1、自动控制原理课后习题答案 第一章 （略） 第二章 2.1 试分别写出图2.68中各无源电路的输入u(t)与输出u(t) 之间的微分方程。 rc 图2.68 习题2.1图 解： uuuRRRRRu)iC(urcc21212uCuiiCuiu ，(a) rc2ccr121rRRRRRRRR12121212uuu)iC(uuiRuiiCur1i ， ，(b) rc11c12111222R1(RCRCRC)uuRRCCu(RCRC)uuRRCCu c111221cc1212r1121rr1212u1uu1C(uu)iiiuidturci ， (c) 12c111r121RCR122(RCRRCCuRC
2、RC)uuRRCCu(RCRC)uu c1212122221cc1212r2221rr 2.2 试证明图2.69(a) 所示 电路与图2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。图2.69(b) 中 X(t)为输入，X(t)为输出，均是位移量。 rc (a) (b) 图2.69 习题2.2图 解： 1 1uuu)iiiiC(uuidtiRrci ， (a) c2rc21211CR12(RCRCRC)uuRRCCu(RCRC)uuRRCCu c111222cc1212r1122rr1212x)KxB(xx)K(xx)B(xx)B(x ， (b)c1211rc1rc2c12BBBBBBBBB1
3、21221212()xx()xxxx cccrrrKKKKKKKKK121211212 2.3 试分别求出图2.70中各有源电路的输入u(t)与输出u(t)之间的微分方程。 rc (a) (b) (c) 图 2.70 习题2.3图 解： uuRcr2uRCuuCu ， (a) rc2rrRRR121uuRcr2RCuuuCu， (b) c2ccrRRR121uu1RCuuRCurruRdt ， (c) c2rr1c2RCR11 2.4 某弹簧的力-位移特性曲线如图2.71所示。在 仅存有小扰动的情况下，当工作点分别为x=-1.2、0、2.5时，试计 算弹簧在工作点附近的弹性系数。 0 2 图2
4、.71 习题2.4图 解： fxf=g(x)。取增量方程： 设力与位移的关系为 dg(x)fx ， x=-1.2、0、2.5 0 dxx0302016dg(x) 60,20,8为工作点处的弹性系数，分别从曲线中量出为 dx0.512x0 2.5 设某系统的传递函数为G(s)，在初始条件为零时，施加输入测试信号r(t)= t（t0 ）,-2t测得其输出响应为c(t)=1+sin t +2 e（t 0）,试确定该系统的G(s)。 解： 4323s3s5s2s1112R(s)C(s)G(s)， 2232ss2s1ss2ss2 2.6 系统的微分方程组如下： dx(t)1Kx(t)x(t)r(t)c(
5、t) , x(t) 1112dtx(t)Kx(t) , x(t)x(t)x(t)Kc(t) 3224355dx(t)dc(t)5Kx(t) , Kx(t)Tc(t) 3445dtdt其中，K，K ，K，K，K，T均 为正常数。试建立系统r(t)对c(t)的 结构图。 12345解： 3 2.7 系统的微分方程组如下： x(t)r(t)c(t)n(t) , x(t)Kx(t)11211dx(t)4x(t)x(t)x(t) , Tx 3253dt2dc(t)dc(t)x(t)x(t)KnNN(t) , Kx(t) 5422052dtdt其中K，K，K ，T均为正常数。试 建立系统结构图。 012解
6、： 2.8 图2.72是一个模拟调节器的电路图。试写出输入与输出之间的微分方程，并建立该调节器的结构图。 图2.72 习题2.8图 解： uuduuu1uuc1112i(C)iuidtrci ， (a) 221121CRdtRRRR122345RRRCCRRRC134121342uuuu cccrRRR525 4 2.9 图2.73是一个转速控制系统，输入量是电压u，输出量是负载的转速，试写出其输a入输出间的微分方程，并画出系统的结构图。 图2.73 习题2.9图 解： didaBMJuiRLKMKi ， ，(a) daaaaediadtdtLJRB11aa(1)(RJLB)u aaaKKKK
7、KKKieieiee 2.10 某机械系统如图2.74所示。质量为m 、半径为R的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通 过轴心)，假定圆筒在倾 角为的斜面上滚动(无滑动)，试 求出其运动方程和结构图。 图2.74 习题2.10图 5 2.11 试化简图2.75中各系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。 (a) (b) (c)图2.75 习题2.11图 解： GGGG1223G(s) (a) 1GGHGH12221GG(1HH)1212G(s) (b) 1GHHH1112 6 GGGG1234G(s) (c) 1GGHGGGHGGHGGGGH233123234412341 2.12 已知系统结构
8、如图2.76所示，试 将其转换成信号流图，并求出C(s)/R(s) 。 (a) (b) 图2.76 习题2.12图 解： GGGG1212G(s)G(s) (a) (b) 1GHGHGGHH1GHGH112212121122 2.13 系统的信号流图如图2.77所示，试用梅逊公式求C(s)/R(s)。 (a) (b) 图2.77 习题2.13图 解： 0.5KG(s) (a) 32s3.5ss0.5KGGGGGGG(1GH)123415642G(s) (b) 1GGHGGGGGGHGGGHH121123154212412 2.14 试梅逊公式求图2.78所示结构图的传递函数C(s)/R(s)。
9、 7 (a) (b) 图2.78 习题2.14图 解： G4G(s)GGG (a) 1231GHGGHGGH21121252GG2GG1212G(s) (b) 1GG3GG1212 2.15 已知系统结构图如图2.79所示，试写出系统在输入R(s)及扰动N(s)同时 作用下 输出C(s)的表达式。 图2.79 习题2.15图 解： GGGG(1GH)R(s)1GHGGGGGG(1GH)N(s)1213221241342C(s) 1GGGHGGGGGH12213123 2.16 系统的结构如图2.80所示。 （1）求传递函数C(s)/R(s)，C(s)/R(s)，C (s)/R(s)，C(s)/
10、R(s)； 11211222C(s)R(s)11（2）求传递函数阵G( s)，其中，C(s)=G(s)R(s), C(s)=，R(s)=。 C(s)R(s)22 8 图2.80 习题2.16图 解： GGG(1GH)C(s)123521G(s) （1） 11R(s)1GHGHGGG15231578GGGGC(s)15672G(s) 21R(s)1GHGHGGG15231578GGGGC(s)34591G(s) 12R(s)1GHGHGGG25231578GGG（1GH）C(s)456312G(s) 22R(s)1GHGHGGG25231578G(s)G(s)1112G(s)（2） G(s)G(
11、s)2221 2.17 已知系统结构图如图2.81所示。 （1）试求传递函数C(s)/R(s) 和C(s)/N(s)； （2）若要消除干扰对输出的影响，即C(s)/N(s)=0，试问应如何选取G(s)。 0 图2.81 习题2.17图 9 解： KKKC(s)123 （1） R(s)KKKs(Ts1)123KKKG(s)KKsC(s)123034 N(s)KKKs(Ts1)123Ks4G(s)（2） 0KK12 3.1.已知系统的单位阶跃响应为 60t10tc(t)10.2e1.2e(t0) 试求：（1）系统的闭环传递函数(s)=？ (2) 阻尼比=？无自然振荡频率= ？ n60t10tg(t
12、)12e12e解：（1）由c(t)得系统 的单位脉冲响应为 11600(s)Lg(t)1212 2s10s60s70s6002n(s) （2）与标准对比得： 22s2nn70 60024.51.429， n2600K,K3.2.设图3.36 (a) 所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b)所示。 试 确定系统 参数和a 。 12 (a) (b) 10 图3.36 习题3.2图解：系统的传递函数为 K1 2KKs(sa)n12W(s)KK 2K222sasKs2111nn s(sa)431M又由图可知：超调量 p33t0.1s 峰值时间 p代入得 2Kn11 21e 30.1 21nKK2解得
13、： 10 22ln311108.89K0.3333.3；， ， 1nn21KK3a220.3333.321.98，。 2ntt153 3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量%，调节时间 s，峰值时间s，spp试确定系统极点配置的区域，以获 得预 期的响应特性。 解：设该二阶系统的开环传递函数为 2nGs ss2n 11 21e0.05p33t 则满足上述设计性能指标： snt1 p21n 2110.69得：， nn由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示： 3.4.设一系统如图3.37所示。 (a)求 闭环传递函数C(s)/R(s) ，并在 S平面上画出零极点分布 图；
14、(b)当r(t) 为单位阶跃函数时，求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。 图3.37 习题3.4图 解： (a)系统框 图化简之后有 C(s)2 s2s 2R(s)s0.5s2.253535(sj)(sj) 22 12 35z2,sj 11,22零极点分布图如下： 1Lrtrt (b) 若为单位阶跃函数， ，则 s2112sC(s) 3535s353522s(s)s(sj)(sj) 44 22 3588s1818s2 2 353535s3535s3535352235(s)s2222s()s() 44 22 8835235c(t)costsint 35352235大致曲线图略。 3.5.已知
15、二阶系统的闭环传递函数为 2C(s)n 22R(s)s2snn 分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。 1 (1) =2，=； 5sn1 (2) 1.2，=； 5sn (3) 说明当1.5 时 ，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。 2s11053解：（1）(=2)1, 闭环 极点 1,2nn 13 C(s)25W(s) 2R(s)s20s25251C(s)W(s)R(s) 2ss20s25111TT 215(23)5(23)2(1)ntt TT5(23)t5(23)teeee12c(t)11 TT1TT1643643 2112s1.34,s18.66|s/s|
16、13.95 1221 5(23)te1.34tc(t)111.07735e 643t2.29s s 2s1650.44 （2）(=1.2)1,闭环极点 1,2nnC(s)25W(s) 2R(s)s20s2511TT , 125(1.20.44)5(1.20.44)tt TT5(1.20.44)t5(1.20.44)teeee12c(t)11 TT1TT11.20.441.20.44211211 1.20.441.20.44 s9.32s650.442.68, 2111t(6.451.7)(6.451.21.7)1.2s s5n 2s17.551.25s1.91s13.091.5时，。， （3）
17、答：1,2nn12 14 |s/s|6.855两个闭环极点的 绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点对应的暂态分量初值小、，21衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因此可以忽略掉。 2n3.6.设控制系统闭环传递函数为，试在S 平面上绘出满足下列各要求的系G(s) 22s2snn统特征方程式根可能位于的区域： (1) 1 0.707，2 (2) 0.50，42 nn (3) 0.7070.5，2 n3.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变， 测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度升为稳态值的50% 或63.2%所需的 时间，利用
18、转速时间曲线（见图3.38）和所测数据，并假设传递函数为 (s)KG(s) V(s)s(sa) aK可求得和的值。若实测结果是：加10V电压可得 图3.38 习题3.7图 rmin1200/的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s ，试求电机传递函数。 (s)Kd =，rad/s 提示：注意 其中单位是(t) saV(s)dt(s)K=可得 解： 由式 saV(s)KK1010K110K11(s)V(s)() 1sasasaassas(s1) at10K at(t)(1e)(1e)T 0a1.2a1.2a(1e)0.5(1.2)(1e)0.5 00 15 ln2a0.58 1.210K12
19、00rmin20r/s 0aa0.58200k1.16 1010(s)K1.16G(s)电机传递函数为： V(s)s(sa)s(s0.58)3.8.系 统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。 432s3s3s2s20 (1) 32 (2) 0.02s0.3ss2005432s2s2s44s11s100 (3) 432 (4) 0.1s1.25s2.6s26s250答案： （1）劳斯表如下： 4s1323s322s732 1s47 0s2劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （2）劳斯表如下： 3s0.0212s
20、0.321s0.260.3 0s2劳斯表第一列元素的符号全为正，系统稳定 16 （3）劳斯表如下： 5s12114s244103s 206 2s223510 123385s 010s劳斯表第一列元素的符号 变化两次，系 统有两个正实部根，系统不稳定 （4）劳斯表如下： 4s0.12.6253s1.25262s0.5225 1s0s劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系 统有两个正根，系统稳定 3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是 1G(s) s(0.1s1)(0.2s1)采用比例控制器，比例增益为K ，试利用劳斯判据确定K值的范围。 p p 图3.39 习题3.9图 K
21、pG(s) 解： s(0.1s1)(0.2s1)32D(s)0.002s0.3ssK0特征方程为： p劳斯表如下： 17 3s0.00212s0.3Kp 0.30.002Kp1s 0.30sKp0.30.002Kp00K150 要使系统稳定只需，解得 。 0.3pK0p3.10.某控制系统的开环传递函数为 K(s1)G(s)H(s) s(Ts1)(2s1)试确定能使 闭环系统稳定的参数 K、T的取值范围。 解：由系统开环传函可知 D(s)s(Ts1)(2s1)K(s1) 322Ts(2T)s(K1)sK0劳斯表如下： 3s2TK12s2TK2K(1K)T2 1s 2T0Ks 由劳斯准则可知，欲
22、使系统稳定， 则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于0，即 T02T0 2K(1K)T20K0K02(K1)(K1)T解得， 2(K1)0T0K1T0K当1 时，当 时,。 K1 3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为 18 *K(s1) (1) G(s) s(s1)(s5)*K (2) G(s) s(s1)(s5)*试确定使闭环系统稳定的开环增益的取值范围（注意KK ） 32D(s)0.2s0.8s(K1)sK0解：(1) 3s0.2K120.8Ks3K4 劳斯表如下： 10s 40Ks4K解得：使 闭环系统稳定的开环增益的取值范围。 332D(s)0.2s0.8ssK0 (2)
23、 由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开 环增益取何值闭环系统都不稳定。 3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为 KG(s) s(1s/3)(1s/6)若要求闭环特征方程的根的实部均小于-，问值应取在什么范 围 ?如果要求实部均小于 2，情况又如何? 解：由反馈系统的开环传函 K18KG(s) sss(s3)(s6)s(1)(1) 3632D(s)s9s18s18K0 32D(z)(z1)9(z1)18(z1)18Ksz1（1）令,得： 32z6z3z18K100劳斯表如下： 19 3z132z618K102818K 1z 60z18K10欲使系统稳 定，则第一列元素符号不能改变，大于零：
24、 2818K0514K得 9918K10032D(z)(z2)9(z2)18(z2)18Ksz2（2）令,得： 32z3z6z18K80a60K如果要求实部均小于2 ，由特征方程可见，系统稳定的必要条件不成立，无 论取2何值，系 统都不稳定。 43.13.单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) 2s(s2s2) (1) 求系统的单位阶跃响应； (2) 输入信号为r(t) =1(t)，求系统的误差函数e(t)； 4G(s)解：（ 1） 开环传递 函数 2s(s2s2)44W(s) 闭环传递函数 22s(s2s2)4(s2)(s2)单位阶跃响应 KsKKK412301C(s) 22ss2s(s2)
25、(s2)s21KK1， 1032KK 2331 12s11112s223C(s) 222ss23s3s233s2s2s2 20 122 2tc(t)1ecos2tsin2t 333 （2）不考虑扰动作用 r(t)1(t) 2G(s) 2s(0.5ss1)KlimG(s)ps0 11e0 ssr1K1p3.14.某控制系统的结构图如图3.40 所示。 (1) 当a=0时，试确定系统的阻尼比，无阻尼自然振荡频率和单位斜坡信号作用时系统的稳nn态误差。 (2) 当系统具有最佳阻尼比（=0.707）时，确 定系统中的a值和单位斜坡信号作用 时系统的稳态误差。 (3) 若要保证系统具有最佳阻尼比（ =0
26、.707）， 且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向图3.40 习题3.14图 通道的放大系数应为多少？ 8821 W(s)G(s)8解：(1) 当a=0时， n2s2s8s(s2)28n1KlimsG(s)4e0.25单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。 ， vssrKs0v88 G(s)W(s)8 (2) 当=0.707时， n2s(s28a)s(28a)s8 28 KlimsG(s)2228428aG(s)a0.25，得，单位斜坡， vns(s4)2s010.5e 。 信号作用时系统的稳态误差 ssrKv 21 KKG(s)W(s) (3) 此时， 2s(s2Ka)s(2Ka)sKKKlimsG(s)4 v2Kas0 2 22K2Ka n23aK32 联立上两式解得 。， 16 3.15已知单位反馈系统闭环传递函数为 bsbC(s)10 432R(s)s1.25s5.1s2.6s10 (1) 求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b,b应满足的条件； 01 (2) 在(1) 求得的参数 b,b下，求 单位抛物线输入时，系统的稳态误差。
