1、12015 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨 2015 年吉林省高中数学联赛试题及参考答案一、选择题1已知 ，则 （ ）12(), (,1)4logxf(1)fA B C D4122 “实数 依次成等差数列”是“ ”的（ ）dcba, adbcA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若方程 ()20fx在 (,)内有解，则 ()yfx的图象可能是（ ）4已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）,ab601a213bbA. B. C. D. 232 25已知 ，若对任意的 有 恒成立，则实数 的取值范()|fx1x()(0fmfxm围是（ ）A B C D
2、(,1)(,(,2)(,26函数 在 上存在最大值，则实数 的取值范围是（ ）xf34)2aaA B C D)1,25(1,5()21,5(21,5(二、填空题 7四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形， ，且 ，则SCDSABC平 面 SAB四棱锥 的外接球的表面积为 _ _. AB8设数列 na的前 项和为 nS,且 34na(1,2) 则数列 na的通项公式为2_ _ _ 9已知函数 的最小正周期为 ，则 在区间()sin)si()(024fxxxf上的值域为 _ _0,210 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，ABCDEAB平面 ，已知 ， 为线段 上的一AE3FE点，二面角 与二面角
3、 的大小相等，则F的长为_ _DF11从 中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个0,12,9数字用两次） ，如 ，则这样的四位数共有_个5412非空集合 ，当 时，目标280(,)1 axyA(,)xyA函数 既存在最大值，又存在最小值，则实数 的取值范围是_ _zyx a三、解答题 13在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ABC BC， ， bc， ， 23C（）求 的周长的最大值；（）若 ，求 的面积2sini(2)sinAB14已知椭圆 ，直线 交椭圆 于 两点，且 ，判断直线 与圆:14xGylG,|2ABl的位置关系，并给出证明.21xy15已知不等式 对任意的 均成立，求
4、实数 的取值范围ln(1)0xa1xa16已知 ，设实数 满足：,24A 123123,（1） 、 且不全为 ；123,010（2） 、 ；,x（3） 、若 ，则 （ ） ij1ij,ij 3如果所有形如 和 的数均不是 的倍数，则称 为“好集” 123x123x2014A3求“好集” 所含元素个数的最大值A4参考答案一、选择题1 B 2 A 3 D 4 D 5 B 提示：显然 ，且 ，又 为增函数且为奇函数，故0m()fxmx()|fx()()fxfxffffmxx6 B 提示：考虑到 的唯一极大值点为 ，且 ，故xf34)(12x()1()ff，解得 .12a512a二、填空题 7 8 1
5、4()3n9 20,10 65111 38提示：分三类：不含 0 的有 个；含 0 且 0 只用一次的有312943CA个；含 0 且 0 用两次的有 个，于是共有21964C22916C个30483812 ,)提示：当 时，区域为三角形，显然满足；当 时，目标函数 分别在边界2a 2azyx和 上取得最小值和最大值10xy80xy三、解答题 13 （）由余弦定理及已知条件得， ，24b于是 ，得 ，所以 的周长的最大值为2()()434aabaABC6，当 为等边三角形时取到ABC（）由 2sini(2)sinC5得 ，sin()si()4sincoBAA即 ， co2c当 时， ， ， ，
6、 ，s06B3a2b当 时，得 ，由正弦定理得 ，cAsiniAa联立方程组 解得 ， 24ab， 34所以 的面积 ABC 12sinSC14当直线 的斜率不存在时，由 知点 的坐标分别为 ， ，即直线l |AB,(0,1),)的方程为 ，此时直线 与圆 相交。l0xl21xy当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .l kxm由 得 .2,14ykmx22(4)840kxm设 两点的坐标分别为 ，则,AB12(,)(,)y， ，12284kx214xk.22()()6(1)0mm 所以 .|AB2211(4kxx226(41)(km从而 。22)(4)(圆 的半径 ，其圆心到直线 的距离2
7、1xyrl22222|4(1)41()mkkd r当 时，直线 与圆 相切，当 时，直线 与圆 相交。21kl2xy2l21xy综上，直线 与圆 相切或相交。115由已知， 对任意的 均成立ln()0xa1x记 ，其中 。()l1f当 时， （其中 ）1a()ln0(1)fxa1x6故 在 上单调增，故 ，符合题设；()fx1,)()10fx当 时，若 ，则 ，故 在 上单调减，故a1axelnfa()fx1,)ae，不符合题设()0fx综上， 116 （1）构造一个 元“好集” 53A设 ,A若 均不为 ，则 ，即 为奇123,0123123(mod2)xxx123xx数，一定不是 的倍数4
8、若 中有 ，不妨设 ，则由（1）知 中至少有一个不为 。由条件（3）知123, 3012,0。又 ，因此0x1212|1524xxx 一定不是 的倍数124显然 为奇数，一定不是 的倍数13x2014综上， 为 元“好集” ,5,A 53（2）设 S 为一个 “好集” ，下面证明 |0S设 的最小元素为 ，则 中任意两元素的差不为 否则设 ， ，dd12,aS12ad得 为 的倍数，矛盾120ad14将 中大于 的元素从大到小每 个分为一组，设可分成 组，余下的,3,6 d2dq个数（ ）为 ，显然 ， 组中的每一组至多r02r 1,2,r 106qr有 个数在 中dS由“好集”的定义知， ，且 和 不同在 中04,7Sk24kS我们不妨设 ，否则只需将 中大于 的元素换成 ，理由1,23,6 1072014k是若 中有某个 ，则将其中的 变为 ，将 变为 后得123xx107ixiiixix到的数与 对 不改变mod24下面对 分情况讨论：r若 ，则 中至多有 个数属于 ，所以2d 1,r 1dS7|(1) 5032rdSdqdq 若 ，则 即 0r |S 11503.2rdq |503S综上，任意一个 “好集”S 必满足 |503S由（1） （2） ， “好集” 所含元素个数的最大值为 A
