1、 数学试题 第 页（共 6 页）1东北三校 2008 年部分毕业班第三次摸底考试数 学第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合 （ ）NMxNxM则,013|,1|A B C D3|x|3|x1|x2函数 的反函数是 （ ）)(1yA B1log2x )(1log2xyC D)0)(103由数字 0，1，2，3，5 组成的没有重复数字的三位奇数的个数为 （ ）A60 B 48 C36 D274某商店两个进价不同的商品都卖了 80 元，其中一个盈利 60%，另一个亏本 20%，
2、问在这次买卖中，这家商店 （ ）A不赚不赔 B赚了 10 元 C赔了 10 元 D赚了 50 元5过点 A（2，1） ，圆心在直线 上，且与直线 相切的圆的方程为（ xy21yx）A B)56()3(22yx 2)56()3(2C D11yx6在半径为 的球面上有 A、B、C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则球心到平面3ABC的距离为 （ ）A5 B C D102425三题号 一 二17 18 19 20 21 22 总分分数数学试题 第 页（共 6 页）27函数 在其定义域内 （ ）)1(2logaxyaA有最大值，无最小值 B有最小值，无最大值C有最大值，也有最小值 D既无最大值，
3、也无最小值8对于直线 l、m 和平面 、， 的一个充分条件是 （ ）A B,/ mll,C Dll /9已知函数 内是减函数，则实数 a 的取值),(,)1(4)1(2) 在xaxf范围是 （ ）A B C D （0，1）),()0,(),(10将周期为 的函数 的图象按 )(cossin2si 2xxy平移后，所得函数图象的解析式为 （ ）)1,8(aA B12sinxy 1)4sin(2xyC D)8(co111设 x、y 满足条件 的取值范围是 （ ）4,0342xyuyx则A B,1),(31,C D3 4512如右图，已知在梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|，点 E 分有向线段
4、 所成的比为 ，双曲线过 C、D、E 三点，且以 AB 为A52焦点，则此双曲线的离心率为 （ ）A B 3C2 D 3数学试题 第 页（共 6 页）3选择题答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分.13 的展开式中，常数项为 .（用数字作答）10)2(x14已知 .|32|,|,| baba则的 夹 角 为与 15已知数列 . nnn aN则且满 足 ),(1116在ABC 中，内角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、 c，给出下列结论：若 ABC，则 ；siisi若
5、；cbacoo,则必存在 A、B、C，使 成立；CBABAtanttantant 若 ，则ABC 必有两解.25,0,4其中，真命题的编号为 .（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知的值.)sin(,4,43,1)43sin(,71)4cos( 求数学试题 第 页（共 6 页）418 （本小题满分 12 分）甲、乙两位同学站在罚球线进行投篮，已知每次投篮，甲投中的概率为 ，乙投中21的概率为 ，若甲、乙两位同学各投篮 4 次，求：32（1）甲恰好投中 3 次的概率；（2）乙至少投中 1
6、 次的概率；（3）乙恰好比甲多投中 2 次的概率.19 （本小题满分 12 分）已知在等比数列 中， 是其前 n 项的和，若 成等差数列，则 ，nanS12,mSma成等差数列.12,ma（1）写出这个命题的逆命题：（2）判断逆命题是否为真，并给出证明.数学试题 第 页（共 6 页）520 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱住 ABCA1B1C1 中，AC=AB=4， ， ，241BM，90BAC点 N 在 CA1 上，且 .13N（1）求证：MN/平面 A1B1C1；（2）求点 A1 到平面 AMC 的距离；（3）求二面角 CA1MB 的大小.21 （本小题满分 12 分）已知定义在 R
7、 上的函数 满足： ，当)(xf )()(yfxyf.0)(,xf时（1）求证： 是奇函数；（2）解关于 x 的不等式： 为常数）mfxmffxf 且,0).(2)()2( .数学试题 第 页（共 6 页）622 （本小题满分 14 分）已知椭圆的中心在原点 O，短轴长为 ，其焦点 F（c，0） （c0）对应的准线 l2与 x轴交于 A 点，|OF|=2|FA| ，过 A 的直线与椭圆交于 P、Q 两点.（1）求椭圆的方程；（2）若 ，求直线 PQ 的方程；0QP（3）设 ，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M.)1(求证 F、M 、Q 三点共线.数学试题 第 页（共 6
8、页）7数学（理）参考答案一、选择题：每小题 5 分，共 60 分. 112ADDBD CBCDA CB二、填空题：每小题 4 分，共 16 分. 13840 14 15n 2 1613三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17解： 1 分0423又 734)()(cos1)sin(71)4cos( 224 分 432又 71435)()43(sin1)cos(,1)3sin( 22 分 )cos()c()()43()(2co 11 分2sin43si 12 分3)(co)i(18解：（1）甲恰好投中 3 次的概率为 ；3 分412)(34C（2
9、）乙投篮 4 次都未投中的概率为 ，81乙至少投中 1 次的概率为 ；6 分0)3(4（3）设乙恰好比甲多投中 2 次为事件 A，乙恰好投中 2 次而甲恰好投中 0 次为事件B1，数学试题 第 页（共 6 页）8乙恰好投中 3 次而甲恰好投中 1 次为事件 B2，乙恰好投中 4 次而甲恰好投中 2次为事件 B3，则 A=B1+B2+B3 .8 分乙恰好比甲多投中 2 次的概率 P（A）=P（B 1）+P （B 2）+P（B 3）9 分2443143404224 )()()2()()()( CCC12 分.16319解：（1）逆命题：在等比数列 中， 是其前 n 项的和，若 成等nanS12,m
10、a差数列，则 成等差数列. 2 分12,mS（2）当 q=1 时，逆命题为假；当 q1 时，逆命题为真.证明：设 的公比为 q，若 成等差数列，则有 3na12,ma12mma分解得， 50,0,22111 qqmm q或分当 q=1 时， 111 )(,)(, aSaSamm不成等差数列.7 分22 ,mS当 8 分)21(3421)(,12 mmaq时 21)()(1)(1)( 21 mmmmaaS)2(342)(121 ma成等差数列. 11 分121,mmmSS数学试题 第 页（共 6 页）9综上得，当 q=1 时，逆命题为假；当 q1 时，逆命题为真. 12 分20法一：（1）证明：
11、在 C1A1 上取点 D，使 ，连结 ND、B 1D，14AC1 分111/,43BNCN又 ，四边形 B1MND 为平行四边形，MBD123MN/B 1D 2 分又 平面 A1B1C1，B 1D 平面 A1B1C1 MN/ 平面 A1B1C1 4 分M（2）三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱 又 ， 平面 A1ABB190在平面 A1ABB1 中过 A1 作 A1HAM，又 ACA 1H， A1H 为点 A1 到平面 AMC 的距离 6 分在 ，23,24,4, 2111 MBB中，8211 MSMA即 A1 到平面 AMC 的距离为 8 分36|1mA（3）在平面 A1ABB1 中过
12、A 作 AEA 1M，交 A1M 于点 E，连结 CE，则 AE 为 CE在平面 A1ABB1 内的射影，为二面角 CA1MB 的平面角 10 分ECE,在 中， M1 28,341211 AS26A11 分47tan,17ECAE即二面角 CA1MB 的大小为 12 分,4arctAC 417arctn法二：（1）三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱,A 1AAC，A 1AAB ，又BAC=90可以点 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间数学试题 第 页（共 6 页）10直角坐标系，由已知得 A（0 ，0，0） 、B 1（0，4， ） 、
13、C 1（4，0， ） 、22C（4，0，0） 、A 1（0，0， ） 、M（0，4， ） 、N（3，0， ） ，在 C1A1 上2取点D，使 ),3(,11D则2 分DBBMN10,4),043( 平面 A1B1C1，B 1D 平面 A1B1C1 MN/平面又1/ A1B1C14 分（2） 、 ，设平面 AMC 的法向量为 ，)2,0()2,4(M)1,(bam则 ，解得 60Cm0ba42,分)24,0(),142,0(1A又A 1 到平面 AMC 的距离为 8 分36（3） 、 ，设平面 A1MC 的法向量为)2,0(C)2,4(CM，则),dcn0,1nA)1,423(.43,2024ndc解 得又 平面 A1ABB1，所求得二面角的大小为 ，11 分CAC,而 ),04( 3462|,cos nnC二面角 CA1MB 的大小为12 分.3arcos
