1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第卷 1 至 2 页, 第卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号 . 2.本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共
2、 40 分. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么)()(P棱柱的体积公式 V=Sh，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 如果事件 A, B 相互独立, 那么)()P球的体积公式 34.VR 其中 R 表示球的半径. 一选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = xR| |x|2, A = xR| x1, 则 AB (A) (,2 (B) 1,2 (C) 2,2 (D) 2,1(2) 设变量 x, y 满足约束条件360,2,y则目标函数 z = y2x 的最小值为(A) 7 (B) 4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边
3、的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值为 1, 则输出 S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题 : 若一个球的半径缩小到原来的 12, 则其体积缩小到原来的 18;若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 直线 x + y + 1 = 0 与圆 2xy相切. 其中真命题的序号是:(A) (B) (C) (D) (5) 已知双曲线21(0,)xyab的两条渐近线与抛物线 2(0)pxy的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, AOB 的面积为3, 则 p = (A) 1 (B) 32(C)
4、2 (D) 3(6) 在 ABC 中, ,3,4ABCC则 sinBAC = (A) 01 (B) 105(C) 10(D) 5(7) 函数 0.()2|log|xf的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数 (1|)fax. 设关于 x 的不等式 ()(fxaf 的解集为 A, 若,2A, 则实数 a 的取值范围是(A) 15,0 (B) 13,02(C) ,213,2(D) 5,第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.二填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9
5、) 已知 a, bR , i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = .(10) 61x的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为 4cos, 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 4,3, 则|CP| = .(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, 60BAD, E 为 CD 的中点. 若 1ADBE, 则 AB 的长为 .(13) 如图, ABC 为圆的内接三角形 , BD 为圆的弦, 且BD/AC. 过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD
6、= 5, 则线段 CF 的长为 .(14) 设 a + b = 2, b0, 则当 a = 时, 1|2|ab取得最小值. 三解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)已知函数 22sinsincos41,fxxxxR. () 求 f(x)的最小正周期; () 求 f(x)在区间 0,2上的最大值和最小值. (16) (本小题满分 13 分)一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假
7、设取到任何一张卡片的可能性相同). () 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. () 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. (17) (本小题满分 13 分) 如图, 四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中, 侧棱A1A底面 ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. () 证明 B1C1CE ; () 求二面角 B1CEC 1 的正弦值. () 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 26, 求
8、线段 AM 的长 . (18) (本小题满分 13 分)设椭圆21(0xyab的左焦点为 F, 离心率为 3, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 43. () 求椭圆的方程 ; () 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D两点. 若 8CD, 求 k 的值. (19) (本小题满分 14 分)已知首项为 32的等比数列 na不是递减数列, 其前 n 项和为 (*)nSN, 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列 . () 求数列 n的通项公式; () 设 *()1TN, 求数列 nT的最大项的值与
9、最小项的值. (20) (本小题满分 14 分)已知函数 2lnfx. () 求函数 f(x)的单调区间; () 证明: 对任意的 t0, 存在唯一的 s, 使 ()tfs. () 设() 中所确定的 s 关于 t 的函数为 g, 证明: 当 2et时, 有2ln152t.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 40 分.1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 30 分.（9） 12i （10）15 （11） 23（12） （13） 83 （14） 三、解答题（15） 本小题主
10、要考察两角和与差的正弦公式/二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期/单调性等基础知识,考察基本运算能力.满分 13 分（I）解： (x)f2sinxco2sx4in+3si2xcos4=所 以 (x)f 的 最 小 正 周 期 T2（ ） 解 ： 因 为 在 区 间 308， 上 是 增 函 数 ， 在 区 间 382， 上 是 减 函 数 ，又f ( 0)= 2， f ( 38)= 2， f ( )=2， 故 函 数 ()fx在 区 间 0， 上 的 最 大 值 为， 最 小 值 为 2.（ 16） 本小题主要考察古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基
11、础知识。考察运用概率知识解决简单实际问题的能力。满分 13 分（I）解：设“去除的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A，则1325476P(A)=C所 以 ， 取 出 的 4 张 卡 片 中 ， 含 有 编 号 为 3 的 卡 片 的 概 率 为 7.（ ） 解 ： 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 1, 2, 3, 43471P(=),5C47P(=),5C2,364,所 以 随 机 变 量 X 的 分 布 列 是X 1 2 3 4P 35435277随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 EX= 1412517.本小题主要考察空间两条直线的位置关系，二面角、
12、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识。考查用空间向量解决立体几何问题的方法。考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 13 分（方法一）如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A（0,0,0） ，B（0,0,2） ，C（1,0,1） ，11,2,10B（ 0） （ ） E（ ）（ I） 证 明 ： 易 得 ()(,1)于是 11,C所 以 .（ II） 解 ： = 2,.设 平 面 1的 法 向 量 (,)mxyz， 则0,mBEA即 0,x消去 x，得 y+2z=0，不防令 z=1，可得一个法向量为 m=（-3，-2,1）.由（ I） ， 1CE,又 1BC，可得
13、11CE平 面 ,故1=(0)， ， -为平面 的一个法向量。于 是 11cos,mBA427，从而 12sin,7mB.所以二面角 11BCE的正弦值为 217.（）解： (0,)A,=(1,1,1). 设 1(,)EMC,0 1，有 M. 可取 (0,2)AB为平面 AD的一个法向量. 设 为直线 与平面 1D所成的角，则 sinco,B=AB= 222 31.于 是 231= 6，解得 1，所以 AM.（方法二）（I）证明 ：因为侧棱 1C底面 1BD, 1C平面1ABCD，所以 . 经计算可得 5E12,3E,从而 2211,所以在1中， ,又 1,平 面 ，1，所以 1B平面 1，又
14、 平面1，故 .（II）解：过 1作 GCE于点 ,连接 1G. 由（I） ， 1BCE ，故CE平面 ， 1，所以 B为二面角 的平面角，1中，由 13 ， 12 ，可得 1263，在 1tRG中， 1423BG，所以 sin7BGC，即二面角 BCE的正弦值为 27.(III) 解：连接 1DE,过点 M作 1HD于点 ，可得 MH平面1A，连接 H, A，则 为直线 A与平面 1A所成的角.设 x，从而在 Rt中，有 234,6xx.在1RtC中， 11,2, 得 E. 在 E中，35AE,1AE，由 22cos135HAEEHA,得 2271893xx，整理得 2560x，解得 x.
15、所以线段 AM的长为 .（18） 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分 13 分。（I）解 ：设 (,0)Fc，由 3a，知 c.过点 F且与 x轴垂直的直线为 x，代人椭圆方程有2()1cyb，解得 63by，于是2643b，解得 ，又 22ac，从而 3,ac，所以椭圆的方程为213xy.（II）解：设点 12(,)(,)CxyD，由 (1,0)F得直线 CD的方程为()ykx，由方程组 3k消去 y，整理得22360.求解可得21kx，2163kx. 因为 (3,0
16、)(,)AB，所以ACDBA12(,)(,)yyA22xy1xy= 21611()k= 2()()kx= 23.由已知得216k=8，解得 k.（19） 本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前 n项和公式，数列的基本性质等基础知识。考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分.（I）解 ：设等比数列 na的公比为 q，因为 354,SaSa成等差数列 ，所以 5345SS，即 3，于是 2531q.又 na不是递减数列且 12，所以 12. 故等比数列 n的通项公式为13()2nnA.（II）解：由（ I）得1,2nnnS为 奇 数 ，为 偶
17、 数 .当 n为奇数时， n随 的增大而减小，所以 1 nS13=2，故 0 nS 156.当 n为偶数时， nS随 的增大而增大，所以 234S n1，故 0 nS 27.综上，对于 *,N总有 712 n 56.所以数列 nT最大项的值为 56，最小项的值为 712.（20） 本小题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分。（I）解 ：函数 ()fx的定义域为 (0,).()2ln2ln1fx，令 fx=0，得 1e.当 变化时， ()f， f的变化情
18、况如下表：x0,ee,e()f0A极小值 A所以函数 ()fx的单调递减区间是 10,e，单调递增区间是 1,e.（II）证明： 0 1 时， ()fx0.设 t0，令 ()hft， ,.由（I）知， ()hx在区间 (,)内单调递增. t0, 22ln1ttee0.故存在唯一的(1,)s，使得 fs成立.（III ）证明：因为 ()gt，由（II ）知， ()tfs， 1，从而2ln()llnln()2lntsuf，其中 lus.要使 5 lt 1成立，只需 0 l .当 t 2e时，若 ()ge，则由 ()fs的单调性，有 2()tfse，矛盾，所以 ，即 u1，从而 nu0 成立.另一方面，令 1l,22FF，令()u=0，得 =2，当 1 2 时， ()0，当 u2 时， ()Fu0故 1， () 0. 因此 lnu 成立. 综上，当 t 2e时，有 5 ()lgt 12.
