1、高二数学导数的综合应用人教实验版（ B）【本讲教育信息】一. 教学内容：导数的综合应用二. 学习目标本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法。三. 考点分析1、求函数 极值的步骤：fx（1）导数 ；（2）方程 0 的根；f（3）检查 0
2、的根的左右区间对应的 的符号：若左正右负，则 在xfxfx这个根处取得极大值；若左负右正，则 在这个根处取得极小值。f（注：实质为解方程 ，解关于 的方程 0）x2、设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最值的步骤：fx,ab(,)abfx,ab（1）求 在 内的极值；()（2）将 各极值与 ， 比较，确定 的最大和最小值。ffff3、求函数 的单调区间：不等式 的解集为 的增区间；不等式x0xyfx的解集为 的减区间。0fyf（注：求函数的单调区间实质上是解不等式 ）4、几何意义：函数 yf（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 yf （x）在点P（x 0，f （x 0） ）处
3、的切线的斜率。5、常见函数的导函数（1） （a 为常数）1a)(（2） ln(,1)x且（3） loga（4） ()xe（5） 1ln（6） (si)cos（7） ix【典型例题】例 1. 已知函数 在 处有极值，其图象在 处的切线平cbxaxf23)( 21x行于直线 ，试求函数的极大值与极小值的差。y解： xf2由于 在 处有极值 )( 0)(f即 041ba又 3f 3ba由得 , cx2)(令 ，得06f 2,1x由于在 ， 时，),),(0)(f时，,0(xf 是极大值， 是极小值 )f2 4例 2. 已知 在区间0，1 上是增函数，在区间 上是cxbaxf23)( ),1(0减函数
4、，又 .21（）求 的解析式；)(f（）若在区间 （m 0）上恒有 x 成立，求 m 的取值范围,)(f解：（） ，由已知 ，23xabxc0(1)f即 解得032cab， ， ， ， ，()fxx13242afa32()fxx（）令 ，即 ，f 30x， 或 (21)0x 12 又 在区间 上恒成立，f m，0例 3. 函数 ，过曲线 上的点 的切线方程为32()fxabxc()yfx(1,)Pfxy3x1（1）若 时有极值，求 的表达式；y在（2）在（1）的条件下，求 在3，1 上的最大值；()yf（3）若函数 在区间2，1 上单调递增，求 b 的取值范围。()fx解：（1）由 求导数得
5、过 上3abxc2()3fxax()yfx点的切线方程为：(1,)Pf，(1),(1)(32)(1yxyabcabx即而过 上， 的切线方程为Pfy故 即 32abc20在 x2 时有极值，故 0 ()yf()f412ab由式联立解得 ，,4,5bc35fxx（2） 233)(faxx)2 2(, (,3()f 0 0 极大 极小 ，322()()4()513x极 大， 在3，1 上最大值为 13。3(1)415ffx（3） 在区间 2 ，1 上单调递增，又 ，)yf 2()fxaxb由（1）知 ，0ab2()fb依题意 在2，1上恒有 在2，1上恒成立。(fx 20,0b即当 时， ，613
6、ff小 6当 时， ，b()()x小 当 时， ，0b662x201bf小综合上述讨论可知，所求参数 b 的取值范围是：b0。例 4. 已知函数 ，其中 2()()1axfRa（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1yf(2)f，（）当 时，求函数 的单调区间与极值0本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法（）解：当 时， ， ，1a2()1xf4()5f又 ， 22()xf 62所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即yf()f， 4(2)5yx6230x（）解： 22211)()1()()axaxa
7、f x 由于 ，以下分两种情况讨论a（1）当 时，令 ，得到 ， 当 变化时，0a()0fx1xa2x的变化情况如下表：()fx， a， ，()a，()fx0 0 极小值 极大值 所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函f1a () 1a，数函数 在 处取得极小值 ，且 ，()fx1f21fa函数 在 处取得极大值 ，且 a2()()（2）当 时，令 ，得到 ，当 变化时，0()0fx12x，x的变化情况如下表：()fx，a， a，1a，+()fx0 0 极大值 极小值 所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函f)a 1+ 1a，数函数 在 处取得极大值 ，且 ()fx1()f()
8、1fa函数 在 处取得极小值 ，且 2a2【模拟试题】一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）1、若函数 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1x，1y） ，则2)(xf为（ ）xyA、4 B、 C、 D、4x42)(4x2、设 ，则 （0）为 ()|1|fxfA、0 B、1 C、 1 D、不存在3、若 为偶函数，且 存在，则 （ ）)(x)(fA、0 B、1 C、 D、xx4、若可导函数 的导数，即 0 只有一个实根 ，则（ ）fy 0A、 是函数的最值 B、 是函数的极值)(xf )(fC、 在 的左右异号 D、当 有极值时，其极值是0 )(0xf5、函数 ，在 时有极
9、值 10，则 a、b 值为（ ）223abxf1A、 B、 1,43,baba或 1,41,4baba或C、 D、以上都不对516、设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐()fx()fx()yfx()fx标系中，不可能正确的是（ ）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）7、已知函数 的图象过点 P（0，2） ，且在点 M 处的dcxb)x(f23 )1(,f切线方程为 ，函数 的解析式为_。076y)(fy8、设点 是曲线 上的任意一点， 点处切线倾斜角为 ，则角 的P3 取值范围是 。9、已知函数 f（x）x 33ax 23（a2）x1 既有极大值又有极小
10、值，则实数 a 的取值范围是 。10、已知 且 ，则 的取值范围是 ()sin,R()(20ffa。三、解答题（本大题共 4 题，共 50 分）11、已知函数 在 处取得极大值，在 处取得321()()1fxabx1x2x极小值，且 20（I）证明 ；（II）若 za 2b，求 z 的取值范围。12、设函数 在 及 时取得极值32()8fxaxbc1x2（）求 a、 b 的值；（）若对于任意的 ，都有 成立，求 c 的取值范围0， ()f13、设函数 （ ） ，其中 2()fRa（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1yx2f，（）当 时，求函数 的极大值和极小值；a(f（）当 时，证明存在
11、 ，使得不等式310k，对任意的 恒成立2(cos)(cos)fkxfk14、设 a0，f （x ）x1ln 2 x2a ln x（x 0） （）令 F（x ）xf （x） ，讨论 F（x）在（0，）内的单调性并求极值；（）求证：当 x1 时，恒有 xln 2x2a ln x1【试题答案】1、A2、B3、A 4、D 5、D6、D7、解：由 的图象经过 P（0，2） ，知 d2，)(xf所以 ,3cxb.2f由在 处的切线方程是 ，知)1(,fM076y.)1(,)(,076ff即 .3,032.63cbcbcb解 得即故所求的解析式是 .2)(2xxf8、 ,32),09、解：f（x）3x 2
12、6ax 3a 6，令 f（x）0，则 x22axa20又f（x）既有极大值又有极小值f（x）0 必有两解，即4a 24a80解得 a1 或 a2。10、 （，1）11、解：求函数 的导数 ()fx2()fxabx（）由函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，知 是1 212x，的两个根()0fx所以 2()fa当 时， 为增函数， ，由 ， 得 1fx()0fx10x20a（）在题设下， 等价于 即 120()2ff4b化简得 此不等式组表示的区域为平面 上三条直线：23450ba aOb04520ab，所围成的 的内部，其三个顶点分别为： ABC 46(2)47ABC，在这三点的值依次为
13、z1687，所以 的取值范围为 12、解：（） ，2()63fxaxb因为函数 在 及 时取得极值，则有 ， 1(1)0f(2)f即 63024ab， 解得 ， （）由（）可知， ，32()918fxxc2()6186)fx当 时， ；0， 0当 时， ；， ()f当 时， (3)， x所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， 1(1)58fc(0)8fc(3)98fc则当 时， 的最大值为 0x， ()f39因为对于任意的 ，都有 恒成立， 2fx所以 ，298c解得 或 ，1因此 的取值范围为 (1)(9)， ，13、本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等
14、基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分 14 分（）解：当 时， ，得 ，且a232()fxx()2f， 2()341fxx25所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得y， 5yx580（）解： 232()faxax2()34()fxx令 ，解得 或 由于 ，以下分两种情况讨论0a（1）若 ，当 变化时， 的正负如下表：x()fxx3 ， a3a， ()a， ()f 00因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ；()fx3a3af3427fa函数 在 处取得极大值 ，且 ()()0（2）若 ，当 变化时， 的正负如下表：0afxx ， a3a， 3， ()f 00因此，函
15、数 在 处取得极小值 ，且 ；()fx()f()f函数 在 处取得极大值 ，且 3a3a3427a（）证明：由 ，得 ，当 时，10k， cos1kx 2coskx由（）知， 在 上是减函数，要使 ，()f ， 2(cos)(cos)fkxfkxR只要 2ss)R即 co(xkx设 ，则函数 在 上的最大值为 221()co4g()gxR2要使 式恒成立，必须 ，即 或 2 k 1所以，在区间 上存在 ，使得 对任意的10， 2(cos)(cos)ffkx恒成立xR14、本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力（）解：根据求导法则有 ，2ln()10xaf故 ，于是 ，()2ln0Fxfxa， 2()10xF，列表如下： ()，2 ，F0 x极小值 ()故知 在 内是减函数，在 内是增函数，所以，在 处取得极小()x02，(， 2x值 2lnFa（）证明：由 知， 的极小值 )(2)ln0Fa于是由上表知，对一切 ，恒有 (0x， xf从而当 时，恒有 ，故 在 内单调增加0xff0，所以当 时， ，即 1)121llx故当 时，恒有 2lnla
