1、1对汽车以恒定功率启动的问题中题给条件不自洽的研究叶玉琴安庆市第二中学 安徽 安庆 246000联系方式 13966432503摘要：汽车以恒定功率启动时做加速度逐渐减小的加速运动，由于中学阶段学生的数学知识和能力受限制，故相关问题通过增加已知量来考场学生的相应能力，但有时就出现了条件不自洽的情形，文章就此问题展开了研究。关键词：恒定功率 启动 条件不自洽 汽车以恒定功率启动时作加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减为零时，速度达到最大。这类习题是高中物理的机械能守恒定律章中的经典题，几乎在各种不同的教辅资料都有，高中阶段的常见解法根据功率公式和动能定理求解，但是通过仔细分析，我们发现有不少教辅
2、资料的习题在编写数据时出现错误，出现了题给条件的不自洽情形，现以具体题例分析如下：题目. 一辆质量为 5 t 的汽车以额定功率 P=6104W 从静止开始启动，汽车受到的阻力为车重的 0.1 倍，启动后经过 20s 达到最大速度求：（1）汽车的最大速度；（2）汽车达到最大速度时的位移这道题的一般解题过程是：解：汽车达到最大速度时牵引力等于阻力： ，minFfmaxin612(/)PsFf由动能定理得: ，max0ts2432max11625168().Pts mf 上述解答是极常见的“标准答案” ，看似天衣无缝，其实不然。因为汽车在保持功率不变的加速过程中，其所经历的时间是速度的函数，也就是说
3、，在本题中，汽车由静止开始达到最大速度 12m/s 的过程所经历的时间是不能随意给定的。题中给出的时间 20s 是否正确呢？如果不是，那么所经历的时间究竟是多少才有意义呢？下面做进一步的分析。根据牛顿第二定律得： Ffma其中 ， ， 化简得： ，PFdatPdftmdtPf两边积分： ，即 00tf20 0()ln()t ff2，22ln()lnmPmPtff从这个时间 t 与速度 的关系式中可以看出：当 t = 0 时， = 0；当 t = 时， =由此可见，汽车以恒定功率启动，理论上是永远也无法达到最大速度的，汽车始终处Pf于加速运动的状态，速度无限接近一个极限 所以编写数据时，需要考虑
4、综合因素，给Pf出一个合理数值条件。将 P=6104W， ， 代入到 关系式中有35t10mkg3.150fmgNt（秒）412ln(60)2ln6t在本题中，由于速度可以无限接近 12m/s ，加之实际行驶时汽车受到的阻力随汽车速度的增大而增大，我们取速度达到 11.9 m/s（11.9 m/s 与理论最大值 12m/s 相差 0.1m/s，即相差 0.83！）时所用的时间为题中汽车由静止启动至达到最大速度所需的时间 ，当 =11.9 m/s 时，用计算器或计算机可算出 t = 45.55s，显然明显大于原题中的 20s，所以本题中的时间数据编写时可取 45s无独有偶，在机械能守恒定律这章的
5、学习中，还有另一个也很常见的例子，那就是汽车从静止开始先以恒定加速度启动至功率达到额定功率后再保持额定功率加速至最大速度，如：题目 . 质量为 2t 的汽车，在平直公路上由静止开始运动，若保持牵引力恒定，则 30s内达到最大速度 15m/s，然后保持功率不变，再经过 15s 又一次达到最大速度 20m/s，求：（1）汽车的额定功率；（2）汽车运动受到的阻力（设阻力大小不变） ；（3）汽车在 45s前进的路程是多少？常规解题过程如下：（1）若保持牵引力 恒定，则汽车做匀加速直线运动，其功率 P 与速度 成正比。F牵当功率增至额定功率 时速度最大，为 =15m/s，运动时间 t1=30s。P额 1
6、设汽车做匀加速直线运动的加速度为 a1，根据牛顿第二定律，有 1Ffma牵 1又因为 ，所以 - ，则 F1额牵 2 1t210.5/ast 3其后保持功率不变，则汽车做变加速直线运动，当 F 牵 等于阻力 f 时加速度为零，速度达到 =20m/s，历时 t2=15s，此时有 ，2 min2Pf额 4由 、 、 、 式可得汽车的额定功率为 =60kW。 1 2 3 4 112a额3（2）汽车受到的阻力为 N。3210Pf额（3）设前 30s 通过的路程为 x1，后 15s 通过的路程为 x2，则 m，251ta根据动能定理，有 ，所以2221Ptfm额241.7m，221()txf额很显然，在
7、题给的数值条件“再经过 15s 又一次达到最大速度 20m/s”的 15s 是否关系式的两个量的约束关系呢？这同样需要经过论证和推算。具体如下t解：汽车在保持额定功率不变加速行驶过程中，根据牛顿第二定律得： Ffma其中 ， ， 化简得： ，令保持牵引力恒PFdatPdfmtmdtPf定时达到的最大速度为 1=15m/s，此时为计时起点，设经过时间 t，速度为 ，两边积分：即： 10tmdPf 120()ln()t ff1122ln()l()mPtPf ff f这就是在本题中汽车以 15m/s 的速度开始在保持恒定功率情形下 关系式。t从这个时间 t 与速度 的关系式中可以看出：当 t = 0
8、 时， ；当 t = 时， =1由此可见，汽车始终处于加速运动的状态，速度无限接近一个极限 =20m/sPf Pf将 P=6104W， ， 代入到此 关系式中有：32t10mkg310fNt.4 42(15)ln(6)ln.53t在本题中，由于速度可以无限接近 20m/s ，加之实际行驶时汽车受到的阻力随汽车速度的增大而增大，我们取速度达到 19.9 m/s（19.9 m/s 与理论最大值 20m/s 相差 0.1m/s，即相差 0.5！）时所用的时间为题中汽车由静止启动至达到最大速度所需的时间 ，当 =19.9 m/s 时，用计算器或计算机可算出 t = 48.89s，显然明显大于原题中的 15s，所以本题中的时间数据编写时可取 50s。从以上两例的分析可以看出，汽车以恒定功率加速时，加速的时间与速度之间存在着一定的函数关系，所以我们教师在编写相关习题时提供的数据一定要符合物理规律，不要把物理问题的处理仅看作的相应公式的套用和简单的数学运算。4
