的保域性.课时：4课时教学过程：前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理.一解析函数的保域性.定理7.1 (保域定理)设在区域内解析且不恒为常数,则的象也是一个区域.证明：按区域的定义：要证是一个连通开集.首先证明是一个开集即证的每一个都是内点,设是内的任意一点，则存在，使得，由第六章的儒歇定理，必存在的一个邻域.对于其中的任一数，函数在内（是内的邻域）必有根，即，这记.表明是的内点.由的任意性知是开集其次证明是连通集.由于是区域,可在内部取一条联结的折线.于是： 就是联结的并且完全含于的一条曲线.从而,由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结内接于且完全含于的折线. 从以上两点，表明是区域.
