1、道正高中数学解题思维(3)1.在立体几何中有一个 的公式（求夹角公式） ，另外还有一个coscossini两个式子中字母代表的量不同，请问，在 sin 的公式中字母代表什么量？如图。三棱锥 A-BCD 中，AB面 BCD，BCD90，则设ABD ，ABC ，ACD ，CBD ，则 sincosi,2.四面体 P-ABC 中， CPA60， BPC45， PA=1, PB=2, PC=3, 求此四面体体积。解：作 BO面 PAC 于 O ，设 BPO ，则cos3cs2cosAPBo(60)C即 132cssin22cosAPO把代入 得，解得231cos4cos2256s,sin336in3B
2、OP o1162963si3sin03 3BPACVAPBO 3、已知全集 U = R , ,若222|9,|50xaBx，求实数 a 的取值范围()R解： 2|5602,3Bx， 2,3 都不是方程 的根()RRCARBCA22190xa且 解得22190a223190a5,3,2a4、已知 ，则|,|3AxkZBxkZ?,AB解： ，|BA|21,xk5、设 ，若 ，求2|50,|50ApBxq5ABAB解： ， ，BA与2210, qpq与2|50,3,3AxB6.已知 S=a,b,A 包含于 S，则 A 与全集 S 中的 A 的补集的所有有序组对共有A.1 组 B.2 组 C.3 组
3、D.4 组这题什么意思啊 有序组对什么意思啊解答（1）有序组对什么意思啊例如 A=a，则 CS A=b故 A 与全集 S 中的 A 的补集的所有有序组对有（a， b）和（b，a）（2）解本题只要列举就行了因为 A 是 S 的子集所以 A 或 A=a或 A=b或 A=a,b当 A 时有序组对有（ ，a,b ）, （a,b,）当 Aa 时有序组对有（a，b）,（b，a ）当 Ab 时有序组对有（ b，a）,（a，b ）当 Aa,b 时有序组对有（a,b,）,（，a,b）,所有有序组对有 4 组7.在ABC 中， C 60，则 ?abc解：由余弦定理 2222cba()1()()aabccbbc a
4、8.已知 ，求和2()1xf1231013(0)()()22 0()() )()30fffffff 解：21(),()xxff2()1fxx1(3)(0)2()()()212310()()()()010fffffffff 关于对角线对称的两数的和是 ，对角线上由 100 个 ，故这一万个2x(1)f数的和为 100009.设集合 对 M 的任一非空子集 Z，令 表示 Z 中最大数与最小数1,23,0,M 之和，那么所有这样的 的算术平均值是多少？Z解：以 1 为最小值是集合有 个，以 2 为最小值的集合有 ，以 1000 为最小值9 982的集合有 个，因此所有 M 的非空子集的最小值的和为0
5、 980112同理，所有 M 的非空子集的所有最大值的和为99801212故所有的 的和为Z980100()()M 的非空子集有（ ）个，故所有的 的算术平均数为12Z100()/()10.设在ABC 中， ，且 ，则此tant3tanABAB 3sinco4A三角形是什么三角形？解： tant3ttant(an1)3tan()3ABABABAB12033sincosin21064与609ABCABC与11 已知 a、b 均为正数， ，求证：*nN()2(1)abnabn证明： 2(1)(1nab()()() a、b 均为正数， ， 同号或都为 0，即*N()anb与 (0abn故原式成立12
6、 设实数 x、y 满足 且 ，求证：20,x11log()log28xyaa证： 2yyxaaa01 2211log()()log()logl28xya a aaxx13.已知 sin1,cs,cs_,cs()_.ABABABAB与解： co由 得，2 2cos()2cos()0由 得， ， tan1AB21tan()ABAB14.若锐角 A、B、C 满足 222sinisin1sinsi2ABCABC试证： 证明： 222sinii1ii1cosnsns22siiiABCABCcos(coss)in2A2sin(sc)inco022Bc)(is0CABCAB A、B、C 均为锐角，故sino
7、22C15.计算 3164sin0i0cs解： 22222223cosi64sin0icos0isinos co 2222(3c0in)(s0in)1iiico224os154(1)(8)is22(c0n0i5)4(1cos08)22 24os(1cos48)()sin4031in0sin4016. , 求 M , N 的关系|8,|6,MxmZNxpqZ解：N 中的任意元素 x = 20p +16q = 4(5P+4q) = 43P+2(P+2q) = 12P + 8(P+2q)是 M 的元素,但 M 中的元素 x = 121 + 82 28 201 + 8 不在 N 中，故 N 是 M 的
8、真子集。17.已知 a，b 0, a + b =1, 求证： 125(4ab证明： 111() 2abab由于 在 上递减， ，故fx(0,4()4174ab 725()ab18、三角形 ABC 中， 则2(),Sabctan_.A解： 2 21sincos()ScAb18i(os)tanta245b19.已知 ，求证：2()10,abb与 2b证法 1：反证法：假设 ，则与已知矛盾2 221()()()()ba证法 2：设 ，则x222 2()1)1( ()00abxb xxxa与与20.设 a、b 均为正数，求证： 在 和 之间。2b证明：22(1)(2) 0babaaA 在 和 之间。a
9、b21.已知 ，求证：111aa证明： ()() 1a a120()(1)()()()a a 故原式成立。22、某厂值第二年比第一年增长 P%，第三年比第二年增长 q%，又这两年的平均增长率为S%，则 S 与(p +q)/2 的大小关系。解： 2 21(1%)(1)(%)()pqpqspq与+与2 12s s23、已知 x 小于 ，求函数 的最大值。5445yx解：由 ，得011123(4)3545yxyxx(4)3当且仅当 时上式取等号，故当 时 y 取最大值 1.1x1x24、先证明一个有用的定理。已知 是常数，且 求证：数列 是等比数列。1,naABC,0,AB1nBaA证明：111nn
10、naaaAAA是等比数列，公比为 A，首项为nB1Ba由于课本没有给出这个结论，因此我们常用待定系数法来求常数 ，1A已知 求：1134,naan证明：设 ，则 与对照得()nk132nak212n是等比数列，公比为 3，首项为 112nnnaa25 直线 x + y 1= 0 到直线 xsin+ ycos1= 0(45 90)的角是多少？解：因为，直线 xsin+ ycos 1= 0 (45 90)的倾斜角为 180 135直线 x + y1=0 的倾斜角为 135。所以直线 x + y1= 0 到直线 x sin+ ycos1= 0 的角为 135(180 )的补角即 135 26.在某两
11、个正数 x、y 之间，若插入一个正数 a,使 x, a, y 成等比数列，若另插入两个正数 b, c，使 x, b, c, y 成等差数列。求证： .2(1)()1bc证明： 成等差数列，可设 为公差,xbcy,2,3,bxdcyxd成等比数列，a(3)ay2 2(1)(1)()21()1(3)2(3)cxdxxdxd230dxd27.一个袋子有大小相同的 2 个白球，和 3 个黑球，一共摸 2 次，摸一次后放入袋子再摸第二次，求两次摸到不同颜色的球的概率。答案是 （估计是 )，我认为是 1/2，不知道哪个真确1255答： 对方法 1：可以分为第一次摸白第二次摸黑 与第一次黑第二次白两类235
12、325方法 2：把两次白，两次黑减掉 1()28.2004 年北京卷理科第 8 题函数 其中 P, M 为上式集 R 的两个非空子集，又规定,(),xf，给出下列四个判断：|()()|(),fpyffyfxM若 则 若 则,PM;,P();fPf若 则 若 则R()fPfRR.R其中正确判断有(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个解：的反例：取 1,()1,(),()1fPfMfPfm的反例：取 (0,)(,0)(,)(,0)()0,)PMffffR的证明：若 设 则 故aa.(,fM()ff 的证明： 故存在实数 假设 则,PR,PM(),ffR若 则 与 矛盾。故
13、因此 ,()affM()afa()aa由于 故 ,又由于 的元素只能是 0,故,0()aPfaM与 矛盾.综上正确，选 B29、 有三次的怎么算来着？忘记了，哪位好心人告诉我呀！谢谢拉！3275x解： 2 20()20()10xxx或130.函数 f (x)的定义域为 D，若存在 x0D，使 f (x0) = x0，则称以(x 0, x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。若 D = R，则“ f (x)为奇函数，且有有限个不动点”是“f (x)有不动点，且个数为奇数个”的(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件选 B， 函数的不动点既是该函
14、数图象与 y = x 的交点因为 f (x)为奇函数且定义域为 R，所以 f (x)必过(0,0)点因为 f (x)为奇函数所以说如果它在第一象限与 y = x 有交点则有在第三象限的交点所以“f (x) 为奇函数且定义域为 R 且有有限个不动点” 说明了 f (x)有奇数个不动点而“f (x)有不动点，且个数为奇数个”可以很容易地画出一个与 y = x 交点只有一个的直线（例如 y = 2）所以说“ f (x)为奇函数，且有有限个不动点”是“f (x)有不动点，且个数为奇数个”的充分不必要条件。31.2004 年某省高考理工报考学生有 20 万人，考试的成绩服从正态 N(360, 2802
15、).若规定本科学生投档名额为 8 万人。那么可以估计本科投档成绩为多少分？已知 (0.25)=0.6解：设本科投档成绩为 x 分，则 3608()1()1()()2xPxF360360. 4282832.无穷数列的前 n 项和 Sn = npAn(n 属于自然数). 并且 A1 不等于 A2. 1. 求 p 的值; 2.求的通项公式 . 解:(1)由 ,得 ,所以nSa1p10a与若 ,则 与题设 矛盾! 故 ,从而 ，于122+,n 12a1p10a是 ，得 .但若 ,则 ,这又与题设2与 0矛盾!故 , .1a20a1p(2) 由(1)知 nnS11()2得 , 即112nnnnaSa 1(2)()(2)nna当 时也成立. 当 时, 在中取 , 并将各式相乘可得2334, 其对 也适合.故2()()n*2()()nN
